考点透析5复数与平面向量

考点透析5复数与平面向量考点:1.复数的基本概念及其运算； 2.平面向量的几何运算； 3.平面向量的代数运算；4.向量垂直与共线的等价条件； 5.运用向量求角及模长.一.复数的考查:1.复数的基本概念、复数的四则运算；考点2.复数的相等条件。1设a、b、c、dR，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是_2已知复数z满足（3i）z3i，则z_ 3若复数同时满足2，（为虚数单位），则 4若复数是纯虚数(是虚数单位，是实数)，则_5（北京卷）若 , ，且为纯虚数，则实数a的值为 6 表示为，则= 7满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是 （ ） A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆8.设(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是，则z2的虚部为 .9（广东卷）若复数满足方程，则_10设，且为正实数，则 11.已知复数，则 12.（广东1）已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是 例1.设复数z=lg（m22m2）（m23m2）i，试求实数m取何值时，(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z对应的点位于复平面的第二象限例2.已知z是复数，z+2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.例3.已知(A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i 例4.设为实数，且，则 。二.平面向量的考查: 13.（全国一3）在中，若点满足，则（ ）ABCD14.（湖南卷7）设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与( )A.反向平行B.同向平行 C.互相垂直D.既不平行也不垂直15.（广东卷8）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ ）ABCD16.（海南卷8）平面向量，共线的充要条件是（ ）A. ，方向相同B. ，两向量中至少有一个为零向量C. ，D. 存在不全为零的实数，17（四川卷）设，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为_（A）（B）（C）（D）18已知向量，若与垂直，则_19已知=1，=,=0,点C在AOB内，且AOC=30，设=m+n(m、nR)，则=_20.已知0，若平面内三点A（1，-），B（2，），C（3，）共线，则=_。21.(全国II) 在中，已知是边上一点，若，则_22.（北京卷）已知向量若向量，则实数的值是23.（天津卷）在中，是边的中点，则 24.(上海卷) 若向量的夹角为，则 25（重庆卷）已知向量且则向量=_26（辽宁卷）若向量与不共线，且，则向量与的夹角为_27 如图，平面内有三个向量、，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且1，.若的值为 .28（海南卷13）已知向量，且，则= _【点评】两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段（直线）平行，三点共线（多点共线）问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以避免繁冗的运算，降低计算量，不仅方法新颖，而且简单明了。向量与解析几何的综合是又一命题热点。例5. 已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标。【点评】平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则，求解时兼顾到向量的性质。例6.已知向量，若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 例7.（2008四川卷21）设椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线为，是上的两个动点，（）若，求的值；（）证明：当取最小值时，与共线。例8.在中,已知,且的一个内角为直角,求实数的值.例9. 已知a=（x2，x），b=（x，x3），x4，4.（1）求f（x）=ab的表达式；（2）求f（x）的最小值，并求此时a与b的夹角.例10已知点G是ABC的重心，A(0, 1)，B(0, 1)，在x轴上有一点M，满足|=|， (R)求点C的轨迹方程； 若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P，Q，且满足|=|，试求k的取值范围分析 本题依托向量给出等量关系，既考查向量的模、共线等基础知识，又考查动点的轨迹，直线与椭圆的位置关系.通过向量和解析几何间的联系，陈题新组，考查基础知识和基本方法.按照求轨迹方程的方法步骤，把向量问题坐标化，几何问题代数化.例11.已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(I) 证明线段是圆的直径; (II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P的值。【点评】本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力.例12.（2008全国二21）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点（）若，求的值；（）求四边形面积的最大值考点透析5复数与平面向量考点:1.复数的基本概念及其运算； 2.平面向量的几何运算； 3.平面向量的代数运算；4.向量垂直与共线的等价条件； 5.运用向量求角及模长.一.复数的考查:1.复数的基本概念、复数的四则运算；考点2.复数的相等条件。1设a、b、c、dR，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是_解析：复数=为实数，选D.2已知复数z满足（3i）z3i，则z_ 解： 3若复数同时满足2，（为虚数单位），则 解：已知；4若复数是纯虚数(是虚数单位，是实数)，则_2。5（北京卷）若 , ，且为纯虚数，则实数a的值为 6 表示为，则= 17满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是 （ ） A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆8.设(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是，则z2的虚部为 .19（广东卷）若复数满足方程，则_解析：由，10设，且为正实数，则 -111.已知复数，则 212.（广东1）已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是 例1.设复数z=lg（m22m2）（m23m2）i，试求实数m取何值时，(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z对应的点位于复平面的第二象限【解析】(1)由lg（m22m2）=，m23m2，得m=3(2)由m23m2=，得m=1或m=2(3)由 lg（m22m2），m23m2，得1m1或1m3【点评】对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样例2.