第一章第4节数轴、相反数和绝对值.doc

年级初一学 科数学版 本人教新课标版课程标题第一章第2节数轴、相反数和绝对值编稿老师巩建兵一校林卉二校黄楠审核王百玲一、学习目标：1. 认识数轴，会用数轴上的点表示有理数，能利用数轴比较有理数的大小。2. 借助数轴认识相反数、绝对值的概念。3. 能求一个数的绝对值，会利用绝对值比较两个负数的大小。二、重点、难点：重点：理解数轴、相反数、绝对值的概念，数轴的画法，以及有理数的大小比较。难点：从数形结合的观点出发认识相反数和绝对值、两个负数比较大小。三、考点分析：本讲内容是今后学习数学的基础，是中考的必考内容。相反数、绝对值的知识在中考中经常出现，有时单独命题，以考查概念为主；有时综合命题，结合数轴化简等；也可与今后所学知识综合出题。试题的形式有填空题、选择题、解答题，分值为36分，难度较低。1. 数轴（1）一般地，在数学中，人们用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1、2、3、，从原点向左，用类似的方法依次表示1、2、3、。（2）一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数a的点在原点的左边，与原点的距离也是a个单位长度。2. 相反数（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数。一般地，a和a互为相反数。特别地，0的相反数仍是0。（2）在数轴上原点的两旁，离原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。（3）多重符号的化简：相反数的意义是化简带“负号”的多重符号的依据，一个数的相反数仅有一个，a实质上就是a的相反数，多重符号的化简有如下规律：“”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“”号的个数决定最后化简的结果。即：“”号的个数是奇数时结果为负，“”号的个数是偶数时结果为正。3. 绝对值一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a。由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。（1）当a是正数时，aa；（2）当a是负数时，aa；（3）当a0时，a0。4. 有理数比较大小（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数相比，绝对值大的反而小。5. 利用数轴比较两个有理数的大小每个有理数都可以用数轴上的点来表示，在数轴上，右边的数总比左边的数大。知识点一：数轴例1. 下列数轴的表示不正确的是（ ）思路分析：1）题意分析：本题考查数轴的画法。2）解题思路：一条完整的数轴要有原点、正方向和单位长度，判断所给四条数轴是否满足数轴的三要素即可。解答过程：所给四个选项中的数轴都有原点和正方向，关键是判断它们的单位长度是否画得正确。选项C是一条规范的数轴，正确；选项A和B经观察发现，虽然不整齐，但单位长度是一致的，有些时候这样标注也可以。选项D错误，2.5应在2和3之间。故选D。解题后的思考：判断数轴的画法是否正确时，要依据数轴的三要素，即：所画直线要有正方向，有合适的原点，一致的单位长度。例2. 在数轴上画出表示下列各数的点，并通过数轴排列大小（由小到大），3，4，1.5，2，0，1.8，2。思路分析：1）题意分析：先在数轴上画出所给各数，然后利用数轴比较它们的大小。2）解题思路：比较两个数的大小时，首先把两个数在数轴上的对应点找出来，然后依据“数轴上右边的数总比左边的数大”来判断。解答过程：如图所示，将上述已知数按从小到大的顺序排列为：321.501.824。解题后的思考：本题尤其要注意两个负数的大小比较，先在数轴上找出它们的对应点，再判断大小。小结：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，这里包含三个内容：第一是数轴是一条直线，可以向两方无限延伸；第二是数轴的三个要素原点、正方向、单位长度，缺一不可；第三是原点的选定、正方向的取向、单位长度的确定都是有规定的，通常取向右为正方向。在数轴上画出各数的对应点通常有两步：画数轴（三要素要齐）；找出各数的点，并用实心小圆点表示，且在该点标上数或字母，如在数轴上标出和所表示的点，应将0与1两点间的线段四等分，靠近原点个单位的点标为，靠近1且距其个单位的点标为，这里容易标错，要注意。