考点透析6三角函数的图象与性质

考点透析6三角函数与解三角形考点:1.三角函数的图象与性质以及图象变换； 2.三角公式变换及计算； 3.三角形中的边角关系; 4.解三角形及三角函数的应用.一. 三角函数的图象与性质以及图象变换1给定性质: 最小正周期为；图象关于直线x=对称，则下列四个函数中，同时具有性质、的是（ ） Ay = sin(+) By = sin(2x+) Cy = sin|x| Dy = sin(2x)2.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（A） （B） （C） （D）3已知函数的定义域为，值域为 5，1 ，则常数a、b的值分别是 4函数的单调增区间为ABCD5.函数的图象为C：图象关于直线对称; 函数在区间内是增函数;由的图象向右平移个单位长度可以得到图象. 以上三个论断中正确论断的个数为 （A）0 （B）1 C）2（D）36若是偶函数，则a= .例1.已知函数f(x)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为（）求f（）的值；（）将函数yf(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)的单调递减区间. 例2.已知函数，（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围例3.如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为（1）求和的值；（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值例4已知函数 （）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标； （）如果ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.二.三角公式变换及计算；7.（山东卷5）已知cos（-）+sin=（A）-（B） (C)- (D) 8.（海南）=（ ）A. B. C. 2 D. 9（海南）若，则的值为（）10（江苏）若，则_11.已知方程,( 0时，b f ( x ) 3a + b， 解得 当a 0时，3a + b f ( x ) b 解得 故a、b的值为 或 说明：三角函数作为函数，其定义域和值域也是它的要素，要待定表达式中的常数值，需注意常数变化对值域的影响4函数的单调增区间为ABCD5.函数的图象为C：图象关于直线对称; 函数在区间内是增函数;由的图象向右平移个单位长度可以得到图象. 以上三个论断中正确论断的个数为 （A）0（B）1C）2（D）3解答 C 图象关于直线对称，当k=1时，图象C关于对称；正确；x时，(，)， 函数在区间内是增函数；正确；由的图象向右平移个单位长度可以得到，得不到图象，错误； 正确的结论有2个，选C.【点评】 本题主要考查了三角函数的图象和性质及三角函数图象的平移变换.6若是偶函数，则a= .解析：是偶函数，取a=3，可得为偶函数。例1.已知函数f(x)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为（）求f（）的值；（）将函数yf(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.解：（）f(x)sin(-)因为f(x)为偶函数，所以对xR,f(-x)=f(x)恒成立，因此sin（-）sin(-).即-sincos(-)+cossin(-)=sincos(-)+cossin(-),整理得sincos(-)=0.因为0，且xR,所以cos（-）0.又因为0，故-.所以f(x)2sin(+)=2cos.由题意得故f(x)=2cos2x. 因为（）将f(x)的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象. 当2k2 k+ (kZ), 即4kx4k+ (kZ)时，g(x)单调递减. 因此g(x)的单调递减区间为(kZ)例2.已知函数，（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围解：（） 又，即，（），且，即的取值范围是例3.如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为（1）求和的值；（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值解：（1）将，代入函数得，因为，所以又因为，所以，因此（2）因为点，是的中点，所以点的坐标为又因为点在的图象上，所以因为，所以，从而得或即或例4已知函数 （）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标； （）如果ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.解: 由=0即即对称中心的横坐标为（）由已知b2=ac , 即的值域为. 综上所述， 值域为 . 说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。二.三角公式变换及计算；7.（山东卷5）已知cos（-）+sin=（A）-（B） (C)- (D) 8.（海南卷7）=（ ）A. B. C. 2 D. 9（海南）若，则的值为（）10（江苏）若，则_11.已知方程,(1) 的两个根为,且，则的值为 （ ）A B.-2 C D或-212. 若，则_。13已知为锐角，且.则求的值为 例5.（江苏卷15）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为（）求tan()的值； （）求的值【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式由条件的，因为,为锐角，所以=因此（）tan()= （） ，所以为锐角，=例6.（广东卷16）已知函数，的最大值是1，其图像经过点（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值【解析】（1）依题意有，则，将点代入得，而，故；（2）依题意有，而，。例7.设的周期，最大值，（1）求、的值； （2）.解：(1) ， ， ， 又 的最大值， ， 且 ，由 、解出 a=2 , b=3.