第六章 6.3 分式线性映射

1 6 3分式线性映射 一 分式线性映射的一般形式 二 分式线性映射的分解 三 分式线性映射的特性 四 唯一决定分式线性映射的条件 五 两个典型区域间的映射 2 一 分式线性映射的一般形式 定义 2 分式线性映射的逆映射也是一个分式线性映射 3 二 分式线性映射的分解 分析 将分式线性函数分解 其复合过程为 4 二 分式线性映射的分解 分析 因此 一个一般形式的分式线性映射可以由下面四种 最简单的分式线性映射复合而成 复合成 整式 线性映射 复合成分式线性映射 4 5 二 分式线性映射的分解 1 平移映射 令 则有 向量的方向平移一段距离 下面分别对四种映射进行讨论 为了比较映射前后的变化 将w平面与z平面放在同一个平面上 6 二 分式线性映射的分解 2 旋转映射 旋转一个角度 令 则有 当时 沿逆时针旋转 当时 沿顺时针旋转 7 二 分式线性映射的分解 3 相似映射 其特点是保持点的辐角不变 令 则有 但模扩大 或缩小 r倍 它将曲线或者区域相似地扩大 或缩小 r倍 8 单位圆外 或内 且辐角反号 二 分式线性映射的分解 4 反演 或倒数 映射 它将单位圆内 或外 的点映射到 令 则有 圆周对称的概念 则称A和 A B两点位于从圆心O B是关于圆周C对称的 出发的射线上 且 自然地 规定圆心O与无穷远点关于该圆周对称 9 单位圆外 或内 且辐角反号 二 分式线性映射的分解 4 反演 或倒数 映射 它将单位圆内 或外 的点映射到 令 则有 结论 是单位圆周对称映射与实轴对称映射的复合 10 二 分式线性映射的分解 两个特殊的对称映射 1 关于单位圆周的对称映射 令 则有 即 2 关于实轴的对称映射 令 则有 即 11 单位圆外 或内 且辐角反号 二 分式线性映射的分解 4 反演 或倒数 映射 它将单位圆内 或外 的点映射到 令 则有 结论 是单位圆周对称映射与实轴对称映射的复合 12 三 分式线性映射的几种特性 1 保形性 而且其中的保角性在分式线性映射的构造中非常实用 2 保圆性 定理 在扩充复平面上 分式线性映射能把圆变成圆 则它就映射成半径有限的圆 13 三 分式线性映射的几种特性 1 保形性 而且其中的保角性在分式线性映射的构造中非常实用 2 保圆性 定理 在扩充复平面上 分式线性映射能把圆变成圆 则它就映射成直线 14 在分式线性映射下 求圆 或圆弧段 的像曲线的方法 对于圆弧段 或直线段 两个端点必须选定 1 找出原像曲线中的一些 特殊点 所对应的像点 从而能够大致地确定出像曲线的位置 2 找出一些 特殊曲线 如坐标轴等 所对应的像 3 由原像之间的关系 如夹角等 确定像之间的关系 三 分式线性映射的几种特性 求直线 例 下的像曲线 在映射 解 方法二利用保圆性 直接三点定圆 找三点 不是蛮好直接定圆 求直线 例 下的像曲线 在映射 解 方法三借助特殊点和特殊曲线 3 由于和在点正交 1 特殊点 故和在点正交 故其像曲线是经过两点的圆 将虚轴记为 在直线C上取两点和 2 特殊线 则其像曲线为实轴 求直线 例 下的像曲线 在映射 结合保圆性和保角性 3 由于被映射为被映射为0 被映射为从原点出发且相互垂直的两条射线 因此圆弧和 求区域 例 在映射 下的像区域 解 方法一利用保圆性 直接三点定圆 其中 求区域 例 在映射 下的像区域 解 方法二利用保圆性 保角性 2 由和在点正交 3 由顺时针旋转90度到 求区域 例 在映射 下的像区域 解 方法三借助特殊曲线 2 由与的交角及位置关系 知与的交角及位置关系 从而很容易地确定出和 1 将虚轴上从到的一段记为 则 求区域 例 在映射 下的像区域 22 3 保对称点性 三 分式线性映射的几种特性 23 分析 四 唯一决定分式线性映射的条件 分式线性映射中含有四个常数 也任给三个不同的点 分别依次映射为 平面上 平面上任给三个不同的点 定理 在 线性映射 将 在 则存在唯一的分式 24 2 如果或中有一个为 将对应点公式中含有的项换成1 因此对应点公式通常 则只需 六 唯一决定分式线性映射的条件 称下式为对应点公式 定义 P151式子 6 10 25 六 唯一决定分式线性映射的条件 称下式为对应点公式 定义 P151式子 6 10 点的弧映射成过原点的直线 把过 特点 如果在构造共形映射的过程中 左式是作为中间步骤 则 可直接设为1 则 2 旋转 可由保角性直接得 例 已知区域 求一分式线性映射 将区域D映射 解 为第一象限 故 得 也可要求将或者其它点 说明 从上半单位圆域到第一象限的映射为 结论 28 五 两个典型区域间的映射 将上半平面映射成单位圆域 在实轴上和单位圆周上分别取三点 根据对应点公式有 显然 如果取另外的三点则会得到另外的结果 比较重要 29 五 两个典型区域间的映射 将上半平面映射成单位圆域 特点 这两个区域的边界都是圆 求解 方法二 求通式 根据前面的推论有 30 五 两个典型区域间的映射 特点 这两个区域的边界都是圆 求解 方法二 求通式 又当在实轴上取值时 有 即 特别 取则得到方法一的结果 将上半平面映射成单位圆域 31 根据对应点公式有 整理后即得 如图 在和上分别取三点 32 解 方法二 利用保对称点性 故 求一共形映射将区域映射为 例 33 解 方法三 直接套用公式 由 求一共形映射将区域映射为 例 34 由 求一共形映射将区域映射为 例 且满足 35 求一共形映射将区域映射为 例 解 1 求通式 且