知识点二：相反数例3. 下列语句中，正确的个数是（ ）符号相反的两个数叫做互为相反数；互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数；相反数和我们以前学过的倒数是一样的。A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个思路分析：1）题意分析：本例要求准确理解相反数的定义；只有符号不同的两个数才互为相反数。其中“只有”指的是除了符号不同以外其他完全相同。2）解题思路：依据相反数的定义进行判断，是把相反数和倒数的概念进行比较。解答过程：错，符号相反的两个数不一定互为相反数，如“2”和“5”虽然符号相反，但它们不是互为相反数；对，因为0的相反数是0，但0既不是正数也不是负数；错，相反数和我们以前学过的倒数是两种截然不同的概念，互为相反数对符号提出了要求，但倒数对此没有限定。故选B。解题后的思考：对于类似的说理判断题，应注意数0的特殊性，0的相反数是它本身。例4. 对下列带有多重符号的数进行化简。（1）（2）；（2）（3）；（3）（2）；（4）（4）；（5）（）；（6）（1）。思路分析：1）题意分析：本题要求根据相反数的意义把多重符号化为单一符号，正号可以省略。2）解题思路：解此类问题有两种思路，以（1）为例，方法一（从外到里）：（2）表示（2）的相反数，而（2）的相反数是（2），即2。方法二（从里到外）：（2）中（2）表示（2）的相反数，而2的相反数是2，所以（2）表示2的相反数，是2。解答过程：（1）（2）2；（2）（3）3；（3）（2）2；（4）（4）4；（5）（）；（6）（1）1。解题后的思考：多重符号的化简方法：多重符号的结果是由“”号的个数决定的，与“”号无关，如果“”号的个数为奇数个，则结果为“”，如果“”号的个数为偶数个，则结果为“”。小结：（1）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，千万不要把它漏掉。（2）相反数是成对出现的，不能单独存在。例如，5和5互为相反数，是说5是5的相反数，5也是5的相反数，单独一个数不能说是相反数。（3）“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除了符号不同以外，其他完全相同，不能理解为只要符号不同的两个数就是互为相反数。知识点三：绝对值例5. 下列语句中，正确的个数是（ ）有理数的绝对值一定是正数；如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身；如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数。A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个思路分析：1）题意分析：本题要求准确把握绝对值的含义。2）解题思路：错，有理数的绝对值一定是非负数，而不一定是正数，因为0的绝对值是0，不是正数；错，两个数的绝对值相等，这两个数可能相等，也可能互为相反数；对，因为正数的绝对值就是它本身；错，正数和0的绝对值都等于它本身，所以一个数的绝对值是它本身，那么这个数为正数或0。解答过程：A解题后的思考：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。例6. 若有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A. abB. abC. abD. ab思路分析：1）题意分析：本题主要考查绝对值的几何意义。2）解题思路：由图可知，b所对应的点到原点的距离比a所对应的点到原点的距离大，即ba。解答过程：D解题后的思考：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。离原点的距离越远，绝对值越大。由于距离总是正数或零，故有理数的绝对值不可能是负数，因此，无论是绝对值的几何意义还是代数意义都揭示了绝对值的一个重要性质非负性。即对任意有理数a，都有a0。例7. 比较大小：（1）6与9；（2）与。思路分析：1）题意分析：本题要比较大小的两数均为负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小。2）解题思路：比较两个负数的大小，应先求出两个负数的绝对值，再比较绝对值的大小，最后确定两个负数的大小。