(2) ， ， ， ， 或 ， 即 ( 共线，故舍去) ， 或 ， .说明：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。例8.已知. （I）求sinxcosx的值； （）求的值.思路分析：将sinx-cosx=平方，求出sinxcosx的值，进而求出（sinx-cosx）2，然后由角的范围确定sinx-cosx的符号.解法一：（）由 即 又 故 （） 解法二：（）联立方程 由得将其代入，整理得 故 （） 点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.三.三角形中的边角关系; 14.中，若则ABC一定是（ ）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形答案：B15.（04全国）在中，角的对边分别为,如果成等差数列，的面积为，那么（ ）ABCD答案：B16.在中，已知，则三角形的形状是.A锐角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形解：由（a+b+c）(a+bc)=3ab 0C180，C=60，A+C=120，cos(A+B)= sinAsinB=,cosAcosB=, +得cos(AB)=1，, AB=0,A=C=B=60，故ABC为正三角形.17.（山东卷15）已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m（），n（cosA,sinA）.若mn，且acosB+bcosA=csinC，则角B .18. 在中，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是_。例9设的内角所对的边长分别为，且（）求的值；（）求的最大值解析：（）在中，由正弦定理及可得即，则；（）由得当且仅当时，等号成立，故当时，的最大值为.例10.（）在中，已知（1）求证：成等差数列；（2）求角的取值范围.解（1）a、b、c成等差数列；（2）B（0，），0B60，角B的取值范围是例11在ABC中，已知边上的中线BD=，求sinA的值.本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解：设E为BC的中点，连接DE，则DE/AB，且DE=在BDE中利用余弦定理可得： BD2=BE2+ED22BEEDcosBED，例12已知锐角三角形ABC中， （）求证：； （）设AB=3，求AB边上的高.解：（）证明：所以（）解：， 即 ，将代入上式并整理得 解得，舍去负值得， 设AB边上的高为CD.则AB=AD+DB=由AB=3，得CD=2+. 所以AB边上的高等于2+.四.解三角形及三角函数的应用.19如图，从山顶望地面上两点，测得它们的俯角分别为45和30，已知=100米，点位于上，则山高等于 （ ）A100米 B米 C米D米20一块四边形土地如图所示，其中=120，测得，则这块土地的面积是 （）ABC D21如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得 ACB=60，BCD=45，ADB=60，ADC=30，则AB的距离是（ ）.（A）20（B）20（C）40（D）2022有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底为6，下底长为10，高为，那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别为（ ）A B CD23.如图，一渔船上的渔民在处看见灯塔在北偏东60方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到达处，在处看见灯塔在北偏东15方向，此时灯塔与渔船的距离是（）A海里B海里 C7海里D14海里y2mOP24.如图为一半径是3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点到水面的距离（米）与时间（秒）满足函数关系，则有 ( )A、B、C、D、25.如图，线段、分别表示甲、乙两楼，从甲楼顶部处测得乙楼顶部的仰角为=30，测得乙楼底部的俯角=60，已知甲楼高=24米，则乙楼高=_32_米。26.隔河可看到两目标，但不能到达，在岸边选取相距km的两点，并测得，（在同一平面内），求两目标之间的距离。 27.如图，是一块边长为100米的正方形地皮，其中是一半径为80米的扇形小山，是弧上一点，其余部分都是平地。现一开发商想在平地上建造一个有边落在与上的长方形停车场。求长方形停车场面积的最大值与最小值。最大面积2000，最小面积1800 28设是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ）（A）（B）（C）（D）例13.某观测站C在城A的南20西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40东，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？解：根据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，CAB=60设ACD = ，CDB = 在CDB中，由余弦定理得：，在ACD中，由正弦定理得：此人还得走15千米到达A城说明：运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之例14如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处AB20km，BC10km为了处理这三家工厂的污水，计划在矩形区域内（含边界）且与A，B等距的O点建污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO记铺设管道的总长度为ykm（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设（rad），将表示成的函数；（ii）设（km），将表示成的函数；ABCDOP（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂O的位置，使三条污水管道的总长度最短17【解析】本小题主要考查函数最值的应用解：（）由条件知PQ 垂直平分AB，若BAO=(rad) ，则, 故，又OP1