2012北京绝密高考：海淀+东城+西城(理科).doc

2012年北京海淀高三数学一模试题（理科）海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学（理科）2012.04一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合，且，那么的值可以是 （A） （B） （C） （D）（2）在等比数列中，则=（A）（B） （C） （D）（3）在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是（A） （B）开始n=5，k=0n为偶数n=1输出k结束k=k+1是否是否（C） （D）（4）已知向量，若与垂直，则（A） （B） （C）2 （D）4（5）执行如图所示的程序框图，输出的值是（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （6）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是 （A）12 （B）24 （C）36 （D）48（7）已知函数 若，使得成立，则实数的取值范围是 （A） （B） （C） （D）或（8）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足与所成的角为的点的个数为 （A）0 （B）3 （C）4 （D）6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）复数在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数= . （10）过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . （11）若，则= . （12）设某商品的需求函数为，其中分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1（其中，是的导数），则商品价格的取值范围是 . （13）如图，以的边为直径的半圆交于点，交于点，于点，那么= ，= . （14）已知函数则（）= ；（）给出下列三个命题：函数是偶函数；存在，使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形；存在，使得以点为顶点的四边形为菱形. 其中，所有真命题的序号是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）在中，角，的对边分别为，且， 成等差数列.（）若，求的值；（）设，求的最大值. (16)（本小题满分14分）在四棱锥中，/，平面，. （）设平面平面，求证：/； （）求证：平面；（）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值 (17)（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，.（）求直方图中的值；（）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）(18)（本小题满分13分）已知函数.（）求的单调区间；（）是否存在实数，使得函数的极大值等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.(19)（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为， 为椭圆的上顶点，且.（）求椭圆的标准方程；（）已知直线：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示.（）证明：;（）求四边形的面积的最大值. (20)（本小题满分14分）对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合. 已知，.（）写出和的值，并用列举法写出集合；（）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值；（）有多少个集合对（P，Q），满足，且？ 海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理科）参考答案及评分标准 201204一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案DBACBD AB二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9） （10） （11） （12） （13）60 （14） 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）解：（）因为成等差数列， 所以. 因为， 所以. 2分 因为， 所以. 5分所以或（舍去）. 6分 （）因为，所以 . 10分 因为， 所以. 所以当，即时，有最大值.13分 (16)（本小题满分14分）（）证明： 因为/，平面，平面，所以/平面. 2分因为平面，平面平面，所以/. 4分（）证明：因为平面，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，. 5分所以 ，所以，.所以 ，. 因为 ，平面，平面，所以 平面. 9分（）解：设（其中），直线与平面所成角为.所以 .所以 .所以 即. 所以 . 11分由（）知平面的一个法向量为.12分因为 ，所以 .解得 .所以 . 14分(17)（本小题满分13分）解：（）由直方图可得：.所以 . 2分（）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：， 4分因为，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿. 6分（）的可能取值为0，1，2，3，4. 7分由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为，, ,. 所以的分布列为：0123412分.（或）所以的数学期望为1. 13分 (18)（本小题满分13分）解：（）的定义域为. ，即 . 2分令，解得：或. 当时，故的单调递增区间是. 3分当时，随的变化情况如下：极大值极小值所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.5分当时，随的变化情况如下：极大值极小值所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.7分（）当时，的极大值等于. 理由如下： 当时，无极大值.当时，的极大值为， 8分令，即 解得 或（舍）. 9分 当时，的极大值为. 10分因为 ， 所以 .因为 ，所以 的极大值不可能等于. 12分综上所述，当时，的极大值等于.13分 (19)（本小题满分13分）（）解：设椭圆的标准方程为. 因为，所以.所以 . 