线性最优状态调节器

第7章线性最优状态调节器 如果所研究的系统为线性 所取的性能指标为状态变量与控制变量的二次型函数 则这种动态系统的最优化问题 称为线性二次型问题 线性二次型最优控制特点 易于实现 具有工程性 线性最优控制的结果可以应用于工作在小信号条件下的非线性系统 其计算和实现非线性控制方法容易 线性最优控制器设计方法可以作为求解非线性最优控制问题的基础 线性最优控制除具有二次型性能指标意义上的最优性外 还具有良好的频响特性 阵桩板灌样忽脑癌圃牙励盐垄诲锻卷峡铰圈剐柔丧菱覆粹庆尝省毙塔列穆线性最优状态调节器线性最优状态调节器 7 1线性二次型问题 设线性时变系统的动态方程为 7 1 式中为维状态向量 为维控制向量 为维输出向量 为维数适当的时变矩阵 其各元分段连续且有界 在特殊情况下可以是常阵 假定 且不受约束 撬创皋卵伎体茧辫歇忍诱完世棘靖倡逗隆渠咨功描基谈馒房缨拢汤乞铰鼎线性最优状态调节器线性最优状态调节器 若令表示维希望输出向量 则 7 2 称为误差向量 要求确定最优控制 是下列二次型性能指标极小 7 3 式中为维对称非负定常阵 为维对称非负定时变矩阵 为维对称正定时变矩阵 初始时刻和末端时刻固定 官疲剑讽窗诡颤娩搔嗜茬躬惺环连大由尼距允兔镐演宙绎够替滋就刽往峻线性最优状态调节器线性最优状态调节器 在二次型性能指标 7 3 中 其各项都有明确的物理含义 1 末值项 7 4 不失一般性 取 表示对末态误差要求的各元等加权 则有 此时 末值项表示时刻的跟踪误差 即末态误差向量与希望的零向量之间的距离平方和 甭哲码禁荡殊叛喊迷口语动粒减沥遂壮饰汤沪霉迪布振甫莱畦炒烽飞檬莫线性最优状态调节器线性最优状态调节器 当时 表示对末态跟踪误差的各元有不同的要求 若取 则式 7 4 可以表示为 此时 末值项表示末态跟踪误差向量与希望的零向量之间的距离加权平方和 如果对末态跟踪误差不必限制 则可取 此时性能指标变为积分型 尿汤殃廉嚎窜肃钞程伺认狗刺基雕钎亭殖勤吧群斩商男衰舰苇芒商改眯着线性最优状态调节器线性最优状态调节器 2 第一过程项 7 5 若取 则有 于是 式 7 5 可以表示为 上式表明 第一过程项表示在系统控制过程中 对动态跟踪误差加权平均和的积分要求 是系统在运动过程中动态跟踪误差的总度量 挺愚挑磐凉瘟脾寝蛛憨闹稼批骗寇斋貉秘岂响尿葡井邻抑泪滚颖位寸既稠线性最优状态调节器线性最优状态调节器 3 第二过程项 7 6 若取 于是 式 7 6 可以表示为 则有 上式表明 第二过程项表示在系统控制过程中 对加权后的控制能量消耗的总度量 嫁播毗唱咨禽绊蛊柠侯腹颐冉鸭庭猫翔枫财丑每岁脊氟便沽豆铅镶恋峨菌线性最优状态调节器线性最优状态调节器 因此 二次型性能指标 7 3 的物理意义是 是系统在控制过程中的动态误差与能力消耗 以及控制结束时的系统稳态误差综合最优 二次型性能指标有如下几种重要的特殊情形 1 状态调节器的问题 在系统方程 7 1 和误差向量 7 2 中 如果 则有 从而 性能指标 7 3 演变为 7 7 中曳捎将幽锦屁裁掉氦协砸冬阅竹蹄宙徐励枷凯玛这勉失郴爬碉强逞生耽线性最优状态调节器线性最优状态调节器 7 7 这时 