（试题 试卷 真题）开放型问题1

开放型问题1. （2011湖北荆州，19，7分）（本题满分7分）如图，P是矩形ABCD下方一点，将绕P点顺时针旋转后恰好D点与A点重合，得到,连接EB，问是什么特殊三角形？请说明理由.【解题思路】根据旋转及矩形的性质可知AECDAB，可得等腰，进一步由旋转角是，猜想此三角形可能是等边三角形.【答案】解：ABE是等边三角形.理由如下：1分 由旋转得PAEPDCCD=AE，PD=PA,1=23分DPA=60PDA是等边三角形4分3PAD60.由矩形ABCD知，CDAB，CDADAB90.142306分AECDAB，EAB2+460,ABE为等边三角形7分 【点评】此类试题是猜想与证明两部分组成，解答时，首先是猜想结论，即同学们根据自己学过的知识经过严格合理地推理，得出一个正确的判断；然后证明，就是根据题目的要求，把从题设到推出某个结论的过程完整地叙述出来.2. （2011湖北襄阳，25，10分）如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PO并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF（1）求证：ADPEPB；（2）求CBE的度数；（3）当的值等于多少时，PFDBFP？并说明理由【解题思路】解决（1）（2）两问，由旋转发现DPE90，DPPE，进而构造全等三角形是关键；（3）可由PFDBFP产生比例线段，再结合ADPBPF思考【答案】（1）证明：四边形ABCD是正方形，APBC90，ABAD，ADP+APD90DPE90，APD+EPB90，ADPEPB（2）如下图，过E点作EGAB的延长线于点G，则EGPA90又ADPEPB，PDPE，PADEGPEGAP，ADABPGAPEGBGCBEEBG45（3）法1：当时，PFDBFPADPFPB，APBF，ADPBPF设ADABa，则APPBa，BFBPaPDa，PFa又DPFPBF90，PFDBFP法2：假设PFDBFP，则ADPFPB，APBF，ADPBPFPBAP时，PFDBFP【点评】本题属于直线形几何综合问题，主要考查了正方形，全等三角形，相似三角形，勾股定理等知识（1）问简单基础，学生普遍会做；（2）问由E点作AB的垂线是较为简捷的思路；（3）是条件开放探究性问题，解决时需要“执果索因”，从后向前思考难度较大25（2011四川乐山，25，12分）如图（14.1）,在直角ABC中, ACB=90,CDAB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EFBE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系. (1) 如图(14.2),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是 证明:(2) 如图(14.3),当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是 证明如图(14.1),当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是 (写出关系式,不必证明)【解题思路】：添加辅助线，构建新的直角三角形，推理证明三角形相似，利用相似关系，列比例式推出EF与EG的数量关系。【答案】(1)相等。如,14.2，当m=1,n=1时,ACB是等腰直角三角形，E为AC中点，作EMAB,ENCD,垂足分别为M、N，EM、EN为中位线，EFMENG,EF=EG.（2）EF:EG=1：n。作EMAB,ENCD,垂足分别为M、N，m=1, ACB是等腰直角三角形，EFMENG,EF:EG=EM:EN=AE:EC,EF:EG=AE:nAE=1:n.【点评】本题是属于图形演变、规律探索性题目，找准基础图形，作出辅助线，确定三角形全等或相似关系，列出关系式，是解题的关键。本题难度较大。24（2011湖北随州，24，14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kxb与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x10，x20）求b的值求x1x2的值分别过M、N作直线l：y=1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断M1FN1的形状，并证明你的结论对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由FMNN1M1F1Oyxl第24题图【思路分析】（1）将F（0，1）代入直线解析式y=kxb，即可求出b=1；（2）因为M（x1，y1）和N（x2，y2），是两个图象的交点，所以它满足两个函数解析式，即满足，这样就得到方程，然后根据根与系数关系即可得到的值；（3）通过分析图形的特点，可利用三角形相似证明M1FN1是直角三角形，由F1M1F1N1=x1x2=4，FF1=2，所以F1M1F1N1=F1F2，所以,所以可证明RtM1FF1RtN1FF1，由此可得M1F1F=M1FN1=90，即M1FN1是直角三角形；（4）证明圆心P到直线y=1的距离等于圆的半径，即证明PQ=MN，然后利用梯形的中位线定理证明即可.