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专题讲座 高三数学函数与不动点定理：一次函数的不动点为，且定理（定理的推广）：一次函数的不动点也是的n次迭代函数的不动点，且注：定理显然，定理可用归纳法证明，应当指出的是，在一次函数中：u 当时，不动点有无穷多个，也就是说，任何实数都是的不动点；u 当时，函数无不动点，这时函数的n次迭代式不能用不动点来表示，但容易得到；u 当时，不能再迭代下去。相关例题：已知，证明存在正整数m，使 （1988年我国IMO集训选拔题）。证明：函数的不动点为，所以因为，所以存在，使得，设，取即可。桥函数相似法定义：对于给定的函数和，若存在一个可逆函数，使得，则称和关于相似，记作，其中称为桥函数。根据定义，桥函数相似有如下性质：u 若，则；u 若，则；u 若，则从上面的性质可知，要求一个已知函数的n次迭代，只需找出一个桥函数以及简单函数，确定和可从的不动点来考虑。若，则，所以，若，则，即是的不动点，也就是桥函数具有的性质。即它将的不动点映成的不动点，通常为了便于求，常取，这时的不动点为0或，此时，若有唯一不动点时，则可考虑取，这时；若有两个不动点，则可考虑，这时以下先给出一些较简单的函数的n次迭代式：u 若，则；u 若，则；u 若，则；u 若，则。相关例题：已知，求解：的不动点为或，若，则；若，构造函数，则，从而。因为，所以数列与不动点定义：设的定义域为D，且，若，则称数列为为由函数导出的，初始值为的递归数列，函数称为数列的递归函数。 一般的，初始值的递归函数为。若，则，反之亦真。说明白一些就是：若递归函数的n次迭代函数容易求得，则由可直接写出递归数列的通项公式。若递归数列的通项公式已得出，则由通项公式也可直接写出递归函数的n次迭代函数。 例如，已知，求。可设因为，所以数列是公差为1的等差数列，求和可得，从而。 先来研究一种特殊的数列：一阶等比数列，即满足，此数列当时为等比数列，当时为等差数列。其递归函数为，其不动点为，从而n次迭代函数，所以。不难得到以下结果：若，且其递归函数的不动点为，则数列是公比为c的等比数列。定义：由递推公式以及初始值确定的数列，称为分式线性递归数列。 分式线性递归数列的递归函数为，其不动点为方程的解，称为递归函数的特征方程。u 若方程有两个相等实根，则数列是以为首项，为公差的等差数列；u 若方程有两个不相等的根（实根或虚根）：，则数列是以为首项，为公比的等比数列。最后再来看看关于数列，的周期性问题。 对于方程u 若，则数列无周期；u 若，则数列有周期的充要条
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