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善待错误张红/吴菊敏【专题名称】中学数学教与学（初中读本）【专 题 号】G351【复印期号】2009年08期【原文出处】中学数学杂志：初中版(曲阜)2009年4期第710页【作者简介】张红，中学高级教师，数学教育硕士，长兴县教育局教育研究中心初中数学教研员，湖州市教学能手、名师。论文多次获奖和发表，浙江省湖州市长兴县教育局教育研究中心(313100)；吴菊敏，浙江省湖州市长兴县长兴一中(313100)。全日制义务教育数学课程标准指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生“在他人的指导下，能够发现数学活动中的错误并及时改正。”从新课程标准的视角来看，“错误”是一种来源于学生学习活动本身的教学材料，它对学生特殊的教育价值有时比教师的铮铮教诲更有说服力，为了学生的发展，我们应该善待“错误”这一宝贵资源，主动对其进行开发、利用，变“废”为“宝”。一、初中生数学解题中出现错误的分析与认识数学解题是学生学习数学的主要内容，是培养数学思维能力的一个重要环节，但学生的数学解题过程中，常会出现这样那样的错误。究其原因，有知识缺陷造成的，有能力缺陷造成的，也有逻辑上、策略上造成的，更有其学习心理、学习习惯、学习兴趣等非智力因素的影响虽然我们谁都不愿意在解题中出错，而错误仍然会存在，不但是学生或老师，即使是数学大师也不能幸免。著名美国数学家和数学教育家波利亚在怎样解题一书中写道：“通过回顾所完成的解答，通过重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们解题的能力。”数学课程标准也指出学生能够通过义务教育阶段的数学学习“具有回顾与分析解决问题过程的意识。”因此，教师应引导学生在解题后及时检查纠错与反思，促使他们从新的角度，多层次、多侧面地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析与思考，从而深化对问题的理解，揭示问题的本质，探索一般规律，并进而产生新的发现，同时也有助于优化学生的思维品质，提升学生的数学能力，提高自我教育水平。实际教学中，笔者对引导学生进行纠错和反思作了如下探索与反思。二、探索与反思1.基本思路(1)对学生的引导学生主动发现自身的错误（尝试一定的策略或方法）改正错误逐步提高解题能力(2)教师的作用宽容对待学生的解题错误，师生一起树立信心；探寻学生解题出错原因：内部因素（学生自身因素知识缺陷、能力缺陷、学习心理、学习习惯、学习态度等）外部因素（教师教学中的薄弱之处）通过一定的习惯养成训练和方法指导，帮助学生发现自身解题中的错误，形成一定的纠错策略；教师养成及时反思的教学习惯，减少教学中的“败笔”；逐步培养学生的解题能力和自我学习数学的能力。2.教学实践(1)保持宽容心先来看笔者就解题出错后教师的态度和学生的心理状况，对部分中学数学教师和中学生的调查结果，如图1。图1可以看出，我们的老师和学生一样：害怕出现错误，不能正视错误。老师对待学生的解题错误缺乏承受心理和宽容态度，而学生则恐慌地学习着。这样的结果不值得我们反省吗？陶行知先生早就批评过这样的老师：“这糊涂的先生！你的教鞭下有瓦特，你的冷眼里有牛顿，你的讥笑里有爱迪生。”希望我们不是糊涂的先生！(2)建立“纠错本”解题出错是在所难免的，教师要教育学生反思错误，从哪里跌倒从哪里爬起来，帮助学生“初步形成评价与反思的意识。”指导学生每人建立一本“纠错本”，是一种比较实用的方法。主要形式：每人备一个“数学纠错本”，把平时做错的题整理于其中，并分作三栏：错题栏、订正栏和反思栏。每章小结或间隔一段时间进行检查交流。使用目的：首先，让学生知错改错，追思错误根源，形成正确思路。并养成平时有空翻一翻，考前认真看一遍的良好习惯。其次，使教师在平时的教学中，能及时有效地得到学生的学习反馈信息，以调整自己的教学进程，并尽可能地做到对每位学生的学习细节了如指掌。反馈信息：有些学生纠错本上的语言很苍白，常常是“看错了，算错了，漏写了，粗心”，也有些学生的反思很深刻，如：“要考虑知识的全面性，小心漏写答案，切忌一解了之。”