【数学】3.3.3 函数的最大(小)值与导数 1(人教A版选修1-1)

第三章导数及其应用3 3 3函数的最大 小 值与导数 f x 0 f x 0 复习 一 函数单调性与导数关系 如果在某个区间内恒有 则为常数 设函数y f x 在某个区间内可导 f x 为增函数 f x 为减函数 二 函数的极值定义 使函数取得极值的点x0称为极值点 求解函数极值的一般步骤 1 确定函数的定义域 2 求函数的导数f x 3 求方程f x 0的根 4 用方程f x 0的根 顺次将函数的定义域分成若干个开区间 并列成表格 5 由f x 在方程f x 0的根左右的符号 来判断f x 在这个根处取极值的情况 左正右负极大值 左负右正极小值 观察下列图形 你能找出函数的极值吗 观察图象 我们发现 是函数y f x 的极小值 是函数y f x 的极大值 新课导学 学习课本P96 P98 回答下面问题 1 你能找出函数在区间 a b 上的最大值 最小值吗 2 如果区间变成 a b 函数f x 的最值怎么样 3 函数在什么条件下一定有最大 最小值 他们与函数极值关系如何 最大值一定比最小值大吗 4 学习例5归纳求函数最值的步骤 2 将y f x 的各极值与f a f b 端点处 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个最小值 求f x 在闭区间 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在区间 a b 内极值 极大值或极小值 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值 在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值 1 课本p98练习2 求函数y xlnx的最小值 拓展提高 1 我们知道 如果在闭区间 a b 上函数y f x 的图像是一条连续不断的曲线 那么它必定有最大值和最小值 那么把闭区间 a b 换成开区间 a b 是否一定有最值呢 如下图 不一定 2 函数f x 有一个极值点时 极值点必定是最值点 3 如果函数f x 在开区间 a b 上只有一个极值点 那么这个极值点必定是最值点 有两个极值点时 函数有无最值情况不定 一 是利用函数性质二 是利用不等式三 是利用导数 求函数最值的一般方法 小结 第三章导数及其应用3 3 3函数的最大 小 值与导数 二 函数最值的应用例3设函数f x tx2 2t2x t 1 x R t 0 1 求f x 的最小值h t 2 若h t 2t m对t 0 2 恒成立 求实数m的取值范围 课堂讲义 规律方法 1 恒成立 问题向最值问题转化是一种常见的题型 一般地 可采用分离参数法进行转化 f x 恒成立 f x max f x 恒成立 f x min 对于不能分离参数的恒成立问题 直接求含参函数的最值即可 2 此类问题特别要小心 最值能否取得到 和 不等式中是否含等号 的情况 以此来确定参数的范围能否取得 课堂讲义 跟踪演练3设函数f x 2x3 9x2 12x 8c 1 若对任意的x 0 3 都有f x 0 当x 1 2 时 f x 0 当x 1时 f x 取极大值f 1 5 8c 又f 3 9 8c f 1 x 0 3 时 f x 的最大值为f 3 9 8c 课堂讲义 对任意的x 0 3 有f x 9 c的取值范围为 1 9 2 由 1 知f x f 3 9 8c 9 8c c2 即c 1或c 9 c的取值范围为 1 9 课堂讲义 1 函数f x x2 4x 7 在x 3 5 上的最大值和最小值分别是 A f 2 f 3 B f 3 f 5 C f 2 f 5 D f 5 f 3 答案B 当堂检测 解析 f x 2x 4 当x 3 5 时 f x 0 故f x 在 3 5 上单调递减 故f x 的最大值和最小值分别是f 3 f 5 当堂检测 2 函数f x x3 3x x 1 A 有最大值 但无最小值B 有最大值 也有最小值C 无最大值 但有最小值D 既无最大值 也无最小值答案D解析f x 3x2 3 3 x 1 x 1 当x 1 1 时 f x 0 所以f x 在 1 1 上是单调递减函数 无最大值和最小值 故选D 当堂检测 答案C 当堂检测 4 函数f x x3 3x2 9x k在区间 4 4 上的最大值为10 则其最小值为 答案 71解析f x 3x2 6x 9 3 x 3 x 1 由f x 0得x 3或x 1 又f 4 k 76 f 3 k 27 f 1 k 5 f 4 k 20 由f x max k 5 10 得k 5 f x min k 76 71 当堂检测 小结 恒成