2021版高考数学第四章三角函数、解三角形第4讲三角函数的图象与性质教学案理北师大版.docx

第4讲三角函数的图象与性质一、知识梳理1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数ysin x，x0，2的图象上，五个关键点是：(0，0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)在余弦函数ycos x，x0，2的图象上，五个关键点是：(0，1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xR，且xk，kZ值域1，11，1R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2k，2k(kZ)上是增函数，在2k，2k(kZ)上是减函数在2k，2k(kZ)上是增函数，在2k，2k(kZ)上是减函数在(k，k)(kZ)上是增函数周期性周期是2k(kZ且k0)，最小正周期是2周期是2k(kZ且k0)，最小正周期是2周期是k(kZ且k0)，最小正周期是对称性对称轴是xk(kZ)，对称中心是(k，0)(kZ)对称轴是xk(kZ)，对称中心是(k，0)(kZ)对称中心是(，0)(kZ)常用结论1函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期T，函数ytan(x)的最小正周期T.2正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期3三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x的形式，偶函数一般可化为yAcos xb的形式二、教材衍化1若函数y2sin 2x1的最小正周期为T，最大值为A，则T_，A_解析：最小正周期T，最大值A211.答案：12下列关于函数y4sin x，x，的单调性的叙述，正确的是_(填序号)在，0上是增函数，在0，上是减函数；在上是增函数，在及上是减函数；在0，上是增函数，在，0上是减函数；在及上是增函数，在上是减函数解析：函数y4sin x在和上是减少的，在上是增加的答案：3 ytan 2x的定义域是_解析：由2xk，kZ，得x，kZ，所以ytan 2x的定义域是.答案：一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)ysin x在第一、第四象限是增函数()(2)余弦函数ycos x的对称轴是y轴()(3)正切函数ytan x在定义域内是增函数()(4)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(5)ysin |x|是偶函数()(6)若sin x，则x.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、易错纠偏(1)忽视yAsin x(或yAcos x)中A对函数单调性的影响；(2)忽视定义域的限制；(3)忽视正切函数的周期；(4)不化为同名函数以及同一单调区间导致比较大小出错1函数y12cos x的减区间为_解析：函数y12cos x的减区间为函数ycos x的增区间答案：2k，2k(kZ)2函数f(x)3sin(2x)在区间0，上的值域为_解析：当x0，时，2x，所以sin，1， 故3sin，3，所以函数f(x)在区间0，上的值域是，3答案：，33函数ytan图象的对称中心是_解析：由x，得x，kZ.答案：(kZ)4cos 23，sin 68，cos 97的大小关系是_解析：sin 68cos 22，又ycos x在0，180上是减函数，所以sin 68cos 23cos 97.答案：sin 68cos 23cos 97学生用书P66三角函数的定义域(自主练透)1函数f(x)2tan的定义域是()A.B.C.D.解析：选D.由2xk，得x(kZ)2函数ylg sin x的定义域为_解析：要使函数有意义，则有即解得(kZ)，所以2kx2k，kZ.所以函数y的定义域为.答案：3(一题多解)函数y的定义域为_解析：法一：要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0，2上ysin x和ycos x的图象，如图所示在0，2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为x|2kx2k，kZ法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)所以定义域为x|2kx2k，kZ法三：sin xcos xsin(x)0，将x视为一个整体，由正弦函数ysin x的图象和性质可知2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)所以定义域为x|2kx2k，kZ答案：x|2kx2k，kZ求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解 三角函数的值域(师生共研) (1)已知函数f(x)cos xsin 2x，则函数f(x)的最大值为_(2)已知函数f(x)(sin xcos x)2cos 2x，求f(x)在区间上的最大值和最小值【解】(1)(换元法)因为yf(x)cos xsin 2x2cos2 xsin x2(1sin2x)sin x2(sin xsin3 x)，令tsin x，则yg(t)2(tt3)，1t1.