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文档简介

函数与导数问题感悟体验快易通1.已知函数f(x)=x(ex+1),(1)求函数y=f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程.(2)若函数g(x)=f(x)-aex-x,求函数g(x)在1,2上的最大值.【解析】(1)因为f(0)=0,故所求切线方程为y=2x.(2)依题意,g(x)=(x-a+1)ex,令g(x)=0得x=a-1,所以当a-11时,即a2时,x1,2时,g(x)0恒成立,g(x)单调递增,所以g(x)最大值为g(2)=(2-a)e2;当a-12时,即a3时,x1,2时,g(x)0恒成立,g(x)单调递减,所以g(x)最大值为g(1)=(1-a)e;当1a-12时,即2a0,g(x)单调递增.所以当x1,2时,g(x)最大值为g(1)或g(2).g(1)=(1-a)e,g(2)=(2-a)e2,g(1)-g(2)=(1-a)e-(2-a)e2=(e2-e)a-(2e2-e).所以当3a2e2-ee2-e =2e-1e-1 时,g(1)-g(2)0,g(x)max=g(1)=(1-a)e,当2a2e2-ee2-e =2e-1e-1 时,g(1)-g(2)0,g(x)max=g(2)=(2-a)e2.综上可得:当a2e-1e-1 时,g(x)max=g(1)=(1-a)e.当a2e-1e-1 时,g(x)max=g(2)=(2-a)e2.2.已知函数f(x)=x2a -2ln x(aR,a0).(1)讨论函数f(x)的单调性.(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2(x12e.【解析】(1)f(x)=2xa -2x ,(x0),当a0时,f(x)0时,f(x)=2(x+a)(x-a)ax ,知f(x)在(0,a )上是递减的,在(a ,+)上是递增的.(2)由(1)知,a0,f(x)min=f(a )=1-ln a,依题意1-ln ae,由a=e2得,f(x)=x2e2 -2ln x(x0),x1(0,e),x2(e,+),由f(2e)=4-2ln 20及f(x2)=0得,x22e,只要x12e-x2,注意到f(x)在(0,e)上是递减的,且f(x1)=0,只要证明f(2e-x2)0即可,由f(x2)=x22e2 -2ln x2=0得x22 =2e2ln x2,所以f(2e-x2)=(2e-x2)2e2 -2ln(2e-x2)=4e2-4ex2+x22e2 -2ln(2e-x2)=4e2-4ex2+2e2ln x2e2 -2ln(2e-x2)=4-4x2e +2ln x2-2ln(2e-x2),x2(e,2e),令g(t)=4-4te +2ln t-2ln(2e-t),t(e,2e),则g(t)=-4e +2t +22e-t =4(e-t)2et(2
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