【答案】解：b=1显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得=4FMNN1M1F1Oyxl第24题解答用图PQM1FN1是直角三角形，理由如下：由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则F1M1F1N1=x1x2=4，而FF1=2，所以F1M1F1N1=F1F2，另有M1F1F=FF1N1=90，易证RtM1FF1RtN1FF1，得M1FF1=FN1F1，故M1FN1=M1FF1F1FN1=FN1F1F1FN1=90，所以M1FN1是直角三角形存在，该直线为y=1理由如下：直线y=1即为直线M1N1如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为,计算知NN1=， NF=，得NN1=NF同理MM1=MF那么MN=MM1NN1，作梯形MM1N1N的中位线PQ，由中位线性质知PQ=（MM1NN1）=MN，即圆心到直线y=1的距离等于圆的半径，所以y=1总与该圆相切【点评】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，要特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点，难度较大.25（2011湖南永州，25，10分）探究问题：方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足EAF=45，连接EF，求证DE+BF=EF感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, 1=2，ABG=D=90,ABG+ABF=90+90=180，因此，点G，B，F在同一条直线上EAF=45 2+3=BAD-EAF=90-45=451=2， 1+3=45即GAF=_又AG=AE，AF=AFGAF_=EF，故DE+BF=EF （第25题）方法迁移：如图，将沿斜边翻折得到ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且EAF=DAB试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想（第25题）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当B与D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF请直接写出你的猜想（不必说明理由）（第25题）【解题思路】：（1）由四边形ABCD是正方形，知BAD=90, 由EAF=45，得1+3=45，所以GAF=EAF，由“SAS”可证GAFEAF，再由全等三角形的对应边相等得结论；（2）类比（1）的解法，运用轴对称和旋转的知识可证DE+BF=EF（3）类比猜想DE+BF=EF【答案】EAF、EAF、GFDE+BF=EF，理由如下：假设BAD的度数为，将ADE绕点A顺时针旋转得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, 1=2，ABG=D=90,ABG+ABF=90+90=180，因此，点G，B，F在同一条直线上EAF= 2+3=BAD-EAF=1=2， 1+3=即GAF=EAF又AG=AE，AF=AFGAFEAFGF=EF，又GF=BG+BF=DE+BF DE+BF=EF （第25题）解得图当B与D互补时，可使得DE+BF=EF【点评】：每份试卷的压轴题一般较难，综合考查了学生探究能力、知识迁移能力、创新能力、分析问题解决问题的能力.本题综合了探究、阅读理解、知识迁移、知识升华等过程逐步引申，既考查了问题，还降低了学生对难题的畏惧心理，是一道很好的压轴题.25. （2011湖南长沙，25，10分）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如，对于函数y=x-1，令y=0，可得x=1，我们说1是函数y=x-1的零点.已知函数y=x2-2mx-2（m+3）（m为常数）.（1）当m=0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧）.点M在直线y=x-10上，当MA+MB最小时，求直线AM的解析式.【解题思路】（1）根据题目定义，m=0时，令y=0，把函数关系式转化为关于x的一元二次方程，解此方程求出x的值即为函数零点值；（2）令y=0，得到关于x的一元二次方程， x2-2mx-2（m+3）=0，运用判别式进行推理即可；（3）和是函数y=x2-2mx-2（m+3）（m为常数）零点，且满足，根据根与系数关系进一步求出m值，于是得到一个具体二次函数解析式y=x2-2x-8，求出与x轴交点坐标【答案】解：（1）当m=0时，y=x2-6.令y=0，x2-6=0，解得x=或x=.即m=0时，求该函数的零点为、.（2）证明：令y=0，则x2-2mx-2（m+3）=0.由于b2-4ac=（-2m）2-41-2（m+3）=4m2+8m+24=4（m2+2m+1-1）+24=4（m+1）2+20.因为无论m为何值，4（m+1）20，所以4（m+1）2+200.即：无论m取何值，一元二次方程x2-2mx-2（m+3）=0一定有两个不相等的实数根，因此无论m取何值，函数y=x2-2mx-2（m+3）（m为常数）总有两个零点.（3）设函数的两个零点分别为和，则和是一元二次方程x2-2mx-2（m+3）=0的两个根，所以+=2m，=-2（m+3）.则.又，所以=.解此分式方程，得m=1，经检验，m=1是=的根.所以y=x2-2x-8.此函数与x轴的交点坐标为A（-2,0），B（4,0）.设直线y=x-10与x轴交与点D（10,0），与y轴交于点F（0，-10），过点A作直线y=x-10的垂线，垂足为点E，延长AE到点A，使AE=AE，连接AB，交y=x-10于点M，则此时MA+MB最小.易知OA=ON=2，OC=10.AN=，NC=8，NE=4.AE= AE=6，AN=10AF=NF=10，OF=12.故点A坐标为（10，-12）.设直线AB的解析式为，把B（4,0），A（10，-12）代入上式：xyABy=x-10ACDMEOFN，解得.直线AB的解析式为y=-2x+8.解方程组，得. 所以点M（6，-4）.设直线AM的解析式为，把A（-2,0），M（6，-4）代入上式：，解得.故当MA+MB最小时，直线AM的解析式为y=x-1. 【点评】本问题（1）主要考查了一元二次方程根的解法，解题