第6章保角变换 数学物理方法_第1页
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1 第6章保角变换 复变函数在几何意义上实际上相当于将平面上的区域变成了平面上的另一个区域 简称为映射 应用 利用复变函数 特别是解析函数 所构成的映射来实现复杂区域的简单化 这将给实际问题的研究带来很大的方便 而利用保角变换法求解数学物理方程边值问题 2 重点 难点 分式线性变换及其映射特点 分式线性变换与初等函数相结合 求一些简单区域之间的映射 本章内容 1 保角射的概念 2 分式线性映射和几个初等函数所构成的映射 3 典型实例描述保角映射的应用 3 1 的几何意义 第一节保角映射的概念 4 2 转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关 3 保角性 方向不变的性质 此性质称为保角性 夹角在其大小和方向上都等同于经过 5 4 伸缩率 方向无关 所以这种映射又具有伸缩率的不变性 6 2 共形映射 保角映射 也称为第一类共形映射 仅保持夹角的绝对值不 变而方向相反的映射 称为第二类共形映射 质 1 保角性 2 伸缩率不变性 7 称为分式线性映射 任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的 分式映射复合而成 3 分式线性映射 8 分式线性映射的性质 1 分式线性映射在扩充复平面上一一对应 2 分式线性映射在扩充复平面上具有保角性 9 注意 1 此时把直线看作是经过无穷远点的圆周 10 4 分式线性映射具有保对称性 这一性质称为保对称性 11 4 唯一决定分式线性映射的条件 12 判别方法 对确定区域的映射 在分式线性映射下 C的内部不是映射成 方法1 在分式线性映射下 如果在圆周C内任取 若绕向相反 则C 方法2 13 分式线性映射对圆弧边界区域的映射 14 5 几个初等函数所构成的映射 15 特殊地 因此将角形域的张角拉大 或缩小 时 就可利用幂函数所构成的共形映射 16 如果要把带形域映射成角形域 常利用指数函数 特殊地 映射特点 17 三 典型例题 解1 利用分式线性映射不变交比和对称点 18 由交比不变性知 19 解2 由对称点的不变性知 利用不变对称点 20 解3 将所求映射设为 利用典型区域映射公式 21 例2求一个分式线性映射它将圆映成圆 且满足条件 解 因映成的映射为 22 23 例3求一个分式线性映射它将圆映成圆 且满足条件 解 24 与互为反函数 25 故 26 解 27 例5试证明在映射下 互相正交的直线族与依此映射成互相正交的直线族与圆族 证 28 由于过原点的直线与以原点为心的圆正交 故命题得证 证毕 29 例6试将如图所示
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