二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

柯桥中学高三数学组何利民 第七编不等式 7 4二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 在平面直角坐标系中 不等式Ax By C 0表示在直线 Ax By C 0的某一侧的平面区域 1 二元一次不等式表示平面区域 1 结论 二元一次不等式Ax By C 0在平面直角坐标系中表示直线Ax By C 0某一侧所有点组成的平面区域 2 判断方法 由于对直线同一侧的所有点 x y 把它代入Ax By C 所得实数的符号都相同 所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 x0 y0 从Ax0 By0 C的正负可以判断出Ax By C 0表示哪一侧的区域 一般在C 0时 取原点作为特殊点 应该注意的几个问题 1 若不等式中不含0 则边界应画成虚线 否则应画成实线 2 画图时应非常准确 否则将得不到正确结果 2 简单的线性规划 有关概念由x y的不等式 或方程 组成的不等式组称为x y的约束条件 关于x y的一次不等式或方程组成的不等式组称为x y的线性约束条件 欲达到最大值或最小值所涉及的变量x y的解析式称为目标函数 关于x y的一次目标函数称为线性目标函数 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题 满足线性约束条件的解 x y 称为可行解 所有可行解组成的集合称为可行域 使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解 解线性规划问题的步骤 2 移 在线性目标函数所表示的一组平行线中 利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线 3 求 通过解方程组求出最优解 4 答 作出答案 1 画 画出线性约束条件所表示的可行域 基础自测1 下列各点中 不在x y 1 0表示的平面区域的是 A 0 0 B 1 1 C 1 3 D 2 3 C 2 若点 1 3 和 4 2 在直线2x y m 0的两侧 则m的取值范围是 A m10B m 5或m 10C 5 m 10D 5 m 10 C 3 设A x y x y 1 x y是三角形的三边长 则A所表示的平面区域 不含边界的阴影部分 是 A 4 2009 安徽文 3 不等式组所表示的平面区域的面积等于 A B C D 解析不等式组表示的平面区域如图所示 C 5 完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成 请木工需付工资每人50元 请瓦工需付工资每人40元 现有工人工资预算2000元 设木工x人 瓦工y人 请工人的约束条件是 题型一二元一次不等式 组 表示的平面区域 例1 画出不等式组表示的平面区域 并回答下列问题 1 指出x y的取值范围 2 平面区域内有多少个整点 题型分类深度剖析 x y 0 x y 5 0 x 3 3 3 8 3 3 5 5 2 平面区域内的整点共有2 4 6 8 10 12 42个 知能迁移1如图 ABC中 A 0 1 B 2 2 C 2 6 写出 ABC区域所表示的二元一次不等式组 题型二求目标函数的最值问题 例2 解下列线性规划问题 求z 2x y的最大值和最小值 使式中的x y满足约束条件 点评 正确作出不等式组所表示的平面区域 可行域 再由线性目标函数作出一组平行线考察最值 是解线性规划问题的基本步骤 l0 2x y 0 当x 1 y 1时 z取最小值 zmin 3 当x 5 y 2时 z取最大值 zmax 12 变式1 求z 2x y x y均为整数 的最大值与最小值 变式2 求z x 1 2 y 3 2的最大值与最小值 知能迁移2 2009 浙江理 13 若实数x y满足不等式组则z 2x 3y的最小值是 4 知能迁移3在如图所示的坐标平面的可行域内 阴影部分且包括边界 若目标函数z x ay取得最小值的最优解有无数个 则的最大值是 A B C D B 在约束条件下 当3 s 5时 目标函数z 3x 2y的最大值的变化范围是 A 6 15 B 7 15 C 6 8 D 7 8 06广东高考 D B 4 s 2s 4 C 0 s 06重庆高考 已知变量x y满足约束条件若目标函数z ax y 其中a 0 仅在点 3 0 处取得最大值 则a的取值范围为 题型三线性规划的简单应用 例3 某公司仓库A存有货物12吨 仓库B存有货物8吨 现按7吨 8吨和5吨把货物分别调运给甲 乙 