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第八节 一般周期的函数的傅里叶级数 一 周期为2l的周期函数的 傅里叶级数 二 傅里叶级数的复数形式 第十二章 一 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 周期为2l的函数f x 周期为2 的函数F z 变量代换 将F z 作傅氏展开 f x 的傅氏展开式 狄利克雷 Dirichlet 条件 1 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 2 在一个周期内只有有限个极值点 设周期为2l的周期函数f x 满足收敛定理条件 则它的傅里叶级数展开式为 在f x 的连续点处 其中 定理 证明 令 则 令 则 所以 且它满足收敛定 理条件 将它展成傅里叶级数 在F z 的连续点处 变成 是以2 为周期的周期函数 其中 令 在f x 的连续点处 证毕 说明 其中 在f x 的连续点处 如果f x 为偶函数 则有 在f x 的连续点处 其中 注 无论哪种情况 在f x 的间断点x处 傅里叶级数 都收敛于 如果f x 为奇函数 则有 解 例2 把 展开成 1 正弦级数 2 余弦级数 解 1 将f x 作奇周期延拓 则有 2 将 作偶周期延拓 则有 说明 此式对 也成立 由此还可导出 据此有 当函数定义在任意有限区间上时 方法1 令 即 在 上展成傅里叶级数 周期延拓 将 在 代入展开式 上的傅里叶级数 其展开方法为 方法2 令 在 上展成正弦或余弦级数 奇或偶式周期延拓 将代入展开式 在 即 上的正弦或余弦级数 例3 将函数 展成傅里叶级数 解 令 设 将F z 延拓成周期为10的周期函数 理条件 由于F z 是奇函数 故 则它满足收敛定 为正弦级数 内容小结 1 周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式 x 间断点 其中 当f x 为奇函数时 偶 余弦 2 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法 变换 延拓 3 傅里叶级数的复数形式 利用欧拉公式导出 思考与练习 1 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形 答 易看出奇偶性及间断点 2 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 答 用系数公式计算 如分母中出现因子n k 作业 P3191 1 3 2 2 3 从而便于计算系数和写出 收敛域 必须单独计算 习题课 备用题 期的傅立叶级数 并
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