2021版高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式教学案理北师大版.docx

第4讲基本不等式一、知识梳理1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab(a，bR)(4)(a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数常用结论已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)二、教材衍化1设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为_解析：因为x0，y0，所以，即xy81，当且仅当xy9时，(xy)max81.答案：812若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.解析：设矩形的一边为x m，则另一边为(202x)(10x)m，所以yx(10x)25，当且仅当x10x，即x5时，ymax25.答案：25一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)ab成立的条件是ab0.()(3)“x0且y0”是“2”的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值是2.()答案：(1)(2)(3)(4)二、易错纠偏(1)忽视基本不等式成立的条件；(2)基本不等式不会变形使用1 “x0”是“x2成立”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C.当x0时，x22.因为x，同号，所以若x2，则x0，0，所以“x0”是“x2成立”的充要条件，故选C.2设x0，则函数yx的最小值为_解析：yx2220，当且仅当x，即x时等号成立所以函数的最小值为0.答案：0利用基本不等式求最值(多维探究)角度一通过配凑法利用基本不等式求最值 (1)已知0x1)的最小值为_【解析】(1)x(43x)(3x)(43x)，当且仅当3x43x，即x时，取等号(2)y(x1)222.当且仅当(x1)，即x1时，等号成立【答案】(1)(2)22角度二通过常数代换利用基本不等式求最值 若a0，b0，lg alg blg(ab)，则ab的最小值为()A8 B6 C4 D2【解析】由lg alg blg(ab)，得lg(ab)lg(ab)，即abab，则有1，所以ab(ab)2224，当且仅当ab2时等号成立，所以ab的最小值为4，故选C.【答案】C角度三通过消元法利用基本不等式求最值 (一题多解)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_【解析】法一：由已知得x3y9xy，又因为x0，y0，所以x3y2，所以3xy，当且仅当x3y时，即x3，y1时取等号，(x3y)212(x3y)1080.令x3yt，则t0且t212t1080，得t6即x3y6.法二：由x3yxy9，得x，所以x3y3y3(1y)6261266.当且仅当3(1y)，即y1时等号成立所以x3y的最小值为6.【答案】6角度四多次利用基本不等式求最值 若a，bR，ab0，则的最小值为_【解析】因为ab0，所以4ab24，当且仅当时取等号，故的最小值是4.【答案】4(1)利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式(2)常数代换法，主要解决形如“已知xyt(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值(3)当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值(4)当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法 (2020河南许昌、洛阳第三次质量检测)已知x0，y0，且1，则xyxy的最小值为_解析：因为1，所以xyy2x，xyxy3x2y(3x2y)774(当且仅当yx，即x1，y2时取等号)所以xyxy的最小值为74.答案：74基本不等式的实际应用(师生共研) 某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，则每批应生产产品()A60件 B80件 C100件 D120件【解析】若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是220，当且仅当，即x80时取等号，故选B.【答案】B利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN+)，则该公司年平均利润的最大值是_万元解析：每台机器运转x年的年平均利润为18，而x0，故1828，当且仅当x5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元答案：8基本不等式的综合应用(多维探究)角度一与其他知识的交汇问题 (1)已知直线axbyc10(b，c0)经过圆x2y22y50的圆心，则的最小值是_(2)设等差数列an的公差是d，其前n项和是Sn，若a1d1，则的最小值是_【解析】(1)圆x2y22y50化成标准方程，得x2(y1)26，所以圆心为C(0，1)因为直线axbyc10经过圆心C，所以a0b1c10，即bc1.因此(bc)5.因为b，c0，所以24.当且仅当b2c，且bc1，即b，c时，取得最小值9.(2)ana1(n1)dn，Sn，所以(n1)，当且仅当n4时取等号所以的最小值是.【答案】(1)9(2)角度二求参数的值或取值范围 已知不等式(xy)9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为_【解析】(xy)1a1a2(1)2(x，y，a0)，当且仅当yx时取等号，所以(xy)的最小值为(1)2，所以(1)29恒成立所以a4.【答案】4(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围 1已知x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则的最小值是()A2 B2 C4 D2解析：选C.因为lg 2xlg 8ylg 2，所以lg(2x8y)lg 2，所以2x3y2，所以x3y1.