高中数学第二章平面解析几何2.2.3两条直线的位置关系课件

2 2 3两条直线的位置关系 一 二 一 两条直线相交 平行与重合的条件 问题思考 1 填写下表 1 两条直线l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0的位置关系 可以用方程组的解的个数进行判断 也可用直线方程的系数进行判断 方法如下 一 二 一 二 2 两条直线l1 y k1x b1 l2 y k2x b2的位置关系可用两直线的斜率和在y轴上的截距来进行判断 具体判断方法如下表所示 一 二 2 应用斜率判断两条直线的位置关系时应注意什么 提示 应用斜率判断两条直线的位置关系时 应注意 1 当k1 k2时 l1与l2相交 指的是斜率存在的两直线 当两直线斜率都不存在时 两直线平行或重合 当一条直线斜率存在而另一条直线斜率不存在时 两直线相交 2 k1 k2 l1 l2成立的条件是 l1 l2的斜率都存在 且l1与l2不重合 3 做一做 下列直线与直线x y 1 0平行的是 A x y 1 0B x y 1 0C ax ay a 0D x y 1 0或ax ay a 0答案 B 一 二 二 两条直线垂直的条件 问题思考 1 填空 1 设直线l1 l2的方程分别为A1x B1y C1 0 A2x B2y C2 0 A1 B1不同时为0 A2 B2不同时为0 则l1 l2 A1A2 B1B2 0 2 设直线l1 l2的方程分别为y k1x b1 y k2x b2 则l1 l2 k1k2 1 2 1 与直线y kx b k 0 垂直的所有直线可以怎样表示 2 与直线Ax By C 0垂直的所有直线可以怎样表示 提示 1 与直线y kx b k 0 垂直的所有直线可以表示为y x m 2 与直线Ax By C 0垂直的所有直线可以表示为Bx Ay m 0 一 二 3 做一做 若直线x ay 2 0和2x 3y 1 0互相垂直 则a等于 一 二 知识拓展1 过点 x0 y0 且与Ax By C 0平行的直线可表示为A x x0 B y y0 0 2 过点 x0 y0 且与Ax By C 0垂直的直线可表示为B x x0 A y y0 0 一 二 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 若直线l1与l2的斜率相等 则l1 l2 2 若直线l1 l2 则直线l1与l2的斜率相等 3 若直线l1 直线l2 则它们的斜率之间一定有 1成立 4 若两条直线l1 l2的斜率不相等 则这两条直线不平行 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 判断两条直线的位置关系 例1 判断下列各组直线的位置关系 若相交 求出交点的坐标 1 l1 4x 3y 2 0与l2 x 2y 2 0 思路分析 判断两直线位置关系的解法有三种 一是根据方程组的解的个数判定 二是根据方程的系数间的关系判定 三是化成斜截式方程判定 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 2 3得5x 10 0 所以x 2 将x 2代入 得y 2 所以两直线相交 交点坐标为 2 2 由 得x 3y 代入 得y y 1 即0 1不成立 所以方程组无解 所以两直线平行 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 解法二 1 因为A1 4 B1 3 C1 2 A2 1 B2 2 C2 2 所以A1B2 A2B1 4 2 1 3 5 0 所以两直线相交 所以两直线的交点坐标为 2 2 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 反思感悟1 1 判断两条直线平行 需要判断其斜率相等 斜率存在时 即k1 k2 两条直线斜率相等 则两条直线可能平行也可能重合 还需要进一步判断截距不相等 即b1 b2 如果两条直线的斜率不存在 两条直线的方程为x a1 x a2 只需a1 a2即可 2 判断两条直线平行 也可用系数比 2 判断两条直线垂直 1 如果斜率都存在 那么只需k1k2 1 如果一条直线的斜率不存在 那么另一条直线的斜率必等于零 从斜率的角度判断 应注意上面的两种情况 2 利用A1A2 B1B2 0判断 3 根据方程组解的个数判断两直线位置关系 当x y的系数是未知数时不好用 利用方程的系数间的关系判定难记忆 化成斜截式易操作 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 变式训练1已知点A 1 2 B 0 4 C 2 6 D 0 18 试判断直线AB和直线CD的位置关系 又因为B 0 4 D 0 18 所以直线AB的方程为y 6x 4 直线CD的方程为y 6x 18 因为两条直线的斜率相等 纵截距不相等 所以直线AB和直线CD平行 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 利用两条直线的位置关系确定参数 例2 1 直线l1 m 2 x m2 3m y 4 0 l2 2x 4 m 3 y 1 0 如果l1 l2 求m的值 2 直线l1 ax 1 a y 3与l2 a 1 x 2a 3 y 2互相垂直 求a的值 思路分析 既可以用直线一般式方程形式判断 也可以用斜率的关系求解 但需考虑斜率不存在的情况 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 