丙三个商店 从仓库A运货物到商店甲 乙 丙 每吨货物的运费分别为8元 6元 9元 从仓库B运货到商店甲 乙 丙 每吨货物的运费分别为3元 4元 5元 问应如何安排调运方案 才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少 由于题目中量比较多 所以最好通过列出表格以便清晰地展现题目中的条件 设出仓库A运给甲 乙商店的货物吨数可得运到丙商店的货物吨数 列出可行域 即可求解 思维启迪 解将已知数据列成下表 设仓库A运给甲 乙商店的货物分别为x吨 y吨 则仓库A运给丙商店的货物为 12 x y 吨 从而仓库B运给甲 乙 丙商店的货物分别为 7 x 吨 8 y 吨 5 12 x y x y 7 吨 于是总运费为z 8x 6y 9 12 x y 3 7 x 4 8 y 5 x y 7 x 2y 126 商店 仓库 每吨运费 线性约束条件为目标函数为z x 2y 126 作出上述不等式组表示的平面区域 其可行域如图中阴影部分所示 作出直线l x 2y 0 把直线l平行移动 显然当直线l移动到过点 0 8 时 在可行域内 z x 2y 126取得最小值zmin 0 2 8 126 110 即x 0 y 8时总运费最少 安排的调运方案如下 仓库A运给甲 乙 丙商店的货物分别为0吨 8吨 4吨 仓库B运给甲 乙 丙商店的货物分别为7吨 0吨 1吨 此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少 解线性规划应用问题的一般步骤是 1 分析题意 设出未知量 2 列出线性约束条件和目标函数 3 作出可行域并利用数形结合求解 4 作答 探究提高 知能迁移3 2009 四川 10 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用A原料3吨 B原料2吨 生产每吨乙产品要用A原料1吨 B原料3吨 销售每吨甲产品可获得利润5万元 每吨乙产品可获得利润3万元 该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨 B原料不超过18吨 那么该企业可获得的最大利润是 A 12万元B 20万元C 25万元D 27万元 解析设生产甲产品x吨 乙产品y吨 则获得的利润为z 5x 3y 由题意得可行域如图阴影所示 由图可知当x y在A点取值时 z取得最大值 此时x 3 y 4 z 5 3 3 4 27 万元 答案D 题型四线性规划的综合应用 例4 12分 实数x y满足 1 若求z的最大值和最小值 并求z的取值范围 2 若z x2 y2 求z的最大值与最小值 并求z的取值范围 1 表示的是区域内的点与原点连线的斜率 故的最值问题即为直线的斜率的最大值与最小值 2 z x2 y2的最值表示的是区域内的点与原点的两点距离的平方的最大值 最小值 思维启迪 解作出可行域如图阴影部分所示 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率 4分因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率 OA斜率不存在 zmax不存在 zmin 2 z的取值范围是 2 7分 解题示范 2 z x2 y2表示可行域内的任意一点与坐标原点的两点间距离的平方 9分因此x2 y2的范围最小为 OA 2 取不到 最大为 OB 2 由得A 0 1 OA 2 02 12 1 OB 2 12 22 5 zmax 5 z无最小值 故z的取值范围是 1 5 12分 探究提高本例与常规线性规划不同 主要是目标函数不是直线形式 此类问题常考虑目标函数的几何意义 常见代数式的几何意义主要有以下几点 1 表示点 x y 与原点 0 0 的距离 表示点 x y 与 a b 的距离 2 表示点 x y 与原点 0 0 连线的斜率 表示点 x y 与点 a b 连线的斜率 理解这些代数式的几何意义 往往是解决问题的关键 1 平面区域的画法 二元一次不等式的标准化与半平面的对应性 对于A 0的直线l Ax By C 0 Ax By C 0对应直线l右侧的平面 Ax By C 0对应直线l左侧的平面 由一组直线围成的区域形状常见的有 三角形 四边形 多边形以及扇形域和带状域等 方法与技巧 思想方法感悟提高 2 转化 求二元一次函数z ax by ab 0 的最值 将函数z ax by转化为直线的斜截式 通过求直线的截距的最值间接求出z的最值 3 实数最优解一定在顶点或边界取得 经过区域内整数最优解的直线距实数最优解最近 4 线性规划应用题建模的思路 一般以 资源 产品 收益 为主线 设元时将产品数量设为x