高中数学第二章2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式示范教案.docx

2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式示范教案教学分析这一节，主要是把数量积运算完全坐标化向量的数量积，教材将其分为三部分在第一部分向量的数量积中，首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论；在第二部分中专门探究了数量积满足的运算律，在第三部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上，利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定方法，本节是向量数量积的第三部分前面我们学习了平面向量的数量积，以及平面向量的坐标表示一方面在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后，就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题另一方面，由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角，因此在实现向量数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来利用平面向量的坐标表示和坐标运算，结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示通过例题分析、课堂训练，让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本题型的求解方法平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的，这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础三维目标1通过探究平面向量的数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法2掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题3通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质重点难点教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：向量数量积的坐标表示的应用课时安排1课时导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题思路2.在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示，引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示推进新课活动：教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示，而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系，那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系，这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师与学生一起探究如下：(1)向量内积的坐标运算建立正交基底e1，e2已知a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab(a1e1a2e2)(b1e1b2e2)a1b1e1e1a1b2e1e2a2b1e2e1a2b2e2e2.因为e1e1e2e21，e1e2e2e10，所以我们得到数量积的坐标表达式aba1b1a2b2.实际上，a1b1a2b2表示两个向量的数量积，只与长度和角度有关，与坐标系的选择无关，它是解析几何中一个重要的不变量在度量几何中有着重要应用这样，遇到几何中的度量问题，就可通过建立坐标系，用代数方法来处理教学时引导学生自己推导数量积的坐标表达式(2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件如果ab，则ab0；反之，如果ab0，则ab.上述两个向量垂直的条件，换用两向量的数量积坐标表示，即为：如果ab，则a1b1a2b20；如果a1b1a2b20，则ab.因此aba1b1a2b20.有了这个条件，就可以通过计算数量积处理相关的垂直问题引导学生写出向量(a1，a2)垂直的向量坐标形式，即：当b1b20时，条件a1b1a2b20，可以写成k.这就是说，如果ab，则向量(a1，a2)与(b2，b1)平行，上式中的k是比例系数于是得到：对任意实数k，向量k(b2，b1)与向量(b1，b2)垂直(3)向量的长度、距离和夹角公式引导学生自己推导公式如图1，已知a(a1，a2)，则|a|2aa(a1，a2)(a1，a2)aa.图1因此|a|.这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，从而|.的长就是A，B两点之间的距离，因此式也就是求两点的距离公式这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样由向量数量积的坐标表达式和向量长度计算公式，以及向量数量积的定义，就可以直接推得求两个向量夹角余弦的坐标表达式cosa，b .讨论结果：略思路1例 1 已知a(3，1)，b(1，2)，求ab，|a|，|b|，a，b活动：本例直接应用公式运算，可由学生自己完成解：ab(3，1)(1，2)325；|a|；|b|；因为cosa，b，所以a，b.例 2已知A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，试判断ABC的形状，并给出证明活动：教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题判断平面图形的形状，特别是三角形的形状时主要看边长是否相等，角是否为直角可先作出草图，进行直观判定，再去证明在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等，则此平面图形与平行四边形有关；若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零，则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法解：在平面直角坐标系中标出A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)三点，我们发现ABC是直角三角形下面给出证明(21,32)(1,1)，(21,52)(3,3)，1(3)130.ABC是直角三角形.变式训练在ABC中，(2,3)，(1，k)，且ABC的一个内角为直角，求k的值解：由于题设中未指明哪一个角为直角，故需分别讨论若A90，则，所以0.于是213k0.故k.同理可求，若B90时，k的值为；若C90时，k的值为.故所求k的值为或或.例 3(1)已知三点A(2，2)，B(5,1)，C(1,4)，求BAC的余弦值；(2)若a(3,0)，b(5,5)，求a与b的夹角活动：教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a(x1，y1)与b(x2，y2)的数量积abx1x2y1y2和模|a|，|b|的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值，即cos.