解答过程：（1）因为66，99，且69，所以69。（2）因为，且，所以。解题后的思考：比较两个负数的大小的步骤：先求两个数的绝对值；比较两个数的绝对值的大小；根据法则确定原数的大小。小结：解绝对值的问题时要注意以下三点：距离不能为负，任何一个有理数的绝对值都是非负数，零是绝对值最小的数；绝对值为正数的有理数有两个，它们互为相反数；两个互为相反数的数的绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数。1. 数形结合法是一种重要的化归方法，数学是研究空间形式与数量关系的一门重要科学，数与形是数学研究中的两个不同的侧面，把数和形结合在一起，有利于我们更好地研究问题。数轴就是一个利用数形结合思想来研究问题的例子。数是无形的、抽象的，数轴上的点、线段、直线是有形的、具体的，用它们表示数就把“数”和“形”结合起来了。这种重要的思想方法是我们学好数学的重要工具。2. 关于解绝对值问题的方法和规律：去掉绝对值的符号，首先要判断绝对值符号里的数是正数、负数还是零，然后由绝对值的意义去掉绝对值的符号，注意绝对值的性质非负性。即a是有理数，a0。绝对值的意义是在数轴上确定下来的，那么解与绝对值有关的问题时，可直接通过数轴来帮助解决。有理数的加法（1.3.1）一、预习新知1. 有理数按其正负应如何分类？2. 小学学过的加法是哪些有理数之间的加法？二、预习点拨探究与反思探究任务一：有理数的加法法则【反思】（1）两个有理数相加有哪些情况？（2）有理数的加法法则是怎样的？探究任务二：有理数的加法运算律【反思】（1）在小学，我们学过的加法的运算律有哪些？（2）这些运算律对有理数的加法是否适用？（答题时间：60分钟）一、选择题。1. 2010的相反数是（ ）A. 2010B. 2010C. D. 2. 下列给出的四条数轴，错误的是（ ）A. （1）（2）B. （2）（3）（4）C. （1）（2）（3）D. （1）（2）（3）（4）3. 在数轴上表示2的点离原点的距离等于（ ）A. 2B. 2C. 2D. 44. 下列说法中，错误的是（ ）A. 数轴上表示5的点距离原点5个单位长度B. 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴C. 有理数0在数轴上表示的点是原点D. 表示百万分之一的点在数轴上不存在5. 下列比较大小不正确的是（ ）A. 32B. C. 0D. 101*6. 下列判断正确的是（ ）A. 正数与负数互为相反数B. 一个正数的相反数是负数C. a是有理数，a是负有理数D. 一个数的相反数一定小于原数*7. 在（1）与（1）；（1）与（1）；（1）与（1）；（1）与（1）中，互为相反数的是（ ）A. B. C. D. *8. 若aa，则（ ）A. a0B. a0C. a0D. a0二、填空题。9. 比较大小：6_8。（填“”、“”或“”）10. 若x的相反数是2，则x_。*11. 绝对值不大于的负整数是_。*12. 若m2，则m_。三、计算题。13. 如图所示，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题。（1）将B点向左移动3个单位长度后，它所表示的数是什么？（2）将A点向右移动4个单位长度后，它所表示的数是什么？（3）怎样移动A、B、C三点，才能使它们所表示的数相同？有多少种移动方法？14. 数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m，距离原点等于3.5的点的个数为n，求m3n的值。*15. 将，按从小到大的顺序排列起来。*16. 已知x2，y3，且xy，求x、y的值。一、选择题：1. B 2. C 3. A 4. D 解析：任何一个有理数都可以在数轴上找到与之对应的点。5. B 6. B 解析：选项A不正确，如2和3不是互为相反数；选项B正确，一个正数的相反数一定是负数；选项C不正确，a表示a的相反数。当a是正有理数时，a是负有理数；当a是负有理数时，a是正有理数；当a0时，a0，0不是负有理数；选项D不正确，负数的相反数是正数，比原数大，0的相反数是0，和原数相等。7. C 解析：先化简符号，即：1与1；1与1；1与1；1与1。中的两数互为相反数。8. B 解析：因为aa，所以a是负数，a0，故选B。也可用筛选法。当a0时，aa，所以选项A不正确；选项C和D中都包含a0，此时aa，所以选项C和D都不正确。二、填空题：9. 10. 2 解析：x表示x的相反数，因为x的相反数是2，所以x2。11. 1、2