2021版高考数学第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第3讲二项式定理教学案理北师大版.docx

第3讲二项式定理一、知识梳理1二项式定理(1)定理：(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN+)(2)通项：第k1项为Tk1Cankbk(3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C(k0，1，2，n)2二项式系数的性质常用结论1两个常用公式(1)CCCC2n.(2)CCCCCC2n1.2二项展开式的三个重要特征(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.3三个易错点(1)二项式定理中，通项公式Tk1Cankbk是展开式的第k1项，不是第k项(2)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk1Cankbk中，C是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关(3)二项式系数的最值与指数n的奇偶性有关当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值二、教材衍化1 (12x)5的展开式中，x2的系数为_解析：Tk1C(2x)kC2kxk，当k2时，x2的系数为C2240.答案：402若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_解析：二项式系数之和2n64，所以n6，Tk1Cx6kCx62k，当62k0，即当k3时为常数项，T4C20.答案：203若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为_解析：令x1，则a0a1a2a3a40，令x1，则a0a1a2a3a416，两式相加得a0a2a48.答案：8一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)(ab)n的展开式中的第r项是Canrbr.()(2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(3)在(ab)n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关()(4)通项Tr1Canrbr中的a和b不能互换()(5)(ab)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏(1)混淆“二项式系数”与“系数”致误；(2)配凑不当致误1在二项式，的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为_解析：由题意得2n32，所以n5.令x1，得各项系数的和为(12)51.答案：12已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，则a8_解析：因为(1x)102(1x)10，所以其展开式的通项为Tr1(1)r210rC(1x)r，令r8，得a84C180.答案：1803(x1)5(x2)的展开式中x2的系数为_解析：(x1)5(x2)x(x1)52(x1)5展开式中含有x2的项为20x25x215x2.故x2的系数为15.答案：15求二项展开式的特定项或系数(师生共研) (1)在的展开式中，x2的系数为_(2)在二项式的展开式中，若常数项为10，则a_【解析】(1)的展开式的通项Tr1Cx5rCx5，令5r2，得r2，所以x2的系数为C.(2)的展开式的通项Tr1C(ax2)5rCa5rx10，令100，得r4，所以Ca5410，解得a2.【答案】(1)(2)2求二项展开式中的特定项的系数问题的步骤(1)利用通项将Tk1项写出并化简(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.(3)代回通项得所求 1.的展开式中，常数项是()ABC D解析：选D.Tr1C(x2)6rCx123r，令123r0，解得r4，所以常数项为C.2.的展开式中所有的有理项为_解析：二项展开式的通项为Tk1Cx，由题意Z，且0k10，kN.令r(rZ)，则102k3r，k5r，因为kN，所以r应为偶数所以r可取2，0，2，即k可取2，5，8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，x2.答案：x2，x2二项式系数与各项系数和问题(师生共研) (1)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为641，则x3的系数为()A15 B45C135 D405(2)若(1x)9a0a1xa2x2a9x9，则|a1|a2|a3|a9|()A1 B513C512 D511【解析】(1)由题意知64，得n6，展开式的通项为Tr1Cx6r3rCx6，令63，得r2，则x3的系数为32C135.故选C.(2)令x0，得a01，令x1，得|a1|a2|a3|a9|1(1)91291511.【答案】(1)C(2)D“赋值法”普遍应用于恒等式，是一种处理与二项式相关问题的比较常用的方法对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x1即可 1.的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是()A6 BC4x D或4x解析：选A.令x1，可得的展开式中各项系数之和为2n，即82n0)的展开式中的常数项为_解析：(x0)可化为，因而Tr1C()102r，令102r0，则r5，故展开式中的常数项为C.答案：15设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a7b，则m_解析：(xy)2m展开式中二项式系数的最大值为C，所以aC.同理，bC.因为13a7b，所以13C7C.所以137.所以m6.答案：6综合题组练1已知C4C42C43C(1)n4nC729，则CCC的值等于()A64 B32C63 D31解析：选C.因为C4C42C43C(1)n4nC729，所以(14)n36，所以n6，因此CCC2n126163，故选C.2设aZ，且0a13，若512 018a能被13整除，则a()A0 B1C11 D12解析：选D.512 018a(521)2 018aC522 018C522 017C52(1)2 017C(1)2 018a.因为52能被13整除，所以只需C(1)2 018a能被13整除，即a1能被13整除，所以a12.3已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kN+)是一个单调递增数列，则k的最大值是_解析：由二项式定理知，anC(n1，2，3，11)又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6C，则k的最大值为6.答案：64设a2x dx，则二项式的展开式中的常数项为_解析：a2x dxx21，则二项式，其展开式的通项公式为Tr1C(x2)6r(1)rCx123r，令123r0，解得r4.所以常数项为(1)4C15.答案：155已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解：令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)因为a0C1，所以a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71 094.(3)()2，得a0a2a4a61 093.(4)因为(12x)7的展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，所以|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.6已知的展开式中，前三项的系数成等差数列(1)求n；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C，C，C，由已知得2CCC，解得n8(n1舍去)(2)的展开式的