显然l1 l2 m 3 故m 4或m 3 解法二若l1 l2 则有 或 m 2 1 2 4 0 解得m 4或m 3 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 综上所述 当a 1或a 3时 l1 l2 解法二利用A1A2 B1B2 0 即a a 1 1 a 2a 3 0 解得a 1或a 3 反思感悟利用两直线的位置关系求字母参数取值时 提倡直接根据两直线平行 相交或垂直的系数整式条件列方程或不等关系 这样不易丢解或增解 若用比例式求解 一定要对特殊情况单独讨论 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 变式训练2已知直线l1 ax 2y 6 0与l2 x a 1 y a2 1 0平行 则实数a的取值是 A 1或2B 0或1C 1D 2 2 若直线l1 2a 5 x a 2 y 4 0与直线l2 2 a x a 3 y 1 0互相垂直 则 A a 2B a 2C a 2或a 2D a 2 0 2解析 1 l1 l2 a a 1 2 0 a 1或2 当a 2时 l1与l2重合 a 1 2 由题意 得 2a 5 2 a a 2 a 3 0 解得a 2 答案 1 C 2 C 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 求与已知直线平行或垂直的直线方程 例3 已知点A 2 2 和直线l 3x 4y 20 0 求 1 过点A和直线l平行的直线方程 2 过点A和直线l垂直的直线方程 思路分析 本题可根据两条直线平行与垂直时斜率间的关系 求出所求直线的斜率后用点斜式求解 也可利用直线系方程来求解 1 解法一利用直线方程的点斜式求解 即3x 4y 14 0 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 解法二利用直线系方程求解 设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x 4y m 0 m 20 由点A 2 2 在直线l1上 得3 2 4 2 m 0 解得m 14 故直线l1的方程为3x 4y 14 0 2 解法一设过点A与l垂直的直线为l2 直线l的斜率为kl 直线l2的斜率为 即4x 3y 2 0 解法二设过点A且垂直于直线l的直线l2的方程为4x 3y m 0 因为l2经过点A 2 2 所以4 2 3 2 m 0 解得m 2 故l2的方程为4x 3y 2 0 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 反思感悟以下巧妙的设法望引起大家的注意 1 求与直线y kx b平行的直线的方程时 根据两直线平行的条件可设为y kx m m b 然后通过待定系数法 求参数m的值 2 求与直线Ax By C 0平行的直线方程时 可设方程为Ax By m 0 m C 代入已知条件求出m即可 3 求与直线y kx b k 0 垂直的直线方程时 根据两直线垂直的条件可设为y x m k 0 然后通过待定系数法 求参数m的值 4 求与直线Ax By C 0 A B不同时为零 垂直的直线时 可巧设方程为Bx Ay m 0 A B不同时为零 然后用待定系数法 求出m 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 变式训练3求过直线l1 3x 4y 2 0与直线l2 2x y 2 0的交点且平行于直线5x 4y 0的直线方程 4 得5x 10 0 解得x 2 将x 2代入 得2 2 y 2 0 所以y 2 所以两直线的交点坐标为 2 2 设与直线5x 4y 0平行的直线方程为5x 4y c 0 c 0 代入 2 2 得5 2 4 2 c 0 所以c 2 故所求直线方程为5x 4y 2 0 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 平行与垂直的综合应用 例4 如图所示 在平面直角坐标系中 四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O 0 0 P 1 t Q 1 2t 2 t R 2t 2 其中t 0 试判断四边形OPQR的形状 思路分析 利用两直线的斜率关系 来研究平行或垂直 对于四边形而言 可以先选取一组对边研究 再选取一组邻边研究 最后下结论 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 所以kOP kQR kOR kPQ 从而OP QR OR PQ 所以四边形OPQR为平行四边形 又kOP kOR 1 所以OP OR 故四边形OPQR为矩形 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 反思感悟利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 将例4中的四个点 改为 A 4 3 B 2 5 C 6 3 D 3 0 顺次连接A B C D四点 试判断四边形ABCD的形状 解 由题意A B C D四点在平面直角坐标系内的位置如图 所以kAB kCD 由图可知AB与CD不重合 所以AB CD 由kAD kBC 知AD与BC不平行 又因为kAB kAD 3 1 所以AB AD 故四边形ABCD为直角梯形 