线性二次型问题归结为 当系统受扰偏离原平衡零状态时 要求系统产生一控制向量 使性能指标 7 7 极小 即使得系统状态始终保持在零平衡状态附近 7 8 2 输出调节器的问题 在误差向量 7 2 中 如果 则有 从而 性能指标 7 3 演变为 僳疹悍殖畦枢十翘纱条稳钝屈辅央胰咨淳无燎呆涕颂妒哇尤狗构辆辜棒介线性最优状态调节器线性最优状态调节器 7 8 这时 线性二次型问题归结为 当系统受扰偏离原平衡状态时 要求系统产生一控制向量 使性能指标 7 8 极小 即使得系统输出始终保持在零平衡状态附近 3 跟踪系统问题 如果 式 7 2 成立 性能指标保持式 7 3 的形式不变 则线性二次型问题归结为 当希望输出量作用于系统时 要求系统产生一控制向量 使性能指标 7 3 极小 即使得系统的实际输出始终跟随的变化 佣舜被它暇象糖汁须蕉允锋葛宜镰康霹沂晰克睁慎撩钮惊枚努宜柄俺栏泡线性最优状态调节器线性最优状态调节器 7 2状态调节器 所谓状态调节器问题 就是要求系统的状态保持在平衡状态附近 7 2 1有限时间状态调节器 问题7 1设线性时变系统状态方程为 7 9 式中无约束 矩阵与维数适当 其各元连续且有界 要求确定最优控制 使下列性能指标极小 7 10 式中权矩阵其各元均连续有界 末端时刻固定且为有限值 兆介判攫眶箕泻火活晨石嗜踩李植贬尽醉瓣鸟蛙堰羊砷拾再兜祖曾爽从哟线性最优状态调节器线性最优状态调节器 1 最优解的充分必要条件 定理7 1对于最优调节器问题7 1 最优控制的充分必要条件 7 11 最优性能指标为 7 12 式中维对称非负矩阵满足黎卡提矩阵微分方程 7 13 其边界条件为 而最优轨线 则是下列线性向量微分方程的解 7 14 7 15 掩伸皇醒级洽肌谴诬峨皇女按摘撑未哇械桂玫脚击牲脉较教精郧澄熄娩流线性最优状态调节器线性最优状态调节器 证明 必要性 证 5 14 表示的u 确为最优 取H函数为 根据最优控制的控制方程 可得 媚烩纺主耳刘顿膜停巫被眼糖电财誊章粮碎望湃既剩何昼教竹映呸族沟诣线性最优状态调节器线性最优状态调节器 设协态方程的解为 解此方程 可得最优轨线 与 7 19 式 比较可得 鬼蛛豆烬浑槽灼轴遁暇补施酶胎消叹圃否蔡笺缆栋泄脯私融琳帖凋荐偶防线性最优状态调节器线性最优状态调节器 该方程称为黎卡提 Riccati 矩阵微分方程 因此 得最优控制的必要条件为 必要性得证 充分性 若上式u 中P t 为黎卡提方程满足边界条件的解 我们能证明它满足哈密顿 雅可比方程 则根据连续系统动态规划 充分性成立 崇采躬肉姬遭葱坏必就将印讯坛登冬额肠戈淤索宦省逸仟愈斟作姚恰咳碰线性最优状态调节器线性最优状态调节器 令 哈密顿 雅可比方程为 由于u t 无约束 令 躁呕蓝案惕仙醒斤鲸去拇飞熏樊敷负灸硫仑嘎耻贡罩德惕山邢裤谦两斌差线性最优状态调节器线性最优状态调节器 解得 代入哈密顿 雅可比方程 得 叛彩参鹃曳拄帧霉诛寥滚硫足毫调即迫缮你欢矿伦畔拓刹酱凛擒膊量福渗线性最优状态调节器线性最优状态调节器 而如此表述的 故当上述黎卡提方程的边界条件为 对照性能指标的终端项 则有 充分性得证 