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时，需注意两向量夹角的范围是0.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚，以免出现不必要的错误解：(1)(5,1)(2，2)(3,3)，(1,4)(2，2)(1,6)，3(1)3615.又|3，|，cosBAC.(2)ab3(5)0515，|a|3，|b|5.设a与b的夹角为，则cos.又0，.变式训练若点P分有向线段所成的比为，则点B分有向线段所成的比是()ABC.D3答案：A例 4已知点A(a，b)与点A(b，a)，求证：直线yx是线段AA垂直平分线(图2)图2活动：向量垂直的坐标表示x1x2y1y20与向量共线的坐标表示x1y2x2y10很容易混淆，应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，两向量垂直是ab0，而共线是方向相同或相反教师可多加强反例练习，多给出这两种类型的同式变形训练证明：设线段AA的中点为M(x，y)，则依据中点公式，有x，y.由此得xy，点M在直线yx上在直线yx上，任取一点P，则可设P(x，y)，于是(x，x)又因为(ba，ab)，所以x(ba)x(ab)0.所以.因此，直线yx是线段AA的垂直平分线点评：本题主要考查学生对公式的掌握情况，学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线，也能熟练地进行公式的逆用，利用已知关系来求向量的坐标.变式训练求证：一次函数y2x3的图象(直线l1)与一次函数yx的图象(直线l2)互相垂直解：在l1：y2x3中，令x1得y1；令x2得y1，即在l1上取两点A(1，1)，B(2,1)同理，在直线l2上取两点C(2,1)，D(4,2)，于是：(2,1)(1，1)(21,11)(1,2)，(4,2)(2,1)(42,21)(2,1)由向量的数量积的坐标表示，可得1(2)120，即l1l2.1在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向量的夹角，向量垂直的条件其次引导学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示2在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法，如类比，分类讨论等，使自己的认识在这一大节知识方法的整合中得以提升课本本节习题2.4A组8、9、10.由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用，是对平面向量几何意义的综合研究提高，因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高，这符合新课程理念，符合新课标要求我们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容，也是高考中的重点，既有选择题、填空题，也有解答题(大多同立体几何、解析几何综合考查)，故学习时要熟练掌握基本概念和性质及其综合运用而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容，用坐标表示直角坐标平面内点的位置，是解析几何的一个基本特征，从而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几何的内在联系以三角函数表示点的坐标，又可以沟通向量与三角函数的相互关系，由此就产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便，也拓宽了向量应用的途径通过学习本节的内容，要更加加深对向量数量积概念的理解，同时善于运用坐标形式运算解决数量问题，尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等，往往可以使问题简单化灵活使用坐标形式，综合处理向量的线性运算、数量积、平行等，综合地解决向量综合题，体现数形结合的思想在本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应用知识解决实际问题的意识与能力一、|ab|a|b|的应用若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则平面向量的数量积的性质|ab|a|b|的坐标表示为x1x2y1y2(x1x2y1y2)2(xy)(xy)不等式(x1x2y1y2)2(xy)(xy)有着非常广泛的应用，由此还可以推广到一般(柯西不等式)：(a1b1a2b2anbn)2(a1a2an)(b1b2bn)例 1(1)已知实数x，y满足xy40，则x2y2的最小值是_；(2)已知实数x，y满足(x2)2y21，则2xy的最大值是_解析：(1)令m(x，y)，n(1,1)|mn|m|n|，|xy|，即2(x2y2)(xy)216.x2y28，故x2y2的最小值是8.(2)令m(x2，y)，n(2，1)，2xyt.由|mn|m|n|，得|2(x2)y|，即|t4|.解得4t4.故所求的最大值是4.答案：(1)8(2)4例 2已知a，bR，(0，)，试比较与(ab)2的大小解：构造向量m(，)，n(cos，sin)，由|mn|m|n|得(cossin)2()(cos2sin2)，(ab)2.同类变式：已知a，bR，m，nR，且mn0，m2n2a2m2b2n2，令M，Nab，比较M、N的大小解：构造向量p(，)，q(n，m)，由|pq|p|q|得(nm)2()(m2n2)(m2n2)N.例 3设a，bR，A(x，y)|xn，ynab，nZ，B(x，y)|xm，y3m215，mZ，C(x，y)|x2y2144是直角坐标平面xOy内的点集，讨论是否存在a和b，使得AB与(a，b)C能同时成立解：此问题等价于探求a、b是否存在的问题，它满足设存在a和b满足两式，构造向量m(a，b)，n(n,1)由|mn|2|m|2|n|2得(nab)2(n21)(a2b2)，(3n215)2144(n21)n46n290.解得n，这与nZ矛盾，故不存在a和b满足条件二、备用习题1若a(2，3)，b(x,2x)，且ab，则x等于()A3 B. C D32设a(1,2)，b(1，m)，若a与b的夹角为钝角，则m的取值范围是()Am Bm Dm3在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则等于()A(2，4) B(3，5)C(3,5) D(2,4)4在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若a，b，则等于()A.ab B.abC.ab D.ab5已知向量a与b的夹角为120，且|a|b|4，那么ab的值为_6已知a，b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角7已知ABC的三个顶点为A(1,1)，B(3,1)，C(4,5)，求ABC的面积参考答案：1C2.D3.B4.B5.86解：由已知(a3b)(7a5b) (a3b)(7a5b)07a216ab15b20，又(a4b)(7a2b) (a4b)(7a2b)07a230ab8b20，得46ab23b2，即ab.将代入，可得7|a|28|b|215|b|20，即|a|2|b|2，有|a|b|，若记a与b的夹角为，则cos.又0，180，60，即a与b的夹角为60.7分析