2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第3讲圆的方程教学案理北师大版.docx

第3讲圆的方程一、知识梳理1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心：，半径： 2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.常用结论几种常见圆的方程的设法标准方程的设法一般方程的设法圆心在原点x2y2r2x2y2r20续表标准方程的设法一般方程的设法过原点(xa)2(yb)2a2b2x2y2DxEy0圆心在x轴上(xa)2y2r2x2y2DxF0圆心在y轴上x2(yb)2r2x2y2EyF0与x轴相切(xa)2(yb)2b2x2y2DxEyD20与y轴相切(xa)2(yb)2a2x2y2DxEyE20二、教材衍化1以点(3，1)为圆心，并且与直线3x4y0相切的圆的方程是()A(x3)2(y1)21B(x3)2(y1)21C(x3)2(y1)21D(x3)2(y1)21答案：A2圆x2y24x6y0的圆心坐标为_，半径为_解析：x2y24x6y0，得(x2)2(y3)213.所以圆心坐标为(2，3)，半径为.答案：(2，3)3圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为_解析：设圆心坐标为C(a，0)，因为点A(1，1)和B(1，3)在圆C上，所以|CA|CB|，即，解得a2，所以圆心为C(2，0)，半径|CA|，所以圆C的方程为(x2)2y210.答案：(x2)2y210一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.()(2)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF0.()(3)方程x22axy20一定表示圆()(4)(x2)2(y1)2a2(a0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆()(5)圆x22xy2y0的圆心是.()(6)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F0；(2)错用点与圆的位置关系；(3)不能正确确定圆心坐标1若方程x2y2mx2y30表示圆，则m的取值范围是_解析：将x2y2mx2y30化为圆的标准方程得(y1)22.由其表示圆可得20，解得m2.答案：(，2)(2，)2若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是_解析：因为点(1，1)在圆内，所以(1a)2(a1)24，即1a0)，又圆与直线4x3y0相切，所以1，解得a2或a(舍去)所以圆的标准方程为(x2)2(y1)21.答案：(x2)2(y1)21求圆的方程(多维探究)角度一已知不共线的三点，求圆的方程 (一题多解)已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为_【解析】法一(待定系数法)：根据题意，设圆E的圆心坐标为(a，0)(a0)，半径为r，则圆E的标准方程为(xa)2y2r2(a0)由题意得解得所以圆E的标准方程为y2.法二(待定系数法)：设圆E的一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则由题意得解得所以圆E的一般方程为x2y2x10，即y2.法三(几何法)：因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y2(x1)上又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为.则圆E的半径为EB，所以圆E的标准方程为y2.【答案】y2角度二已知两点及圆心所在直线，求圆的方程 (一题多解)求圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5)的圆的方程【解】法一：设点C为圆心，因为点C在直线x2y30上，所以可设点C的坐标为(2a3，a)又该圆经过A，B两点，所以|CA|CB|，即，解得a2，所以圆心C的坐标为(1，2)，半径r.故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.法二：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意得解得故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.法三：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则圆心坐标为.由题意得解得故所求圆的方程为x2y22x4y50.角度三已知直线与圆的位置关系，求圆的方程 (1)已知圆C与直线yx及xy40都相切，且圆心在直线yx上，则圆C的方程为_(2)圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为_【解析】(1)xy0和xy40之间的距离为2，所以圆的半径为.又因为yx与xy0，xy40均垂直，所以由yx和xy0联立得交点坐标为(0，0)，由yx和xy40联立得交点坐标为(2，2)，所以圆心坐标为(1，1)，故圆C的方程为(x1)2(y1)22.(2)设圆C的圆心为(a，b)(b0)，由题意得a2b0，且a2()2b2，解得a2，b1.所以所求圆的标准方程为(x2)2(y1)24.【答案】(1)(x1)2(y1)22(2)(x2)2(y1)24求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值提醒解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质 1(一题多解)(2020陕西西安一模)已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(1，0)和(2，3)，则圆C的半径为()A8B2C5 D解析：选D.法一：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(r0)因为圆C经过点(1，0)和(2，3)，所以所以ab20，又圆C截两坐标轴所得弦长相等，所以|a|b|，由得ab1，所以圆C的半径为，故选D.法二：因为圆C经过点M(1，0)和N(2，3)，所以圆心C在线段MN的垂直平分线yx2上，又圆C截两坐标轴所得弦长相等，所以圆心C到两坐标的距离相等，所以圆心C在直线yx上，因为直线yx和直线yx2平行，所以圆心C为直线yx和直线yx2的交点(1，1)，所以圆C的半径为.