已知z是复数，z+2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【解析】设z=x+yi(x、yR)，z+2i=x+(y+2)i，由题意得y=2=(x2i)(2+i)=(2x+2)+ (x4)I 由题意得x=4，z=42i(z+ai)2=(12+4aa2)+8(a2)i，根据条件，已知解得2a6， 实数a的取值范围是(2，6)【点评】复数按其对应的点在坐标系内的位置,划分为四个象限,通过对坐标系内点的应满足的条件转化为代数方程组来解决或不等式组来解决.是复数问题实数化的一个基本解题思想.例3.已知(A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i 【解析】，由、是实数，得，故选择C。【点评】复数相等的条件是实部相等且虚部相等,利用复数相等的条件,可以将复数问题,转化实数问题来解决,是复数问题实数化的有效途径.例4.设为实数，且，则 。【解析】而 所以，解得x1，y5，所以xy4。【考点分析】本题考查复数的运算及性质，基础题。二.平面向量的考查: 13.（全国一3）在中，若点满足，则（ A ）ABCD14.（湖南卷7）设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与( A )A.反向平行B.同向平行 C.互相垂直D.既不平行也不垂直15.（广东卷8）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ B ）ABCD16.（海南卷8）平面向量，共线的充要条件是（ D ）A. ，方向相同B. ，两向量中至少有一个为零向量C. ，D. 存在不全为零的实数，17（四川卷）设，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为_（A）（B）（C）（D）解：由与在方向上的投影相同，可得：, 即 ，选A18已知向量，若与垂直，则_【答案】:，由与垂直可得：， 。19已知=1，=,=0,点C在AOB内，且AOC=30，设=m+n(m、nR)，则=_解:点C在AB上，且。设A点坐标为(1，0)，B点的坐标为(0，)，C点的坐标为(x，y)=(，)，则 m=，n=，=3，选B.20.已知0，若平面内三点A（1，-），B（2，），C（3，）共线，则=_。21.(全国II) 在中，已知是边上一点，若，则_解：在ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则=， l=， 22.（北京卷）已知向量若向量，则实数的值是解：已知向量向量，则2+4+=0，实数=323.（天津卷）在中，是边的中点，则 解： 所以24.(上海卷) 若向量的夹角为，则 解：。25（重庆卷）已知向量且则向量=_解：设 联立解得26（辽宁卷）若向量与不共线，且，则向量与的夹角为_解：因为，所以向量与垂直，选D.27 如图，平面内有三个向量、，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且1，.若的值为 .628（海南卷13）已知向量，且，则= _3例5. 已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标。【解析】:设，则因为是与的交点，所以在直线上，也在直线上。即得，由点得，。得方程组，解之得。故直线与的交点的坐标为。【点评】平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则，求解时兼顾到向量的性质。2.向量的数量积与求角模运算例6.已知向量，若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 【错解】若向量与的夹角为钝角，则即， 【错因分析】对两个向量所成夹角的理解不深刻，向量与向量所成的夹角分五类，其中同向与反向在考虑锐角或钝角时容易忽视。【正解】若向量与的夹角为钝角，则，且与不共线，则，且，解得或3.向量的垂直与共线条件:例7（2008四川卷21）设椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线为，是上的两个动点，（）若，求的值；（）证明：当取最小值时，与共线。【解】：由与，得 ，的方程为设则由得 （）由，得 由、三式，消去，并求得故（）当且仅当或时，取最小值此时，故与共线。【点评】：此题重点考察椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考察向量的综合应用；【突破】：熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用。点评：运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简捷的多.例8.在中,已知,且的一个内角为直角,求实数的值.错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论.答案: (1)若即 故,从而解得; (2)若即,也就是,而故,解得; (3)若即,也就是而,解得综合上面讨论可知,或或【点评】两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段（直线）平行，三点共线（多点共线）问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以避免繁冗的运算，降低计算量，不仅方法新颖，而且简单明了。向量与解析几何的综合是又一命题热点。4.综合问题例9. 已知a=（x2，x），b=（x，x3），x4，4.（1）求f（x）=ab的表达式；（2）求f（x）的最小值，并求此时a与b的夹角.解：（1）f（x）=ab=x2x+x（x3）=x3+x23x，x4，4.（2）（x）=x2+2x3=（x+3）（x1）.列表：x4（4，3）3（3，1）1（1，4）4（x）+00+f（x）极大值9极小值故当x=1时，f（x）有最小值为.此时a=（，1），b=（1，2）.设为a与b的夹角，则cos=.又由0，得=.例10已知点G是ABC的重心，A(0, 1)，B(0, 1)，在x轴上有一点M，满足|=|， (R)求点C的轨迹方程； 若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P，Q，且满足|=|，试求k的取值范围分析 本题依托向量给出等量关系，既考查向量的模、共线等基础知识，又考查动点的轨迹，直线与椭圆的位置关系.通过向量和解析几何间的联系，陈题新组，考查基础知识和基本方法.按照求轨迹方程的方法步骤，把向量问题坐标化，几何问题代数化.解： 设C(x, y)，则G(,)(R)，GM/AB,又M是x轴上一点，则M(, 0)又|=|，整理得，即为曲线C的方程当k=0时，l和椭圆C有不同两交点P，Q，根据椭圆对称性有|=|当k0时，可设l的方程为y=kxm，联立方程组 消去y，整理行(13k2)x26kmx3(m21)=0（*）直线l和椭圆C交于不同两点，=(6km)24(13k2)( m21)0，即13k2m20 (1) 设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，则x1, x2是方程（*）的两相异实根，x1x2=则PQ的中点N(x0, y0)的坐标是x0=，y0= k x0m=，即N(, )，又|=|，kkAN=k=1，m=.将m=代入(1)式,得 13k2()20（k0），即k21，k(1, 0)(0, 1)综合得，k的取值范围是(1, 1)对题目的要求：有较大的难度，有特别的解题思路、演变角度，要有一定的梯度.例11.已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(I) 证明线段是圆的直径; (II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P的值。【解析】(I)证明1: 整理得: 设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则即 整理得:故线段是圆的直径证明2: 整理得: .(1)设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则 即去分母得: 点满足上方程,展开并将(1)代入得: 故线段是圆的直径证明3