2021版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第3讲函数的奇偶性及周期性练习理北师大版.docx

第3讲 函数的奇偶性及周期性 基础题组练1下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上递增的是()AyBy|x|1Cylg x Dy解析：选B.y为奇函数；ylg x的定义域为(0，)，不具备奇偶性；y在(0，)上为减函数；y|x|1在(0，)上为增函数，且在定义域上为偶函数2设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)3x7x2b(b为常数)，则f(2)()A6 B6C4 D4解析：选A.因为f(x)为定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)3x7x2b，所以f(0)12b0，所以b.所以f(x)3x7x1，所以f(2)f(2)(32721)6.选A.3已知函数yf(x)，满足yf(x)和yf(x2)是偶函数，且f(1)，设F(x)f(x)f(x)，则F(3)()A. BC D解析：选B.由yf(x)和yf(x2)是偶函数知，f(x)f(x)，f(x2)f(x2)f(x2)，故f(x)f(x4)，则F(3)f(3)f(3)2f(3)2f(1)2f(1)，故选B.4定义在R上的偶函数f(x)满足f(x3)f(x)若f(2)1，f(7)a，则实数a的取值范围为()A(，3) B(3，)C(，1) D(1，)解析：选D.因为f(x3)f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数，所以f(7)f(79)f(2)又因为函数f(x)是偶函数，所以f(2)f(2)，所以f(7)f(2)1，所以a1，即a(1，)故选D.5(2020湖南郴州质量检测)已知f(x)是定义在2b，1b上的偶函数，且在2b，0上为增函数，则f(x1)f(2x)的解集为()A. BC1，1 D解析：选B.因为f(x)是定义在2b，1b上的偶函数，所以2b1b0，所以b1，因为f(x)在2b，0上为增函数，即函数f(x)在2，0上为增函数，故函数f(x)在(0，2上为减函数，则由f(x1)f(2x)，可得|x1|2x|，即(x1)24x2，解得1x.又因为定义域为2，2，所以解得综上，所求不等式的解集为.故选B.6若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_解析：因为 f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)0恒成立，所以xln(x)xln(x)0恒成立，所以xln a0恒成立，所以ln a0，即a1.答案：17(2020四川乐山模拟)已知函数f(x)满足：f(x)f(x)0，且当x0时，f(x)1，则f(1)_解析：因为f(x)f(x)0，所以f(x)为奇函数，又当x0时，f(x)1，则f(0)10，所以m1.所以当x0时，f(x)1，所以f(1)f(1).答案：8定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(2x)及f(x)f(x)，且在0，1上有f(x)x2，则f_解析：函数f(x)的定义域是R，f(x)f(x)，所以函数f(x)是奇函数. 又f(x)f(2x)，所以f(x)f(2x)f(x)，所以f(4x)f(2x)f(x)，故函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以ffff.因为在0，1上有f(x)x2，所以f，故f.答案：9已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上递增，求实数a的取值范围解：(1)设x0，则x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)由(1)可画出f(x)的图象，知f(x)在1，1上是增函数，要使f(x)在1，a2上递增结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1，310设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积解：(1)由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数所以f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)从而可知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示设当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.综合题组练1(2020广东湛江一模)已知函数g(x)f(2x)x2为奇函数，且f(2)1，则f(2)()A2 B1C1 D2解析：选C.因为g(x)为奇函数，且f(2)1，所以g(1)g(1)，所以f(2)1f(2)1110，所以f(2)1.故选C.2函数yf(x)在0，2上是增加的，且函数f(x2)是偶函数，则下列结论成立的是()Af(1)ff Bff(1)fCfff(1) Dff(1)f解析：选B.因为函数f(x2)是偶函数，所以f(x2)f(x2)，所以函数f(x)的图象关于x2对称，所以ff，ff.因为yf(x)在0，2上是增加的，且1，所以ff(1)f，即ff(1)f.3(2019高考全国卷)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x1)2f(x)，且当x(0，1时，f(x)x(x1)若对任意x(，m，都有f(x)，则m的取值范围是()A. BC. D解析：选B.当1x0时，0x11，则f(x)f(x1)(x1)x；当1x2时，0x11，则f(x)2f(x1)2(x1)(x2)；当2x3时，0x21，则f(x)2f(x1)22f(x2)22(x2)(x3)，由此可得f(x)由此作出函数f(x)的图象，如图所示由图可知当2x3时，令22(x2)(x3)，整理，得(3x7)(3x8)0，解得x或x，将这两个值标注在图中要使对任意x(，m都有f(x)，必有m，即实数m的取值范围是，故选B.4定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，f(x2)f(x)且f(x)在1，0上是增函数，给出下列几个命题：f(x)是周期函数；f(x)的图象关于x1对称；f(x)在1，2上是减函数；f(2)f(0)，其中正确命题的序号是_(请把正确命题的序号全部写出来)解析：因为f(xy)f(x)f(y)对任意x，yR恒成立令xy0，所以f(0)0.令xy0，所以yx，所以f(0)f(x)f(x)所以f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数因为f(x)在x1，0上为增函数，又f(x)为奇函数，所以f(x)在0，1上为增函数由f(x2)f(x)f(x4)f(x2)f(x4)f(x)，所以周期T4，即f(x)为周期函数f(x2)f(x)f(x2)f(x)又因为f(x)为奇函数，所以f(2x)f(x)，所以函数关于x1对称由f(x)在0，1上为增函数，又关于x1对称，所以f(x)在1，2上为减函数由f(x2)f(x)，令x0得f(2)f(0)f(0)答案：5已知函数yf(x)在定义域1，1上既是奇函数又是减函数(1)求证：对任意x1，x21，1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0；(2)若f(1a)f(1a2)0，求实数a的取值范围解：(1)证明：若x1x20，显然不等式成立若x1x20，则1x1x21，因为f(x)在1，1上是减函数且为奇函数，所以f(x1)f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立若x1x20，则1x1x21，同理可证f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立综上得证，对任意x1，x21，1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0恒成立(2)因为f(1a)f(1a2)0f(1a2)f(1a)f(a1)，所以由f(x)在定义域1，1上是减函数，得即解得0a1.故所求实数a的取值范围是0，1)6已知函数f(x)对任意xR满足f(x)f(x)0，f(x1)f(x1)，若当x0，1)时，f(x)axb(a0且a1)，且f.(1)求实数a，b的值；(2)求函数g(x)f2(x)f(x)的值域解：(1)因为f(x)f(x)0，所以f(x)f(x)，即f(x)是奇函数因为f(x1)f(x1)，所以