故选D.2(2020湖北“荆、襄、宜七校考试联盟”期末)已知圆C经过直线xy20与圆x2y24的交点，且圆C的圆心在直线2xy30上，则圆C的方程为_解析：设所求圆的方程为(x2y24)a(xy2)0，a0，即x2y2axay42a0，所以圆心为，因为圆心在直线2xy30，所以a30，所以a6.所以圆的方程为x2y26x6y160，即(x3)2(y3)234.答案：(x3)2(y3)234与圆有关的轨迹问题(师生共研) 已知过原点O的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹方程【解】(1)由x2y26x50得(x3)2y24，所以圆C1的圆心坐标为(3，0)(2)设M(x，y)，因为点M为线段AB的中点，所以C1MOM，所以kC1MkAB1，当x3时可得1，整理得y2，又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立设直线l的方程为ykx，与x2y26x50联立，消去y得：(1k2)x26x50.令其判别式(6)24(1k2)50，得k2，此时方程为x26x50，解得x，因此0)，则2，解得m2或m(舍去)，故所求圆的方程为(x2)2y24，即x2y24x0.故选C.3方程|x|1所表示的曲线是()A一个圆 B两个圆C半个圆 D两个半圆解析：选D.由题意得即或故原方程表示两个半圆4(一题多解)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(8，0)，以OA为直径的圆与直线y2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为()Ax2y80 Bx2y80C2xy160 D2xy160解析：选A.法一：如图，由题意知OBAB，因为直线OB的方程为y2x，所以直线AB的斜率为，因为A(8，0)，所以直线AB的方程为y0(x8)，即x2y80，故选A.法二：依题意，以OA为直径的圆的方程为(x4)2y216，解方程组，得或(舍去)，即B，因为A(8，0)，所以kAB，所以直线AB的方程为y0(x8)，即x2y80，故选A.5(2020河北五个一名校联盟一诊)已知点P为圆C：(x1)2(y2)24上一点，A(0，6)，B(4，0)，则|的最大值为()A.2 B4C24 D22解析：选C.取AB的中点D(2，3)，则2，|2|，|的最大值为圆心C(1，2)与D(2，3)的距离d再加半径r，又d，所以dr2.所以|2|的最大值为24.故选C.6点M，N是圆x2y2kx2y40上的不同两点，且点M，N关于直线xy10对称，则该圆的半径为_解析：圆x2y2kx2y40的圆心坐标为.因为点M，N在圆x2y2kx2y40上，且点M，N关于直线xy10对称，所以直线xy10经过圆心，即110，k4.所以圆的方程为x2y24x2y40，圆的半径为3.答案：37已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以圆C的方程为(x2)2y29.答案：(x2)2y298已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为_解析：圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x，2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0.即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.答案：(x1)2(y3)229(一题多解)一个圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线yx上截得的弦长为2，则该圆的方程为_解析：法一：因为所求圆的圆心在直线x3y0上，所以设所求圆的圆心为(3a，a)，又所求圆与y轴相切，所以半径r3|a|，又所求圆在直线yx上截得的弦长为2，圆心(3a，a)到直线yx的距离d，所以d2()2r2，即2a279a2，所以a1.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29，即x2y26x2y10或x2y26x2y10.法二：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则圆心(a，b)到直线yx的距离为，所以r27，即2r2(ab)214.由于所求圆与y轴相切，所以r2a2，又因为所求圆的圆心在直线x3y0上，所以a3b0，联立，解得或故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29，即x2y26x2y10或x2y26x2y10.法三：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心的坐标为，半径r.在圆的方程中，令x0，得y2EyF0.由于所求圆与y轴相切，所以0，则E24F.圆心到直线yx的距离为d，由已知得d2()2r2，即(DE)2562(D2E24F)又圆心在直线x3y0上，所以D3E0.联立，解得或故所求圆的方程为x2y26x2y10或x2y26x2y10.答案：x2y26x2y10或x2y26x2y1010设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.综合题组练1自圆C：(x3)2(y4)24外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A8x6y210 B8x6y210C6x8y210 D6x8y210解析：选D.由题意得，圆心C的坐标为(3，4)，半径r2，如图因为|PQ|PO|，且PQCQ，所以|PO|2r2|PC|2，所以x2y24(x3)2(y4)2，即6x8y210，所以点P的轨迹方程为6x8y210，故选D.2设点P是函数y的图象上的任意一点，点Q(2a，a3)(aR)，则|PQ|的最小值为()A.2 BC.2 D2解析：选C.如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1，0)，点Q在直线l：x2y60上过圆心C作直线l的垂线，垂足为点A，则|CA|，|PQ|min|CA|22.故选C.3(2020福建厦门一模)在ABC中，AB4，AC2，A，动点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，则的最小值为_解析：如图，以点A为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系则A(0，0)，B(4，0)，C(1，)，设P(x，y)，则(4x，y)，(1x，y)，所以(4x)(1x)y(y)x25xy2y43，其中表示圆A上的点P与点M之间距离|PM|的平方，由几何图形可得|PM|min|AM|111，所以()min(1)2352.答案：524已知以点P为圆心的圆经