“做数学题，要有扎实的基础知识、认真的做事态度，要细细地品味学数学、做数学的乐趣，力争做到别人做不到的事。”这些都给我们教师提供了最原始的材料，让我们可以具体地分析学生和自己的教学行为。使用效果：通过不断地写纠错反思，使有些学生思路特别开阔，往往能自己说出一道题哪些地方容易出错，就是正确的题也可以一题多解，多题一解，多解归一，多题归一。现在，很多学生都体会到了二次学习的重要性，这个习惯自然而然地就坚持下去了，而且一学期后，反思的质量都有了明显的提高。(3)开展“纠错课”平时可以根据学生作业或试卷中出现的错误，开展纠错课，目的是利用“错误”进行教学，让“错误”成为学生探索的动力。错误展示活动形式1：教师预见到学生学习本课内容可能产生的错误，在课内有针对性地故意做错或出示辨析题，引导学生反思错题错在哪里？为什么错？从而有效地控制错误的发生。案例1讲解一元一次不等式时，老师板演解4个不等式题：（具体解法略）并把所得解集在数轴上表示。经过学生的独立思考，分组讨论，“诊断报告”一一出炉：不等式的两边除以一个不等于零的数时，没有考虑该数的正负再次定不等号是否改变方向，从而结论错误。去分母时“-1”这一项漏乘了5。去分母时，分子上的多项式没用括号括起来。在数轴上表示不等式解集时，解集含有等号应画实心圆点，而老师却画了空心圆圈。本案例中老师未雨绸缪，以故意做错，让学生开“处方”治“毛病”的形式，创设了师生平等交流的氛围，调动学生敢思敢说的积极态度，为揭示错误、消灭错误打下了坚实的基础。形式2：“找茬”：小组或同桌间故意将题目解错，让对方纠错，并将最“精彩”的错误在班内交流，从而加深印象，使自己在解题时引起足够的重视。案例2找一找我错在那里？同桌两人各解一个方程组，把你认为最容易出错的地方故意做错，让你的同桌帮你纠错。本案例让学生故意将方程组解错，以游戏的形式来让学生意识到一些应注意的问题，远比教师直接抛给学生取得的效果好得多。也点燃了学生主体意识的再度爆发，使学生的知识学习得到了自我评价和巩固，成为课堂的一个亮点。纠错心得交流每章上完后，开展纠错情况和反思心得交流活动，将各自纠错本上“最得意”的错误或最深刻的反思展示给同学，起到自勉和共勉的的作用。案例3一学生（左成龙）在一次交流中讲述道：题目虽然很不起眼，但我总是鬼使神差地出现类似错误，自从我将它命名为“左成龙现象”后，几乎没再出过错，大家不妨试一试。这样幽默的讲述，留给同学的印象是极其深刻的。(4)故设“陷阱”题张奠宙说：“波利亚把解题回顾作为解题的必不可少的环节固定下来是有远见卓识的。”解题前的分析探路固然重要，但解题后的回顾和深思不仅可以使我们避免一些不必要的错误，而且可以使我们对问题有更深刻的认识，取得事半功倍、融会贯通、举一反三的效果。在教学中，经常设置一些“陷阱”题，可帮助学生改善思维能力，培养回顾反思的习惯，进一步提高解题能力。案例4已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角等于。错解如图2，因为CDAB，所以A=30。图2此例学生容易忽略图形的另一种情况，从而陷入“一解了之”这一陷阱。此例的反思训练，激起了学生求知、求思的积极性和主动性，起到了自我认识教育的目的，也唤醒学生要真正理解所学的概念、定理、法则等知识，养成全面思考，善于分析的习惯，提高自我认识水平。案例5在学习一元二次方程和分式方程后补充一例：已知关于x的方程只有一个实数根，求k的值和这个实数根。此例学生容易只考虑=0而忽略另一种情况：可能化简后的一元二次方程有两个不同的实数根，而其中一个根是原方程的增根，那么对原方程来说，仍只有一个实数根能满足它。受思维定势影响，掉入陷阱。通过此例的反思训练，使学生在纠错的过程中巩固了基础知识，理解基本概念的本质，从而明确心理定势会阻碍思维的发展，知道解题时要多层面、多角度地去观察、尝试数学问题，有时可以反客为主，有时可以以退求进，真正克服思维定“死”。案例6如图3，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，若设花园的BC边长为x(m)，花园的面积为y()。