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 变式训练4已知A m 3 2 B 2m 4 4 C m m D 3 3m 2 若直线AB CD 求m的值 解 A B两点的纵坐标不相等 AB与x轴不平行 AB CD CD与x轴不垂直 m 3 即m 3 当AB与x轴垂直时 m 3 2m 4 解得m 1 而m 1时 C D的纵坐标均为 1 CD x轴 此时AB CD 满足题意 当AB与x轴不垂直时 由斜率公式 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 对称问题 例5 1 求点A 3 2 关于点B 3 4 的对称点C的坐标 2 求直线3x y 4 0关于点P 2 1 对称的直线l的方程 3 求点A 2 2 关于直线2x 4y 9 0的对称点B的坐标 思路分析 1 利用中点坐标公式列方程求解 2 根据所求直线上任意一点关于点P 2 1 的对称点的坐标均满足已知直线方程来求解 3 利用中点坐标公式及垂直关系联合列式求解 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 解 1 设C x y 由中点坐标公式得 故所求的对称点的坐标为C 9 6 2 取直线l上任一点 x y 则它关于点P 2 1 的对称点 4 x 2 y 在直线3x y 4 0上 所以3 4 x 2 y 4 0 所以3x y 10 0 所以所求直线l的方程为3x y 10 0 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 3 设B a b 是A 2 2 关于直线2x 4y 9 0的对称点 根据直线AB与已知直线垂直 且线段AB的中点在已知直线2x 4y 9 0上 则有 所以所求的对称点B的坐标为 1 4 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 反思感悟1 对于点关于点的对称 只需运用中点坐标公式即可 2 对于直线关于点的对称 根据所求直线与已知直线平行可先设出方程 然后利用已知直线上任取一点的对称点一定在所求直线上即可求出方程 结论为l Ax By C 0关于点P x0 y0 对称的直线方程是A 2x0 x B 2y0 y C 0 3 对于点关于直线的对称 一般按下列步骤处理 若两点P1 x1 y1 与P2 x2 y2 关于直线l Ax By C 0对称 则线段P1P2的中点在对称轴l上 而且连接P1 P2的直线垂直于对称轴l 可得到点P1关于l对称的点P2的坐标 x2 y2 其中A 0 x1 x2 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 变式训练5求直线a 2x y 4 0关于直线l 3x 4y 1 0对称的直线b的方程 方法一 在a 2x y 4 0上取点A 2 0 设A关于l的对称点为B x0 y0 故由两点式得直线b的方程为2x 11y 16 0 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 方法二 设b上的动点P x y 关于l 3x 4y 1 0的对称点为Q x0 y0 整理得2x 11y 16 0 即2x 11y 16 0为直线b的方程 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 因忽视了两条直线垂直的特殊情况而致误 典例 求经过点A 2 1 且与直线2x ay 10 0垂直的直线l的方程 错解因为所求直线与2x ay 10 0垂直 整理得ax 2y 2a 2 0 以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何订正 你怎么防范 提示 漏掉了当a 0时这一特殊情况的讨论 其实斜率为0的直线与斜率不存在的直线也是相互垂直的 但却不能用k1k2 1来求 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 正解1 当a 0时 已知直线化为x 5 此时直线斜率不存在 则所求直线l的斜率为0 因为直线l过点A 2 1 所以直线l的方程为y 1 0 x 2 即y 1 因为直线l与已知直线垂直 设直线l的斜率为k 即ax 2y 2a 2 0 所求直线l的方程为y 1或ax 2y 2a 2 0 又y 1是ax 2y 2a 2 0的一个特例 故所求直线l的方程为ax 2y 2a 2 0 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思维辨析 正解2 根据与直线Ax By C 0垂直的直线方程可设为Bx Ay m 0 因此根据题意可设所求方程为ax 2y m 0 又因为该直线过点A 2 1 所以2a 2 m 0 即m 2 2a 所以所求方程为ax 2y 2a 2 0 防范措施1 在判断方程中含参数的直线的位置关系时 应注意讨论直线的斜率是否存在 避免遗漏 2 在使用 k1k2 1 来解决直线垂直问题时一定要弄清k1k2 1的使用条件是两直线斜率均存在且不为零 3 上述正解2的设法就避免了讨论 设解很巧妙 因此大家在结合已知条件设直线方程时一定要综合考虑 先保证解答正确 再从方法的多样性上进行归纳总结 1 2 3 4 5 1 直线l1与l2为两条不重合的直线 则下列命题 若l1 l2 则斜率k1 k2 若斜率k1 k2 则l1 l2 若倾斜角