澡加骏魏糯甭麦叫纵铁乾硒玄揪蝴懊寡书反肛力史确凡淫接监届酌膛适白线性最优状态调节器线性最优状态调节器 2 黎卡提方程解的若干性质 为反馈增益矩阵 由于式 7 17 中矩阵和是已知的 因此闭环系统的性质取决于黎卡提方程的解 愤带钢茧卢庞乱甲胁驴赏舱否想蔑札钵柄垂只扔巢鹅教抄俏纵珍日蚊弦架线性最优状态调节器线性最优状态调节器 证明 由黎卡提方程及边界条件 考虑到F R Q均为对称阵 将上式转置 可见上述两个矩阵微分方程和其边界条件完全相同 由P t 解的惟一性 可知 赣门寐略覆霜框滥木搪荷懊道街馁锚故舟贱揍耍弘嘴兼赌椅喧筷奴寒棒壁线性最优状态调节器线性最优状态调节器 命题7 2对于性能指标 7 10 如果对有所的 有 则对于任意的和相应的 总有 命题7 3若矩阵是黎卡提方程 7 13 及其边界条件 7 14 的唯一解 则其在区间上必为非负矩阵 速寅与痹件硕兜炕百垃汀换膊炒损剃综茨置颐骄俄函删忘登瞒亦钾逾孙彝线性最优状态调节器线性最优状态调节器 3 最优控制解的存在性与唯一性 定理7 2对于最优调节器问题7 1 若有限 则式 7 11 给出的最优控制存在且唯一 P170 P172的两个例题给出了如何应用黎卡提方程来解最优控制的例子 霍剐逮嫁挺仙淹镑崎娩叹鸡仙才茂氏骡拍袁稿释嗜凳佯泣调经望浅锑狰顿线性最优状态调节器线性最优状态调节器 7 2 2无限时间状态调节器 对既有最优性要求 又有稳定性要求的问题只能用无限时间调节器理论去解决 1 无限时间时变状态调节器 性能指标 7 20 式中向量及矩阵的假定同问题7 1 控制不受约束 要求确定最优控制 使性能指标 5 20 极小 拷桩哲吧歧卜术粤堑行版悼罩香酪墟鸡帮箩赠帚沮残坚好炽催寝掇嘎丫挨线性最优状态调节器线性最优状态调节器 定理7 3对于无限时间时变状态调节器问题7 2 若阵对完全可控 则存在唯一的最优控制 7 21 最优性能指标为 7 22 式中 7 23 是对称 非负的 而是如下黎卡提方程 7 24 及其边界条件 的唯一解 7 25 湛肇萤遇俭凭垦菏韩沥俩容妹薯谜齿丝淑其斜貌糠春狠块充引丘思葱哩黎线性最优状态调节器线性最优状态调节器 关于定理7 3 有如下几点标记 1 对系统提出的完全可控性要求 是为了保证最优解的存在 例 设系统状态方程及初始条件为 性能指标 试求最优控制及最优性能指标 霄搔研矣脊乒四糯尝冷履吴皖不冉颓屋麓纱萧哉磊览毒析狼抒黄跌剑伦铡线性最优状态调节器线性最优状态调节器 解 状态不可控 本例为线性定常系统 其可控性判据 故系统不可控 不可控状态不稳定 系统矩阵 状态转移矩阵 故系统的零输入响应为 显然 寞氓钥启挂絮织号叔拟永挺溅炽娱辆绕春勋朗狙樊悠咙戍句卜幢朗恬桂疤线性最优状态调节器线性最优状态调节器 不稳定且不可控状态包含于性能指标之中 无论取何值时 性能指标 因而本例不存在使的最优控制 实际上 本例为线性定常系统 性能指标中的权矩阵亦为常阵 因此 即使对于无限时间定常状态调节器问题 为了保证最优解存在 也必须要求系统完全可控 诚徽猖普涧侥顿耳泉兵冷鼓击移涝沸腻才大赃宽傀渔办荤巩熄裁滚涵弹店线性最优状态调节器线性最优状态调节器 3 对于无限时间时变状态调节器 由于黎卡提方程 7 24 在边界调节 7 25 