2分所以 椭圆的标准方程为. 3分（）设，.（）证明：由消去得：.则， 5分所以 .同理 . 7分因为 ,所以 .因为 ，所以 . 9分（）解：由题意得四边形是平行四边形，设两平行线间的距离为,则 .因为 ，所以 . 10分所以 .（或）所以 当时， 四边形的面积取得最大值为. 13分 (20)（本小题满分14分）解：（），. 3分（）根据题意可知：对于集合，若且，则；若且，则.所以 要使的值最小，2，4，8一定属于集合；1，6，10，16是否属于不影响的值；集合不能含有之外的元素.所以 当为集合1,6,10,16的子集与集合2,4,8的并集时，取到最小值4. 8分（）因为 ，所以 .由定义可知：.所以 对任意元素， .所以 .所以 . 由 知：.所以 .所以 .所以 ，即.因为 ，所以 满足题意的集合对（P，Q）的个数为.14分北京市东城区2011-2012学年第二学期综合练习（一）高三数学（理科）学校_班级_姓名_考号_本试卷分第卷和第卷两部分，第卷1至2页，第卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若，是虚数单位，且，则的值为 （A） （B） （C） （D）（2）若集合，则“”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （3）若实数，满足不等式组则的最小值为 （A） （B） （C） （D） （4）右图给出的是计算的值的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是 （A） （B） （C） （D） （5）某小区有排成一排的个车位，现有辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为（A）16（B）18（C）24（D）32（6）已知，若，成等比数列，则的值为 C （A）（B）（C）（D）（7）在直角梯形中，已知，若为的中点，则的值为 （A） （B） （C） （D）（8）已知函数若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（A） （B） （C） （D）第卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）命题“”的否定是 .（10）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 （11）在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是 组（12）如图，是的直径，直线切于点，且与延长线交于点，若，则= （13）抛物线的准线方程为 ；此抛物线的焦点是，则经过和点 ，且与准线相切的圆共有 个（14）如图，在边长为的正方形中，点在上，正方形以为轴逆时针旋转角到的位置 ，同时点沿着从点运动点，点在上，在运动过程中点始终满足，记点在面上的射影为，则在运动过程中向量与夹角的正切值的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分） 已知函数.（）求的最小正周期；（）若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当,时，求的最大值和最小值. （16）（本小题共13分） 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为，二等品率为；乙产品的一等品率为，二等品率为.生产件甲产品，若是一等品，则获利万元，若是二等品，则亏损万元；生产件乙产品，若是一等品，则获利万元，若是二等品，则亏损万元.两种产品生产的质量相互独立.（）设生产件甲产品和件乙产品可获得的总利润为（单位：万元），求的分布列；（）求生产件甲产品所获得的利润不少于万元的概率.（17）（本小题共13分）如图1，在边长为的正三角形中，分别为，上的点，且满足.将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结，.（如图2）（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的大小. 图1 图2 (18)（本小题共14分）已知函数在处的切线斜率为零（）求和的值；（）求证：在定义域内恒成立；() 若函数有最小值，且，求实数的取值范围.（19）（本小题共13分）已知椭圆：的左、右顶点分别为，为短轴的端点，的面积为，离心率是（）求椭圆的方程；（）若点是椭圆上异于，的任意一点，直线，与直线分别交于，两点，证明：以为直径的圆与直线相切于点 (为椭圆的右焦点)（20）（本小题共14分）若对于正整数,表示的最大奇数因数，例如，.设 （）求,的值；（）求，的值；（）求数列的通项公式北京市东城区2011-2012学年第二学期综合练习（一）高三数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）D （2）A （3）A （4）B（5）C （6）C （7）D （8）A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10） （11）84 乙（12） （13） （14）注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（）因为 , 6分所以函数的最小正周期为. 8分 （）依题意, . 10分 因为，所以. 11分 当，即时，取最大值；当，即时， 取最小值. 13分 （16）（共13分）解：（）由题设知，的可能取值为，. 2分 ， ， ， . 6分 由此得的分布列为： 8分（）设生产的件甲产品中一等品有件，则二等品有件. 由题设知，解得，又，得，或. 10分所求概率为.（或写成）答：生产件甲产品所获得的利润不少于万元的概率为. 13分（17）（共13分）（）证明：取中点，连结.因为，所以，而，即是正三角形.又因为, 所以. 2分所以在图2中有，.3分所以为二面角的平面角. 图1又二面角为直二面角，所以. 5分又因为,所以平面,即平面. 6分（）解：由（）可知平面，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，.在图中，连结.因为，所以，且.所以四边形为平行四边形.所以，且.故点的坐标为（1，0）. 图2所以， ，. 8分不妨设平面的法向量，则即令，得. 10分所以. 12分故直线与平面所成角的大小为. 13分 （18）（共14分）（）解：. 2分由题意有即，解得或（舍去）4分得即，解得 5分（）证明：由（）知， 在区间上，有；在区间上，有 故在单调递减，在单调递增，于是函数在上的最小值是 9分故当时，有恒成立 10分()解： 当时，则，当且仅当时等号成立，故的最小值，符合题意； 13分当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意；当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意综上，实数的取值范围 14分（19）（共13分）（）解：由已知 2分 解得， 4分 故所求椭圆方程为 5分（）证明：由（）知，设椭圆右焦点设，则 于是直线方程为 ，令，得；所以，同理 7分 所以，. 