令g(t)2(13t2)0，得t.当t时，g(t)0，g(t)在上是增函数；当t时，g(t)0，g(t)在上是减函数由此可知yg(t)在t时取得最大值，最大值为.故f(x)的最大值为.故填.(2)因为f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2x1sin 2xcos 2xsin1，当x时，.由正弦函数ysin x在上的图象知，当2x，即x时，f(x)取得最大值1；当2x，即x时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在上的最大值为1，最小值为0.求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)c的形式，再求值域(最值)(2)形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)(3)形如yasin3xbsin2xcsin xd，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值 1若函数f(x)(1tan x)cos x，x，则f(x)的最大值为()A1B2C.D1解析：选C.f(x)(1tan x)cos xcos xsin x2sin.因为x，所以x，故当x时，f(x)取最大值，故选C.2函数f(x)sin2xsin x cos x在区间上的最大值为，求m的最小值解：f(x)cos 2xsin 2xsin.由题意知xm.所以2x2m.要使得f(x)在上的最大值为，则sin在上的最大值为1.所以2m，即m.所以m的最小值为.函数的单调性(多维探究)角度一求三角函数的单调区间 (1)(2019高考全国卷)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是()Af(x)|cos 2x|Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos|x| Df(x)sin|x|(2)函数ysin xcos x(x0，)的增区间是_【解析】(1)A中，函数f(x)|cos 2x|的周期为，当x时，2x，函数f(x)是增加的，故A正确；B中，函数f(x)|sin 2x|的周期为，当x时，2x，函数f(x)是减少的，故B不正确；C中，函数f(x)cos|x|cos x的周期为2，故C不正确；D中，f(x)sin|x|由正弦函数图象知，在x0和x0)在区间，上是增函数，则的取值范围是_【解析】(1)法一：f(x)cos xsin xcos.当x0，a时，x，所以结合题意可知，a，即a，故所求a的最大值是.故选C.法二：f(x)sin xcos xsin.于是，由题设得f(x)0，即sin0在区间0，a上恒成立当x0，a时，x，所以a，即a，故所求a的最大值是.故选C.(2)法一：因为x，(0)，所以x，因为f(x)2sin x在，上是增函数，所以故00)的图象如图所示要使f(x)在，上是增函数，需(0)，即00)，从而有即0.【答案】(1)C(2)(0，已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；(3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解提醒要注意求函数yAsin(x)的单调区间时的符号，若0，那么一定先借助诱导公式将化为正数同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域 1函数f(x)tan(2x)的增区间是()A，(kZ)B(，)(kZ)C(k，k(kZ)D(k，k(kZ)解析：选B.由k2xk(kZ)，得x0，函数f(x)sin(x)在(，)上是减少的，则的取值范围是_解析：法一：由x0，得x0，kZ，得k0，所以，法二：由已知，所以02，又x，得x.当x时，f(x)是减少的，解得x，于是应有解得.答案：，三角函数的周期性、奇偶性、对称性(多维探究)角度一三角函数的周期性 (1)在函数：ycos|2x|，y|cos x|，ycos，ytan中，最小正周期为的所有函数的序号为()A BC D(2)若函数f(x)2tan的最小正周期T满足1T2，则自然数k的值为_【解析】(1)ycos|2x|cos 2x，最小正周期为；由图象知y|cos x|的最小正周期为；ycos的最小正周期T；ytan的最小正周期T，故选A.