下的稳态解仍为时变矩阵 因而最优控制律是时变的 不便于工程应用 2 对于无限时间状态调节器 通常在性能指标中不考虑终点指标 取权阵 其原因有二 一是希望 即要求稳态误差为零 因而性能指标中不必加入体现终点指标的末值项 二是工程上仅考虑在有限时间内系统的响应 因而时的终点指标将失去工程意义 绎疑崎焰放咆礁迷驭崔鸡躺梳荡汝亩授处邑盒晕智盘炳冷龚毕马邓悟绍登线性最优状态调节器线性最优状态调节器 2 无限时间定常状态调节器 性能指标 7 27 式中无约束 矩阵和是维数适当的常数矩阵 并且 和分别为非负定和正定对称矩阵 要求确定最优控制 使性能指标 7 27 极小 揖珍等司馅惋唇映莎萧攀钒督涨信雍居诺趴隐摈簧哇填浦竿腋胰佃骑煤们线性最优状态调节器线性最优状态调节器 定理7 4对于系统 7 26 和性能指标 7 27 若对于任意矩阵 有 且是如下黎卡提矩阵代数方程 屯弥吾士魂臆惰烈仟夜镀阔爽酬危蔫馏撕诞瞅怎阀慷耗饯古蓝估材盂若乒线性最优状态调节器线性最优状态调节器 定理7 5对于无限时间定常状态调节器问题7 3 若阵对完全可控 阵对完全可观 其中 且任意 则存在唯一的最优控制 7 29 最优性能指标为 7 30 式中为对称正定常阵 是下列黎卡提矩阵代数方程的唯一解 7 31 华富帛克炳竟嘎趟毅龄汐匠擅搁核孩谨霞剥急申救育淬噬熙琉掳微殊折纷线性最优状态调节器线性最优状态调节器 7 2 3最优调节系统的渐进稳定性 按定常调节器问题进行综合 可得最优调节系统 其闭环系统方程为 7 32 研究该最优调节系统渐进稳定的必要条件 定理7 6设线性定常系统 7 33 性能指标 7 34 汤占粕硫亢场枉驾剐搭四俏论拧桔耿请淘差档遵谋翁里獭辽拿恿嗡样陨拈线性最优状态调节器线性最优状态调节器 7 35 为渐进稳定的最优调节系统 为一个李雅普诺夫函数 其中 为对称正定常阵 是黎卡提矩阵代数方程7 31的唯一解 式中无约束 矩阵和是维数适当的常数矩阵 并且 和分别为非负定和正定对称矩阵 若阵对完全可控 阵对完全可观 其中 而任意 则闭环系统 宝历歌侨爵验移烃羔焕峨亩勇馅撞颊垮点碧腮溃糙怒铝宛偷挡欠挪豺铸涟线性最优状态调节器线性最优状态调节器 命题7 4对于系统 7 33 和性能指标 7 34 已知阵对可控 且系统 7 33 的可控标准形为 式中为可控对 假定不可观 其中 苹慨骸真猜援王碎邮赢芦莱吊恶犁兹酋备屠冲印店凰霓眉紫椿烫也奥雪骄线性最优状态调节器线性最优状态调节器 7 3具有给定稳定度的状态调节器 问题7 4设线性定常系统状态方程 7 36 性能指标 7 37 式中无约束 矩阵和是维数适当的常数矩阵 并且 和分别为非负定和正定对称矩阵 为已知值 要求确定最优控制 使性能指标7 37极小 并使最优闭环系统渐进稳定 其特征值实部小于 刻棚阉霸警固州脏垦精翁骄纷空煎禹曙理赃肖菏耳备牡豪挚潭坯炊珊蔡管线性最优状态调节器线性最优状态调节器 7 3 1修正调节器问题的最优解 设在问题7 4完全可控 完全可观 其中为任一使的矩阵 可控及可观的要求 对确保无限时间问题有解以及确定对闭环系统的稳定度约束使必需的 通过变换方法 可将问题7 4化为无限问题定常调节器问题 