课堂设计高中数学2.2.2向量减法运算及其几何意义学案新人教A必修4

2.2.2向量减法运算及其几何意义自主学习 知识梳理1相反向量(1)定义：如果两个向量长度_，而方向_，那么称这两个向量是相反向量(2)性质：对于相反向量有：a(a)_.若a，b互为相反向量，则a_，ab_.零向量的相反向量仍是_2.向量的减法(1)定义：aba(b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的_(2)作法：在平面内任取一点O，作a，b，则向量ab_.如图所示(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为_，被减向量的终点为_的向量例如：_. 自主探究我们已经知道向量不等式：|a|b|ab|a|b|，若以向量b去替换向量b就会得到向量不等式：_.当向量a、b共线同向且|a|b|时，有_；当向量a，b共线反向时，有_；当向量a，b不共线时，总有_对点讲练知识点一作两向量的差向量例1任意画一对向量a，b，求作它们的差回顾归纳需要根据不同的情况分别求解我们首先要考虑向量a、b是否共线，如果共线是同向还是反向，(1)当两向量a、b共线时，如果它们同向，则|ab|a|b|(当|a|b|时，为|a|b|；而当|a|b|时，为|b|a|)；如果它们反向，则|ab|a|b|.(2)当两向量a、b不共线时，根据三角形中两边之和总是大于第三边，而两边之差总是小于第三边可得：|a|b|ab|a|b|.变式训练1如图所示，在正五边形ABCDE中，Am，Bn，Cp，Dq，Er，求作向量mpnqr.知识点二向量减法的简单运算例2化简：()()回顾归纳方法一是将向量的减法转化为加法进行化简的；方法二是利用了，进行化简的；方法三是利用进行化简的，要注意，而不是.变式训练2化简：(1)()()；(2)()()知识点三向量减法的几何意义及应用例3在平行四边形ABCD中，a，b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？回顾归纳向量的表示、向量的加减法的定义都是与图形相联系的，体会|a|，|b|，|ab|，|ab|在相应图形中的含义是解题的关键变式训练3如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，a，b，c，试作出下列向量并分别求出其长度(1)abc；(2)abc.1向量减法的实质是向量加法的逆运算利用相反向量的定义，就可以把减法转化为加法即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量如aba(b)2在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”解题时要结合图形，准确判断，防止混淆3以向量a、b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为ab，ba，ab，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住. 课时作业一、选择题1. 如图所示，在四边形ABCD中，设a，b，c，则等于()AabcBb(ac)CabcDbac2化简的结果等于()A. B. C. D.3在平行四边形ABCD中，等于()A2 B2 C2 D24若|5，|8，则|的取值范围是()A3,8 B(3,8)C3,13 D(3,13)5边长为1的正三角形ABC中，|的值为()A1 B2C. D.二、填空题6如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AC与BD交于O点，则_.7. 如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c，则_.8已知非零向量a，b满足|a|1，|b|1，且|ab|4，则 |ab|_.三、解答题9. 如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设a，b，c，求证：bca.10. 如图所示，O为ABC的外心，H为垂心，求证：.2.2.2向量减法运算及其几何意义答案知识梳理1(1)相等相反(2)0b0零向量2(1)相反向量(2)(3)始点终点自主探究|a|b|ab|a|b|ab|a|b|ab|a|b|a|b|ab|a|b|对点讲练例1解(1)当a、b共线时，有a、b同向和反向两种情况：a、b共线同向：如图，作a，b，则ab；a、b共线反向：如图，作a，b，则aba(b)(2)若a、b不共线，有两种作法第一种作法：如图甲，在平面内任取一点O，作a，b，则()ab，第二种作法如图乙，在平面内任取一点O，作a，b，则b，则由向量加法的平行四边形法则，可得a(b)ab.变式训练1解如图所示，延长AC到Q.使CQAC，则mpnqr(mn)(pqr)ACACA.例2解方法一()()()()0.方法二()()()()0.方法三设O为平面内任意一点，则()()()()()()0.变式训练2解(1)()().(2)()()()0.例3解由向量加法的平行四边形法则，得ab，ab.则有：当a，b满足|ab|ab|时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；当a，b满足|a|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；当a，b满足|ab|ab|且|a|b|时，四边形ABCD为正方形变式训练3解(1)由已知得ab，又c，延长AC到E，使|.则abc，且|2.|abc|2.即为所求向量，其长度为2.(2)作，连接CF，则，而aab，abc且|2.|abc|2.即为所求向量，其长度为2.课时作业1A2.B3A()()()()2.4C|且|A|.3|13.3|13.5D如图所示，延长CB到点D，使BD1，则.在ABD中，ABBD1，ABD120，易求AD，|.6.7abc解析acbabc.84解析如图所示设Oa，Ob，则|B|ab|.以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则|O|ab|.由于(1)2(1)242.故|O|2|O|2|B|2，所以OAB是AOB为90的直角三角形，从而OAOB，所以OACB是矩形，根据矩形的对角线相等有|O|B|4，即|ab|4.9证明方法一bc，a，bca，即bca.方法二ca，b，cab