所以 所以 ，点在以为直径的圆上 9分 设的中点为，则 10分又，所以 所以 12分因为是以为直径的圆的半径，为圆心，故以为直径的圆与直线相切于右焦点 13分（20）（共14分）解：（）， 2分（）； ； 6分()由（）（）不难发现对，有 8分 所以当时， 11分于是，所以 ， 13分 又，满足上式， 所以对， 14分北京市西城区2012年高三一模试卷 数 学（理科） 2012.4第卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知全集，集合，则（ ）（A）（B）（C）（D）2执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）（A）（B）（C）（D）3若实数，满足条件则的最大值为（ ）（A）（B）（C）（D）4已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）（A）（B）（C）（D）5已知函数的最小正周期是，那么正数（ ）（A）（B）（C）（D）6若，则下列结论正确的是（ ）（A）（B） （C）（D）7设等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为若对，有，则的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）8已知集合，其中，且.则中所有元素之和等于（ ）（A）（B）（C）（D）第卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某年级名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间将测试结果分成组：，得到如图所示的频率分 布直方图如果从左到右的个小矩形的面积之比为，那么成绩在的学生人数是_10的展开式中，的系数是_（用数字作答）11. 如图，为的直径，弦交于点若，则_ 12. 在极坐标系中，极点到直线的距离是_13. 已知函数 其中那么的零点是_；若的值域是，则的取值范围是_14. 在直角坐标系中，动点，分别在射线和上运动，且的面积为则点，的横坐标之积为_；周长的最小值是_三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）在中，已知（）求角； （）若，求16.（本小题满分13分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用局胜制（即先胜局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（）求甲以比获胜的概率；（）求乙获胜且比赛局数多于局的概率；（）求比赛局数的分布列.17（本小题满分14分）如图，四边形与均为菱形， ，且（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的余弦值 18.（本小题满分13分）已知函数，其中.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求的单调区间.19.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，且.（）求椭圆的方程；（）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 20.（本小题满分13分）对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束（）试问和经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（）求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件； （）证明：一定能经过有限次“变换”后结束北京市西城区2012年高三一模试卷 数学（理科）参考答案及评分标准 2012.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C； 2. D； 3. A； 4.A； 5. B； 6. D； 7. A； 8. D .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.； 10.； 11.； 12.； 13.和，； 14.，.注：13题、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分） （）解：原式可化为 3分 因为， 所以 ， 所以 5分 因为， 所以 6分 （）解：由余弦定理，得 8分 因为 ， 所以 10分 因为 ， 12分所以 13分16.（本小题满分13分）（）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 1分记“甲以比获胜”为事件，则 4分（）解：记“乙获胜且比赛局数多于局”为事件. 因为，乙以比获胜的概率为， 6分 乙以比获胜的概率为， 7分所以 8分（）解：设比赛的局数为，则的可能取值为 ， 9分 ， 10分 ， 11分 12分比赛局数的分布列为： 13分17.（本小题满分14分）（）证明：设与相交于点，连结因为 四边形为菱形，所以，且为中点 1分又 ，所以 3分因为 ， 所以 平面 4分 （）证明：因为四边形与均为菱形，所以/，/， 所以 平面/平面 7分 又平面，所以/ 平面 8分 （）解：因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形因为为中点，所以，故平面由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 9分 设因为四边形为菱形，则，所以，所以 所以 ， 设平面的法向量为，则有所以 取，得 12分 易知平面的法向量为 13分 由二面角是锐角，得 所以二面角的余弦值为 14分18.（本小题满分13分）（）解：当时， 2分由于，所以曲线在点处的切线方程是 4分（）解：， 6分 当时，令，解得 的单调递减区间为；单调递增区间为，8分当时，令，解得 ，或 当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为， 10分 当时，为常值函数，不存在单调区间 11分 当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为， 13分19.（本小题满分14分）（）解：由 ， 得 . 2分依题意是等腰直角三角形，从而，故. 4分所以椭圆的方程是. 5分（）解：设，直线的方程为. 将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得 . 7分所以 ，. 8分若平分，则直线，的倾斜角互补，所以. 9分设，则有 .将 ，代入上式