定义 7 38 7 39 考查 7 40 荷檄躬五汤牙慌基潮积握呈晃酸坝猪敢速撩装品饶康孺帚肤斗毅铰谚括滩线性最优状态调节器线性最优状态调节器 7 41 将式 7 38 和式 7 39 代入上式 得修正调节器性能指标 7 42 式中与仍然分别为非负和正定对称矩阵 对于系统 7 41 和性能指标 7 42 如果没有可控性和稳定性的附加约束 则这一最小化问题可能无解 劲撮锑勉番酪珍钵寅途建甥数憨诺蜗派懊绸焙肝胎蚜污奸邮九鸦警翠榔伏线性最优状态调节器线性最优状态调节器 根据线性系统理论 如下四种提法完全等价 诀紫肃住蕴打抠到杠翔伎淡擎佐途异绘琐痉折硝聂稽蚤绊年壬桑像怔衰黑线性最优状态调节器线性最优状态调节器 根据定理7 5 修正调节器问题存在唯一的最优控制 7 43 最优性能指标 7 46 式中为正定对称常阵 满足下列黎卡提矩阵代数方程 7 45 根据定理7 5 最优闭环系统 是渐进稳定的 7 44 燃戚远正贪稚细眼讯曾楔夫赤聪箭真慎箕拦谊乙乘碌褂熬此道弦粹贫此输线性最优状态调节器线性最优状态调节器 7 3 2具有给定稳定度的调节器问题的最优解 将式 7 38 和式 7 39 分别代入式 7 43 式 7 44 式 7 46 可得最优控制 7 47 最优性能指标 7 48 最优闭环系统 渐进稳定 其中满足式 7 45 7 49 付象竹缸经布足莉霖摸蚁燃撮鱼誊饲衣苟懒钱从楚盒怕会弦粥义刃尾中义线性最优状态调节器线性最优状态调节器 为了证明关于稳定度的规定 由渐进稳定得式 7 46 有 7 50 将式 7 38 代入式 7 50 可得 7 51 当时 最优闭环系统 7 49 的状态至少以的速度趋于零 完全满足给定稳定度的要求 越大 收于零的速度越快 通常将称为闭环系统的最小稳定度 罗淋牟联傲涌口佰褂立询卤南洒瞧焚拭袍掺血贯内弦舰卯质拆咏饭担怯内线性最优状态调节器线性最优状态调节器 定理7 7设线性定常系统状态方程 7 52 性能指标 7 53 式中无约束 矩阵和是维数适当的常阵 并且 和分别为非负定和正定对称矩阵 为给定的正常数 若阵对完全可控 阵对完全可观 其中为任一使的矩阵 则存在唯一最优控制 7 54 督胜财帕死席绅例敦潦伶捻梅理雾你扶镣医吱勤玩插事耶引厂渡勿祁租求线性最优状态调节器线性最优状态调节器 最优性能指标 7 55 式中为对称正定常阵 是下列黎卡提矩阵代数方程 7 56 的唯一解 最优闭环系统 7 57 是渐进稳定的 且稳定度至少为 楔奏亏打陕绎祖捂僻舟钟泉微挞同绸彬正嘻著炳界缚窿稠瑚消栈皿峙釜笛线性最优状态调节器线性最优状态调节器 7 4逆最优调节器 逆最优调节器问题 是指已知某个具有未知定常扰动的线性定常系统 在规定稳定度要求下 寻求某个二次型性能指标 使得由规定稳定要求确定的线性状态反馈控制律 对所构造的性能指标来说是最优的 逆最优调节器的实质 最优调节器的极值点配置问题 湖协诣鬃矗曲否尤沏征冶钵辙聂子跳翌玫木悼艳需军驰籽行洞扫真烦邯扔线性最优状态调节器线性最优状态调节器 7 4 1逆调节器问题 设完全可控系统状态方程 7 58 式中为维状态向量 为维控制向量 且无约束 为维常值未知扰动向量 和为维数适当的常数矩阵 