因为x0，y0，所以(x3y)2224，当且仅当x3y时取等号，所以的最小值为4.故选C.2已知直线l：axbyab0(a0，b0)经过点(2，3)，则ab的最小值为_解析：因为直线l经过点(2，3)，所以2a3bab0，则1，所以ab(ab)552.当且仅当，即a3，b2时等号成立答案：523已知函数f(x)(aR)，若对于任意的xN+，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_解析：对任意xN+，f(x)3恒成立，即3恒成立，即a3.设g(x)x，当x，即x2时，g(x)取得最小值，又xN*，则g(2)6，g(3).因为g(2)g(3)，所以g(x)min，所以3，所以a，故a的取值范围是.答案：利用均值定理连续放缩求最值已知ab0，那么a2的最小值为_【解析】因为ab0，所以ab0，所以b(ab)，所以a2a224，当且仅当bab且a2，即a且b时取等号，所以a2的最小值为4.【答案】4设ab0，则a2的最小值是_【解析】因为ab0，所以ab0，所以a2(a2ab)ab224(当且仅当a2ab且ab，即a，b时取等号)【答案】4利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法 已知正实数a，b，c，d满足ab1，cd1，则的最小值是()A10B9C4D3解析：选B.因为ab1，a0，b0，所以ab，所以4，当且仅当ab时，取等号又因为cd1，c0，d0，所以4(cd)5529，当且仅当ab，且c，d时，取等号，即的最小值为9，故选B. 基础题组练1下列不等式一定成立的是()Alglg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)解析：选C.对于选项A，当x0时，x2x0，所以lglg x；对于选项B，当sin x0时显然不成立；对于选项C，x21|x|212|x|，一定成立；对于选项D，因为x211，所以01.故选C.2(2020广西钦州期末)已知a，bR，a2b215ab，则ab的最大值是()A15 B12 C5 D3解析：选C.因为a2b215ab2ab，所以3ab15，即ab5，当且仅当ab时等号成立所以ab的最大值为5.故选C.3已知f(x)，则f(x)在上的最小值为()A. B C1 D0解析：选D.f(x)x2220，当且仅当x，即x1时取等号又1，所以f(x)在上的最小值是0.4若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B2 C2 D4解析：选C.因为，所以a0，b0，由22，所以ab2(当且仅当b2a时取等号)，所以ab的最小值为2.5(2020湖南衡阳期末)已知P是面积为1的ABC内的一点(不含边界)，若PAB，PAC和PBC的面积分别为x，y，z，则的最小值是()A. BC. D3解析：选D.因为xyz1，0x1，0y1，0z0，b0，3ab2ab，则ab的最小值为_解析：由a0，b0，3ab2ab，得1，所以ab(ab)22，当且仅当ba时等号成立，则ab的最小值为2.答案：27(2020江西吉安期末)已知函数f(x)，则f(x) 的最大值为_解析：设tsin x2，则t1，3，则sin2x(t2)2，则g(t)t4(1t3)，由“对勾函数”的性质可得g(t)在1，2)上为减函数，在(2，3上为增函数，又g(1)1，g(3)，所以g(t)maxg(1)1.即f(x)的最大值为1.答案：18已知正数x，y满足x2(xy)恒成立，则实数的最小值为_解析：依题意得x2x(x2y)2(xy)，即2(当且仅当x2y时取等号)，即的最大值为2.又恒成立，因此有2，即的最小值为2.答案：29(1)当x时，求函数yx的最大值；(2)设0x2，求函数y的最大值解：(1)y(2x3).当x0，所以24，当且仅当，即x时取等号于是y4，故函数的最大值为.(2)因为0x0，所以y，当且仅当x2x，即x1时取等号，所以当x1时，函数y的最大值为.10已知x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12 .得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64.(2)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)10102 18.当且仅当x12，y6时等号成立，所以xy的最小值为18.综合题组练1已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值为()A9 B12 C18 D24解析：选B.由，得m(a3b)6.又62612，当且仅当，即a3b时等号成立，所以m12，所以m的最大值为12.2(2020湖北恩施2月教学质量检测)已知角，的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，终边上分别有点A(1，a)，B(2，b)，且2，则b的最小值为()A1 B C. D2解析：选C.由已知得，a0，b0，tan a，tan ，因为2，所以tan tan 2，所以a，所以bb2，当且仅当，即b时，取等号故b的最小值为.3(2020安徽合肥第二次教学质量检测)若ab0，则a2b2的最小值为_解析：a2b22，当且仅当ab2时，a2b2取得最小值.答案：4当xR时，32x(k1)3x20恒成立，则k的取值范围是_解析：由32x(k1)3x20，解得k10恒成立，所以当xR时，k1，即k12，即k0，y0，且2x5y20.求：(1)ulg xlg y的最大值；(2)的最小值解：(1)因为x0，y0，所以由基本不等式，得2x5y2.因为2x5y20，所以220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.所以ulg xlg ylg(xy)lg 101.所以当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)因为x0，y0，所以.当且仅当时，等号成立由解得所以的最小值为.6某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m0)万元满足x3(k为常数)如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件