y 将收益多少设为z 资源数量为常数a b c等 这样z与x y之间的关系就是目标函数 而x y与a b c等之间的关系就是约束条件 1 二元一次不等式与半平面的对应关系 比如 二元一次不等式Ax By C 0 当A 0时表示直线l Ax By C 0右侧的平面 当A0时 截距取最大值时 z也取最大值 截距取最小值时 z也取最小值 当b 0时 截距取最大值时 z取最小值 截距取最小值时 z取最大值 失误与防范 一 选择题1 2009 福建文 9 在平面直角坐标系中 若不等式组 a为常数 所表示的平面区域的面积等于2 则a的值为 A 5B 1C 2D 3 定时检测 解析由得A 1 a 1 由得B 1 0 由得C 0 1 ABC的面积为2 且a 1 S ABC a 1 2 a 3 答案D 2 2009 安徽理 7 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分 则k的值是 解析不等式组表示的平面区域如图所示 由于直线y kx 过定点因此只有直线过AB中点时 直线y kx 能平分平面区域 因为A 1 1 B 0 4 所以AB中点答案A 3 若实数x y满足条件目标函数z 2x y 则 A zmax B zmax 1C zmax 2D zmin 0解析如图所示 当z 2x y过时 C 4 已知点P x y 满足点Q x y 在圆 x 2 2 y 2 2 1上 则 PQ 的最大值与最小值为 A 6 3B 6 2C 5 3D 5 2解析可行域如图阴影部分 设 PQ d 则由图中圆心C 2 2 到直线4x 3y 1 0的距离最小 则到点A距离最大 得A 2 3 dmax CA 1 5 1 6 B 5 2009 湖北理 8 在 家电下乡 活动中 某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇 现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用 每辆甲型货车运输费用400元 可装洗衣机20台 每辆乙型货车运输费用300元 可装洗衣机10台 若每辆车至多只运一次 则该厂所花的最少运输费用为 A 2000元B 2200元C 2400元D 2800元 解析设需甲型货车x辆 乙型货车y辆 由题意知作出其可行域如图所示 可知目标函数z 400 x 300y在点A处取最小值 zmin 400 4 300 2 2200 元 答案B 6 2008 海南 宁夏文 10 点P x y 在直线4x 3y 0上 且x y满足 14 x y 7 则点P到坐标原点的距离的取值范围是 A 0 5 B 0 10 C 5 10 D 5 15 解析如图所示 可知直线4x 3y 0分别与直线x y 14 x y 7的交点为P1 6 8 P2 3 4 易知 OP1 10 OP2 5 故 OP 的取值范围为 0 10 B 二 填空题7 2009 陕西文 14 设x y满足约束条件则z x 2y的最小值是 最大值是 解析如图所示 由题意得A 3 4 由图可以看出 直线x 2y z过点 1 0 时 zmin 1 过点 3 4 时 zmax 3 2 4 11 1 11 8 2009 山东文 16 某公司租赁甲 乙两种设备生产A B两类产品 甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件 乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件 已知设备甲每天的租赁费为200元 设备乙每天的租赁费为300元 现该公司至少要生产A类产品50件 B类产品140件 所需租赁费最少为 元 解析设需租赁甲种设备x台 乙种设备y台 目标函数为z 200 x 300y 作出其可行域 易知当x 4 y 5时 z 200 x 300y有最小值2300元 答案2300 9 已知实数x y满足不等式组目标函数z y ax a R 若取最大值时的唯一最优解是 1 3 则实数a的取值范围是 解析如图所示 依题意直线x y 4 0与x y 2 0交于A 1 3 此时取最大值 故a 1 1 三 解答题10 若a 0 b 0 且当时 恒有ax by 1 求以a b为坐标的点P a b 所形成的平面区域的面积 解作出线性约束条件对应的可行域如图所示 在此条件下 要使ax by 1恒成立 只要ax by的最大值不超过1即可 令z ax by 则因为a 0 b 0 此时对应的可行域如图 所以以a b为坐标的点P a b 所形成的面积为1 11 A B两地分别生产同一规格产品12千吨 8千吨 而D E F三地分别需要8千吨 6千吨 6千