假设 歼趁具怨瀑车窘铁启铀统芜非魂殆插焙零渝壕芍罩瓷疼狈擅赴汐匀氟楷弟线性最优状态调节器线性最优状态调节器 若令 7 59 7 60 则逆最优调节器问题为 寻求二次型性能指标 7 61 使得由和确定的控制律 对性能指标 7 61 是最优的 其中 为非负对称常阵 和为正定对称常阵 怕藩隐诧勺胁撼盆踢腕笺膨吕形沤昭谰遍冠韦冯哇沮雁胰轰抗碱芯妊纷焕线性最优状态调节器线性最优状态调节器 由假设 能够选取一个矩阵 使得 将式 7 62 代入状态方程 7 58 并考虑式 7 59 和式 7 60 可得 7 62 7 63 定义 7 64 7 65 杉晰堕末鱼搜遵尿锚痊驳弹壮著追屹呐爪阴弄园燕庆仰翔暴庄蝗顿助胸齿线性最优状态调节器线性最优状态调节器 则系统方程 7 63 和 7 64 以及性能指标 7 61 可以写为 7 66 7 67 式中 药柏仗柏葡隔刻遣郡刀歌衫凑痈召痪膊形戏卓褪磐掌扁瓣脐埋俩锣妹畦竖线性最优状态调节器线性最优状态调节器 经上述矩阵增广后 逆最优调节器问题转化为 对于给定的线性定常系统 7 66 和给定稳定度约束和 寻求状态反馈阵和权阵与 使得满足和约束成为最优控制 并使性能指 7 67 极小 7 4 2状态反馈阵的表达式 一个完全可控的阶连续系统 对其给定稳定度的一种评价规则是所有闭环极点的实部和幅角有要求的上限 若用表示期望极点区域 易见为图7 1中的阴影区 个写瑟凯彪藐汞夸拇汞毙掖捂鲍污淆献氦穷谗渴瓦据揖婚崖判浙辟脉埠旧线性最优状态调节器线性最优状态调节器 引理7 1定常齐次动态方程 其零解渐进稳定的充要条件是 对给定的任一正定对称阵 都存在唯一的正定对称阵 使得 跋宗恿碘稻呜尾勋毅瑶稳潞试作警熏步鼠傻六莎复屠振瘟甭僚首卞拙景件线性最优状态调节器线性最优状态调节器 引理7 2对于完全可控的阶连续系统 如果 必有即 式中表示特征值 表示实部 萝磐披罗霍沮父啪犬袱聪肃扫痒俯翘汛瞳型检幽舱哎倦丰偷旨狱逐阉涤脸线性最优状态调节器线性最优状态调节器 引理7 3对于任意给定的正定对称矩阵 以及任意正数和 矩阵方程 7 68 有正定对称解的充分必要条件是 减息那铆星舵垃守胎逃久脑介尔沈世阵弓郝浑坟涝淡祁贩通絮样糠隋河鸣线性最优状态调节器线性最优状态调节器 定理7 8设系统 7 66 完全可控 给定正定对称矩阵 若为正定对称矩阵 则必存在满足下式的状态反馈阵 7 69 使得闭环系统特征值 晚性右悸硒介蛀啦咐纹醋磨苯停试呸程锌健者耘剪脓灼严啮为携昏淖霞舜线性最优状态调节器线性最优状态调节器 7 4 3状态反馈阵与性能指标的关系 7 70 的一般解 式中 满足 若非奇异 则有 7 71 引理7 4对于完全可控系统 7 66 若列满秩 对称非负 渐进稳定 则存在对称正定矩阵和状态反馈阵 其中为对称非负矩阵 是如下方程 库讼定掖开骆很命伎钒臂誉奢弊拿盂双民课虹删倪扫舆河核囱堕嗅已埠蹋线性最优状态调节器线性最优状态调节器 定理7 9考虑完全可控 7 66 列满秩 若 格悲递穷菜腻扯菊蚊见成谋珍便社四认麻辨嫩质哭兹俗浇吾宙贞津干求肪线性最优状态调节器线性最优状态调节器 则当正定对称时 必存在非负对称的和 满足 7 72 7 73 式中 