(2)由题意知12，所以k2k.即k，又kN，所以k2或3.【答案】(1)A(2)2或3(1)公式法：函数yAsin(x)或yAcos(x)的最小正周期T，yAtan(x)的最小正周期T；(2)图象法：利用三角函数图象的特征求周期 角度二三角函数的奇偶性 已知函数f(x)3sin(2x)，(0，)(1)若f(x)为偶函数，则_；(2)若f(x)为奇函数，则_.【解析】(1)因为f(x)3sin(2x)为偶函数，所以k，kZ，又因为(0，)，所以.(2)因为f(x)3sin(2x)为奇函数，所以k，kZ，又(0，)，所以.【答案】(1)(2) 奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x的形式，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式 角度三三角函数的对称性 已知函数f(x)asin xcos x(a为常数，xR)的图象关于直线x对称，则函数g(x)sin xacos x的图象()A关于点对称 B关于点对称C关于直线x对称 D关于直线x对称【解析】因为函数f(x)asin xcos x(a为常数，xR)的图象关于直线x对称，所以f(0)f，所以1a，a，所以g(x)sin xcos xsin(x)，函数g(x)的对称轴方程为xk，kZ，即xk，kZ，当k0时，对称轴为直线x.所以g(x)sin xacos x的图象关于直线x对称【答案】C(1)对于函数f(x)Asin(x)，其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0，0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断(2)函数图象的对称性与周期T之间有如下结论：若函数图象相邻的两条对称轴分别为xa与xb，则最小正周期T2|ba|；若函数图象相邻的两个对称中心分别为(a，0)，(b，0)，则最小正周期T2|ba|；若函数图象相邻的对称中心与对称轴分别为(a，0)与xb，则最小正周期T4|ba|. 1. 函数ysin的图象与函数ycos的图象()A有相同的对称轴但无相同的对称中心B有相同的对称中心但无相同的对称轴C既有相同的对称轴也有相同的对称中心D既无相同的对称中心也无相同的对称轴解析：选A.由2xk，kZ，可解得函数ysin的对称轴为x，kZ.由xk，kZ，可解得函数ycos的对称轴为xk，kZ.当k0时，函数有相同的对称轴由2xk，kZ，可解得函数ysin的对称中心为，kZ.由xk，kZ，可解得函数ycos的对称中心为，kZ.故两个函数没有相同的对称中心，故选A.2已知函数f(x)2sin(x)的图象经过点(0，1)，且关于直线x对称，则下列结论正确的是()Af(x)在上是减函数B若xx0是f(x)图象的对称轴，则一定有f(x0)0Cf(x)1的解集是，kZDf(x)图象的一个对称中心是解析：选D.由f(x)2sin(x)的图象经过点(0，1)，得sin ，又|，所以，则f(x)2sin.因为f(x)的图象关于直线x对称，所以存在mZ，使得m，得(mZ)，又00)在区间上是减少的，则的取值范围是_【解析】令2kx2k(kZ)，得x，因为f(x)在上是减少的，所以得6k4k3.又0，所以k0，又6k4k3，得0k0)在区间上是减少的，建立不等式，即可求的取值范围 二、利用三角函数的对称性求解 (1)已知函数f(x)cos(0)的一条对称轴为x，一个对称中心为点，则有()A最小值2B最大值2C最小值1 D最大值1(2)若函数ycos(N+)图象的一个对称中心是，则的最小值为_【解析】(1)因为函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以中心到对称轴x间的距离用周期可表示为(kN，T为周期)，解得(2k1)T，又T，所以(2k1)，则2(2k1)，当k0时，2最小故选A.(2)依题意得cos0，则k(kZ)6k2(kZ)，又N+，所以的最小值为2.【答案】(1)A(2)2三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“”的取值值得一提的是，三角函数的对称轴必经过其图象上的最高点(极大值)或最低点(极小值)，函数f(x)Asin(x)的对称中心就是其图象与x轴的交点，这就说明，我们也可利用三角函数的极值点(最值点)、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定“”的取值 三、利用三角函数的最值求解 (1)已知函数f(x)2sin x在区间上的最小值为2，则的取值范围是_(2)已知f(x)sin(x)(0)，ff()，且f(x)在区间内有最小值无最大值，则_【解析】(1)显然0.若0，当x时，x，因为函数f(x)2sin x在区间上的最小值为2，所以，解得.