图3求y与z之间的函数关系式；x取何值时，花园面积最大？最大面积为多少？通过反思，学生们发现了错误的原因：忽略了隐含条件“函数自变量x的取值范围：0x15”，从而导致结果错误。通过此题的反思训练，使学生们领悟到读题一定要注意对隐含条件的挖掘，提高思维的全面性。(5)教后勤动笔写作业评语长期以来，“优、良、中、差”或一个分数这样单一的作业评定，似乎已成为数学老师特有的习惯，绝大部分的学生对教师花大量时间批改后的作业，只看成绩，并不加反思。那是因为我们的数学教师忽视了作业这一块“师生情感沟通和学习引导的宝地”。心理学家赫洛克(E. B. Hunlock)曾做过一个实验。他把被试分成四个等组，在四种不同诱因的情况下完成算术练习。第一组为受表扬组，每次练习后予以表扬和鼓励；第二组为受训斥组，每次练习后严加训斥；第三组为被忽视组，不予评价只让其静听其他两组受表扬和挨批评；第四组为控制组，让他们与前三组隔离，不予任何评价。结果成绩如图4。图4这个实验表明：及时对学习结果进行评价，能强化学习动机，对学习起促进作用。因此，数学教师不仅要用赏识的眼光和心态去批阅学生的作业，而且要用赏识的语言进行评价，使他们的心灵在教师的赏识中得到舒展，让他们变得越来越优秀，越来越有自信。尤其是对于急需鼓励的中后学生，及时而有度的激励性评价，能激起他们学习数学的内在动因，获得学好数学的信心。比如在评好的等级后面加上一句“如果再仔细一点，相信成功一定属于你！”“再努力一把，相信你会更好！”“你作业的质量有了显著的提高，老师也为你感到高兴！”等评语，相信定会像别人说的那样：“教师的语言如钥匙，能打开学生心灵的窗户；如火炬，能照亮学生的未来；如种子，能深埋在学生的心里。”(6)记教学随笔教师在教学过程中或教学结束之后，对自己教学得失可以进行总结反思，并以随笔的形式记录下来。反思可以从以下几个方面入手：反思自己的教学行为得失，主要涉及的是教学方法的反思，如针对不同类型的知识（概念、定理等）是否采用了相应的方法，以及教学方法与教学目标的适合性；反思学生的学习行为得失；反思教学目标的达成情况；反思教学的导入，教学各环节的衔接；反思教材内容重点、难点的处理等。案例7随笔一则：不妨“一探到底”。学生在学线段、角等知识时，对规律探究总是一筹莫展，今天这“一探到底”效果显著：抛砖引玉：n位同学互相握手一次，一共握手次？探究1一直线上有n个点，则存在线段条；探究2同一平面上n条直线最多有交点个；探究3过平面上的n个点最多能确定直线条；探究4一个角内部有n条射线，则共有角个。(7)撰教学案例案例撰写是对教学实践的反思，从实践中选择适当的实例进行描述和分析，可以更清楚地认识哪些教法为什么取得了成功，哪些教法为什么效果不够理想。因此，教师将自己和学生的典型行为、思想、感情等故事撰写成教学案例，是教师不断反思、改进自己教学的一种方法。更可以促进教师研究自己，分享别人成长的经验，积累教学反思素材。可以说教学案例是教学问题解决的源泉，是教师专业成长的阶梯，是教学理论的故乡。三、实践效果为了检验开展纠错与反思教学的效果，从以下两个方面，对两个平行班作了统计和分析。结果见下图5：从图中不难看出，进行“纠错与反思教学”的班级明显优于其他班级，且两者之间的差异十分明显。这表明，尽管还只是在探索阶段，但其在培养学生解题能力方面的教学效果显示出了较大的优势。图5-1七年级“解题能力竞赛”反馈统计图（90分得奖）图5-2学生对解数学题的自信心调查统计图四、结语钱学森说过：“正确的结果，是从大量的错误中得出来的，没有大量的错误作台阶，也就登不上正确结果的高座。”在学生解答问题的过程中，问题不在于是否产生错误，而在于教师怎样对待学生的错误。英国心理学家贝恩布里奇也说过：“差错人皆有之，作为老师不利用是不能原谅的。”纠错，只是一种预防再次出错的手段，常说：“吃一堑，长一智”，从错误中得到的教训，更能发人深省。解题反思则是一门很深的学问，还包括很多方面，本文只是对几个方面进行反思探索，还有待进一步挖掘和钻研。反思最重要的是要学生学会自己反思，通过教师的示范、引导，能够自觉地进行反思，逐步养成一种反思的意识和习惯。实践证明，在数学教学中，经常引导学生积极地进行解题纠错，反思自己的学习活动，不仅能提高学生