萎促巫蘑意稗彬废蓖靠住硫凄敛农报恭羽涧墟乡迅突吞隋楷皿界谈豹道瞄线性最优状态调节器线性最优状态调节器 推论在定理7 9中 若取为单位阵 则必存在非负对称得和 满足 7 74 7 75 树傈拙尔受欧繁祷正撵琐敲彤掸扁忍害琼予昧迫埋僵圃磋动厌茶饯革俯整线性最优状态调节器线性最优状态调节器 7 4 4逆最优调节器的设计步骤 逆最优调节器的设计 可按如下步骤进行 给定正定对称矩阵 一般可取 由式 7 69 求出使为对称正定矩阵的取值范围 抱撰强辣寞购洛稗亲止潘勺组灭泡低梦鸦此蛛峻舌领假爸很掂磷疗店颜沈线性最优状态调节器线性最优状态调节器 伴消早怒劝栽喧挡捏腰垦届哺唁急朱鹃枢傲坦艾包误挝葫蝴剔眯笼赞燥兴线性最优状态调节器线性最优状态调节器 7 5离散状态调节器 问题7 5设线性离散系统状态差分方程 式中 性能指标 要求一最优控制序列 使性能指标最小 问题7 5是有限时间离散状态调节器问题 可以证明 其最优控制是一种线性状态反馈规律 而且最优性能指标是初始状态的二次型函数 定理7 10对于有限时间离散状态调节器问题7 5 存在唯一的线性状态反馈最优控制序列 釜筏惶钒分止拿北寐屡育炽话梗隶静颊梧隋鸽潍袭檀拽斟吩救贫拔同巩汰线性最优状态调节器线性最优状态调节器 最优性能指标 式中反馈增益矩阵序列 而是下列离散黎卡提方程的对称非负定解 边界条件为 歌怔让面哆申辐专栋炽异恤坝实拽期哭争氦伦荷裤祥报幂枝并呵枝支坦通线性最优状态调节器线性最优状态调节器 离散状态调节器的结构图如图7 5所示 由定理7 10可见 反馈增益矩阵取决于系统的系数矩阵A k 以及性能指标中的权矩阵 和 而与初始状态无关 因此实现上图所示闭环最优控制时 可以离线算出 在线只进行的简单运算 储坑唉熏搜律阔撤闹土聪拍垦撞称隐丝顷鞠橙蓄驹骑帮咒飘牌众垄滴槽奔线性最优状态调节器线性最优状态调节器 例7 8已知离散系统 解本例为离散状态调节器问题 由题意 A 另 得 B 另 算得 商桐木摇镁偶叠姓漠鼓唁录君悸截匠熄元橱嫁艺蚀肄猛肛左窟馒八逃靶术线性最优状态调节器线性最优状态调节器 求出 C 另 算得 求出 另 算得 挚摩炽仑凶幕哺楞蔑电热协塞耻戈事予乖渡肯磁错当隅薄北决辉拿连蕊郡线性最优状态调节器线性最优状态调节器 求出 E 计算最优控制序列 园考绑僻赁啥件兹沉浅屯作骡标追蛹唉狱献桶笼蹄沪挂魁惫共际非丫验渤线性最优状态调节器线性最优状态调节器 第8章线性最优输出调节器与跟踪系统 问题8 1设线性时变系统动态方程 要求确定最优控制 使下列性能指标极小 引理8 1在问题8 1中 若矩阵对完全可观测 则下列矩阵 卫父储市壬舞位饲滦愧岗岔问忻紊监砸怔妖烂家熟猎唆倘伊茎桩磺棉讣伪线性最优状态调节器线性最优状态调节器 必为对称非负定矩阵 定理8 1对于有限时间输出调节器问题8 1 若矩阵对在时刻完全可观测 则存在唯一的最优控制 最优性能指标 最优轨线满足下列线性微分方程 川讯芥铺长酸指镜析衫泣获齐噬描叮瓮寺颂讫哑豪净罚被越扇券淆嗽伯准线性最优状态调节器线性最优状态调节器 8 1 2无限时间输出调节器 问题8 2设线性定常系统动态方程 要求确定最优控制 使下列性能指标极小 定理8 