若0)的图象与函数g(x)cos(2x)的图象的对称中心完全相同，则为()A. BC. D解析：选D.因为函数f(x)2sin(0)的图象与函数g(x)cos(2x)的图象的对称中心完全相同，所以2，2k(kZ)，即2k(kZ)，因为|0)在同一周期内，当x时取最大值，当x时取最小值，则的值可能为()A. BC. D解析：选C.T2，故2，又22k，kZ，所以2k，kZ，所以的值可能为.故答案为C.6函数f(x)sin的减区间为_解析：由已知可得函数为f(x)sin，欲求函数f(x)的减区间，只需求ysin的增区间由2k2x2k(kZ)得kxk(kZ)故所求函数f(x)的减区间为(kZ)答案：(kZ)7已知函数f(x)2sin(x)1(xR)的图象的一条对称轴为x，其中为常数，且(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为_解析：由函数f(x)2sin(x)1(xR)的图象的一条对称轴为x，可得k，kZ，所以k，又(1，2)，所以，从而得函数f(x)的最小正周期为.答案：8已知函数f(x)2sin的图象的一个对称中心为，其中为常数，且(1，3)若对任意的实数x，总有f(x1)f(x)f(x2)，则|x1x2|的最小值是_解析：因为函数f(x)2sin的图象的一个对称中心为，所以k，kZ，所以3k1，kZ，由(1，3)得，2.由题意得|x1x2|的最小值为函数的半个周期，即.答案：9已知函数f(x)(sin xcos x)22cos2x2.(1)求f(x)的增区间；(2)当x时，求函数f(x)的最大值和最小值解：f(x)sin 2xcos 2xsin.(1)令2k2x2k，kZ，则kxk，kZ.故f(x)的增区间为，kZ.(2)因为x，所以2x，所以1sin ，所以f(x)1，所以当x时，函数f(x)的最大值为1，最小值为.10已知函数f(x)4sin(x)cos x.(1)求函数f(x)的最小正周期和增区间；(2)若函数g(x)f(x)m在0，上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并计算tan(x1x2)的值解：(1)f(x)4sin(x)cos x4(sin xcos x)cos x2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x2sin(2x)所以函数f(x)的最小正周期为T.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以函数f(x)的增区间为k，k(kZ)(2)函数g(x)f(x)m在0，上有两个不同的零点x1，x2，即函数yf(x)与ym在0，上的图象有两个不同的交点，在直角坐标系中画出函数yf(x)2sin(2x)在0，上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m，2)时，方程f(x)m有两个不同的解x1，x2，且x1x22，故tan(x1x2)tantan .综合题组练1(2019高考全国卷)关于函数f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数；f(x)在区间递增；f(x)在，有4个零点；f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A BC D解析：选C.通解：f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，所以f(x)为偶函数，故正确；当x时，f(x)sin xsin x2sin x，所以f(x)在是减少的，故不正确；f(x)在，的图象如图所示，由图可知函数f(x)在，只有3个零点，故不正确；因为ysin|x|与y|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，所以f(x)可以取到最大值2，故正确综上，正确结论的编号是.故选C.优解：因为f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，所以f(x)为偶函数，故正确，排除B；当x0)，已知f(x)在0，2有且仅有5个零点下述四个结论：f(x)在(0，2)有且仅有3个极大值点f(x)在(0，2)有且仅有2个极小值点f(x)在递增的取值范围是其中所有正确结论的编号是()A BC D解析：选D.如图，根据题意知，xA2xB，根据图象可知函数f(x)在(0，2)有且仅有3个极大值点，所以正确；但可能会有3个极小值点，所以错误；根据xA2xB，有2，得，所以正确；当x(0，)时，x，因为，所以0)，f()f()0，且f(x)在区间(，)上是减少的，则_.解析：因为f(x)sin xcos x2sin(x)，由2kx2k，kZ，得x，因为f(x)在区间(，)上递减，所以(，)，从而有，解得12k1，kZ，所以1，因为f()f()