第08讲 应变与小变形几何方程

第三章金属塑性变形的力学基础 第二节应变分析 1 第一讲应变与小变形几何方程 应变的基本概念 小变形几何方程 点的应变状态 2 应变的基本概念 P P1拉长变细 Q Q1单元体取的方位不同 变形方式不同 歪斜了 P P1沿中心线压扁 Q Q1由于摩擦的作用 压扁且歪斜了 R R1成鼓形后有明显的角度偏转 P P1剪斜了 Q Q1平移到Q1 未变形 P P1缩短且转动一角度 Q Q1转动一角度 但未变形 3 由以上实例可以得到以下概念 2 变形 正变形 线变形 线性尺寸伸长或缩短 切变形 角变形 单元体发生畸变 3 同一质点的不同方位 有不同的变形值 4 物体变形时 单元体一般将同时发生平移 转动 正变形和剪变形 除去刚体位移后 才能得到纯变形 1 变形就是各点位移不同 致使各点相对位置发生变化 应变的基本概念 4 应变的基本概念 1 名义应变及其分量 设单元体PABC P1A1B1C1 PA rx r1 rx r 线变形 r 单元体棱边的伸长或缩短线应变 正应变 单位长度上的线变形 棱边PA的线应变 棱边PA在x方向的线应变 5 应变的基本概念 1 名义应变及其分量 相对切应变 工程切应变 单位长度上的偏移量或两棱边所夹直角的变化量 工程切应变 6 应变的基本概念 1 名义应变及其分量 7 角标的意义 第一个角标表示线元 棱边 的方向 第二个角标表示线元的偏转方向 如 xy表示x方向的线元向y方向偏转的角度 统称为应变分量 应变的基本概念 1 名义应变及其分量 8 应变的基本概念 2 对数应变及其分量 变形体由l0 ln可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成 应用微分的概念 自然应变 对数应变 反映了物体变形的实际情况 也称真实应变 9 应变的基本概念 2 对数应变及其分量 对数应变的优点 1 表示变形的真实情况 2 具有可加性 总应变为各阶段应变之和 10 应变的基本概念 2 对数应变及其分量 对数应变的优点 1 表示变形的真实情况 2 具有可加性 总应变为各阶段应变之和 3 具有可比性 拉伸后再压缩至原长 对数应变相等 仅差一符号 11 质点M M1 靠弹性或塑性变形实现 位移 变形体内任一点变形前后的直线距离 MM1 位移分量 在坐标系中 一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影称为该点的位移分量 用u v w或ui表示 位移场 变形体内不同点的位移分量不同 根据连续性基本假设 位移分量应是坐标的连续函数 而且一般都有连续的二阶偏导数 或 小变形几何方程 1 位移与应变 12 变形体内无限接近两点的位移分量间的关系 M 点相对于M点的位移增量 小变形几何方程 1 位移与应变 13 若无限接近的两点的连线MM 平行于某一坐标轴 例如MM x轴 则 若已知变形物体内一点M的位移分量 则与其邻近一点M 的位移分以可以用M点的位移分量及其增量来表示 小变形几何方程 1 位移与应变 14 小变形几何方程 2 小变形几何方程 15 小变形几何方程 2 小变形几何方程 16 小变形几何方程 2 小变形几何方程 17 3 66 3 66a 小变形几何方程 2 小变形几何方程 18 点的应变状态 设任意点a x y z 的应变分量 设线元ab r r在三个坐标轴上的投影 dx dy dz 方向余弦 长度 a 线应变 19 变形后 长度 在三个轴上的投影 a1N dx dy dz 点的应变状态 bN u v w b1b u u v v w w Nb1 u v w 20 略去 r u v w的平方项 点的应变状态 21 比较 点的应变状态 22 b 切应变 线元变形后的偏转角 引NM a1b1在 NMb1中 有 由于 故 于是 23 如果有刚体转动 纯剪变形引起的位移增量 刚性转动引起的位移增量 去除刚性转动 所以 比较 结论 若一点互相垂直的三个方向上的应变分量已知 则该点任意方向应变可求 24 一点的应变状态可以用过该点三个互相正交方向上的九个应变分量来表示 与应力状态相似 如果当坐标轴旋转后在新的坐标系中的九个应变分量与原坐标系中的九个应变分量之间的关系也符合学数上张量之定义 即 ij为二阶对称张量 25 例一 矩形柱体在无摩擦的光滑平板间压缩 设 u v w线性分布 压下量 H 当z 0时 w 0