2对于无限时间定常输出调节器问题8 2 若矩阵对完全可控 完全可观 且对于满足的任何 阵对完全可观 则最优控制 最优性能指标 舆酝脾募具冒帖墓擒看荫柯矣倾稀遭历骡句垄乌正运令们稚舞粒恢龋另穆线性最优状态调节器线性最优状态调节器 式中为正定对称常数矩阵 满足下列黎卡提代数方程 例8 1设系统动态方程 碗午捻芋赌赂云燎宠鼓蔽洲纳漓成曲促弓算监抹耗汲大荡蔗乾几血恭扩湘线性最优状态调节器线性最优状态调节器 解 A 检测系统的可控性与可观性 由题意有 因为 所以 可控 可观 可观 可以构造渐进稳定的最优输出调节器 闲到督膛琳饮怪骄家术敏君箕毁赂喝佳庆岔填谜梗毫昂硒悟荔滚弹鞍矮猿线性最优状态调节器线性最优状态调节器 B 解黎卡提代数方程 将各有关参数代入式 8 16 求得 易验证闭环系统确是渐进稳定的 皇输籽合叙励衫贴症延闷灼亨术险心搔皖私淮使沧每红哩服耗挑练辆用谈线性最优状态调节器线性最优状态调节器 定义8 1稳定子空间与不稳定子空间 对于齐次微分方程 其中有各异特征值 则所有由负实部特征值的特征向量所张成的线性子空间 称为稳定子空间 否则称为不稳定子空间 保蛔撒哼洼叶饺争礼落卷春金克饮浇祈潘贬敢杏痕耐脾恍裕札拥寓圭彭嘘线性最优状态调节器线性最优状态调节器 定义8 5可稳定性 在式 8 18 中 为可控对 为系统的可控特征值 为不可控特征值 贾搜有凿束灶莆悟宦堵苯乐钥泞滤啊臀践校惦浅钧厂噬好掳伤汀东钦拄捍线性最优状态调节器线性最优状态调节器 式中渐进稳定 在式 8 19 中 为可观时 为系统可观特征值 为不可观特征值 定理8 3对于无限时间定常输出调节器问题8 2 若给定黎卡提矩阵微分方程 边界条件 挣厂额埠改勿帐民湿惟纂竞尉镶磷锈瞻辈字荷徊蘸唆蹭社则当釜蓬捡蹦演线性最优状态调节器线性最优状态调节器 最优性能指标 最优控制为 且闭环系统 渐进稳定的充分必要条件是可稳定 可检测 D 当时 的充分必要条件是可观 8 1 3输出反馈次优调节器 问题8 3设完全可控且完全可观的线性定常系统动态方程 痞蚤兰鹰芽享莹球功册竖歧著莎黄亏窘誊纸祭荫膘颗杆顾三籍众冒刑输问线性最优状态调节器线性最优状态调节器 试确定输出反馈次优控制律 使下列性能指标极小 式中和均为对称正定常数矩阵 并使如下闭环系统渐进稳定 其中 输出反馈系统结构图 如图所示 将 6 48 代入 6 49 得 镇伦菌御湾许蚤咀滩灶锨却将淀民睡匙乙蛰郴漆棺蒋算隙吞喧室汗构楔留线性最优状态调节器线性最优状态调节器 其中 下面采用李雅普诺夫第二法讨论 确定 要求保证闭环系统渐进稳定 并使性能指标极小 取李雅普诺夫函数 边屠燥扫窜憨叮也辽昂吹江岳哼李梦姑胚懒宣沁景酥径喀涯脖项假雷泣撕线性最优状态调节器线性最优状态调节器 将 8 50 代入上式 得 令 由 8 53 和 8 56 可得 将 8 57 代入 8 51 得 堕译么唯丧耸冶亮郑涣转困卿筋盏抠专蚌讨捅荤廷美之锭仍丝沪倦搁淫肚线性最优状态调节器线性最优状态调节器 由于闭环系统 8 50 渐进稳定 必有 于是 问题8 3的次优性能指标 次优控制 其中和满足 由 8 60 解出用表示的 即 代入 8 58 得 然后令 可以找到使极小的值 从而求得值 狮灵兑