创新设计高三数学一轮复习 古典概型课件 北师大

理解古典概型及其概率计算公式 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率 10 5古典概型 1 基本事件的定义 一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件 称作基本事件 基本事件的两个特点 1 任何两个基本事件是互斥的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成基本事件的和 2 古典概型的定义 古典概型有两个特征 1 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 2 各基本事件的出现是等可能的 即它们发生的概率相同 我们称具有这两个特征的概率模型称为古典概率模型 classicalmodelsofprobability 简称古典概型 对于古典概型 任何事件的概率为 P A 1 甲 乙两人随意入住两间空房 则甲 乙两人同住一间房的概率是 A B C D 解析 甲 乙随意入住两间空房 共有四种情况 甲住A房 乙住B房 甲住A房 乙住A房 甲住B房 乙住A房 甲住B房 乙住B房 四种情况等可能发生 所以甲 乙同住一房的概率为 答案 C 2 古代 五行 学说认为 物质分金 木 水 火 土五种属性 金克木 木克土 土克水 水克火 火克金 从五种不同属性的物质中随机抽取两种 则抽取的两种物质不相克的概率是 A B C D 解析 基本事件为 金木 金水 金火 金土 木水 木火 木土 水火 水土 火土 n 10 不相克的事件数为m 10 5 5 答案 C 3 一个口袋内装有2个白球和3个黑球 则先摸出1个白球后放回 再摸出1个白球的概率是 A B C D 解析 先摸出1个白球后放回 再摸出1个白球的概率 实质上就是第二次摸到白球的概率 因为袋内装有2个白球和3个黑球 因此概率为 答案 C 4 2009 安徽 从长度分别为2 3 4 5的四条线段中任意取出三条 则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 解析 从四条线段中任取三条有4种取法 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5 其中能构成三角形的取法有3种 2 3 4 2 4 5 3 4 5 故所求的概率为 答案 此类问题类似于简单的随机抽样 可考虑使用排列数公式计算古典概型问题 例1 为了了解 中华人民共和国道路交通安全法 在学生中的普及情况 调查部门对某校6名学生进行问卷调查 6人得分情况如下 5 6 7 8 9 10 把这6名学生的得分看成一个总体 1 求该总体的平均数 2 用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名 他们的得分组成一个样本 求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0 5的概率 解答 1 总体平均数为 5 6 7 8 9 10 7 5 2 设A表示事件 样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0 5 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有 5 6 5 7 5 8 5 9 5 10 6 7 6 8 6 9 6 10 7 8 7 9 7 10 8 9 8 10 9 10 共15个基本结果 事件A包含的基本结果有 5 9 5 10 6 8 6 9 6 10 7 8 7 9 共有7个基本结果 所以所求的概率为P A 变式1 甲 乙两人参加法律知识竞答 共有10道不同的题目 其中选择题6道 判断题4道 甲 乙两人依次各抽一题 1 甲抽到选择题 乙抽到判断题的概率是多少 2 甲 乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少 解答 甲 乙两人从10道题中不放回地各抽一道题 先抽的有10种抽法 后抽的有9种抽法 故所有可能的抽法是10 9 90种 即基本事件总数是90 1 记 甲抽到选择题 乙抽到判断题 为事件A 下面求事件A包含的基本事件数 甲抽选择题有6种抽法 乙抽判断题有4种抽法 所以事件A的基本事件数为6 4 24 P A 2 先考虑问题的对立面 甲 乙两人中至少有一人抽到选择题 的对立事件是 甲 乙两人都未抽到选择题 即都抽到判断题 记 甲 乙两人都抽到判断题 为事件B 至少一人抽到选择题 为事件C 则B含基本事件数为4 3 12 由古典概型概率公式 得P B 由对立事件的性质可得P C 1 P B 例2 2009 福建 袋中有大小 形状相同的红 黑球各一个 现依次有放回地随机摸取3次 每次摸取一个球 1 试问 一共有多少种不同的结果 请列出所有可能的结果 2 若摸到红球时得2分 摸到黑球时得1分 求3次摸球所得总分为5的概率 此类问题可利用分类计数原理计算古典概型问题 思维点拨 用空间坐标 a b c 的形式列出所有可能结果 再把事件 3次摸球所得总分为5分 的个数列出 根据古典概型概率公式可求 解答 1 一共有8种不同的结果 列举如下 红 红 红 红 红 黑 红 黑 红 红 黑 黑 黑 红 红 黑 红 黑 黑 黑 红 黑 黑 黑 2 记 3次摸球所得总分为5 为事件A 事件A包含的基本事件为 红 红 黑 红 黑 红 黑 红 红 事件A包含的基本事件数为3 由 1 可知 基本事件总数为8 所以事件A的概率为P A 变式2 现从A B C D E五人中选取三人参加一个重要会议 五人被选中的机会相等 求 1 A被选中的概率 2 A和B同时被选中的概率 解答 基本事件为 ABC ABD ABE ACD ACE CDE BCD BCE BDE ADE 共10个 1 A被选中 包含基本事件的个数为6 即 ABC ABD ABE ACD ACE ADE 那么 A被选中的概率P1 0 6 2 A和B被选中 包含基本事件的个数为3个 即 ABC ABD ABE 那么 A和B同时被选中的概率P2 0 3 此类问题可考虑使用组合数公式计算古典概型问题 例3 4张卡片上分别写有数字1 2 3 4 从这4张卡片中随机抽取2张 则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 A B C D 解析 本题主要考查等可能事件概率求解问题 依题要使取出的2张卡片上的数字之和为奇数 则取出的2张卡片上的数字必须一奇一偶 取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率P 答案 C 变式3 在某地的奥运火炬传递活动中 有编号为1 2 3 18的18名火炬手 若从中任选3人 则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为 A B C D 解析 古典概型问题 基本事件总数为 17 16 3 选出火炬手编号为an a1 3 n 1 a1 1时 由1 4 7 10 13 16可得4种选法 a1 2时 由2 5 8 11 14 17可得4种选法 a1 3时 由3 6 9 12 15 18可得4种选法 P 答案 B 1 用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来 然后再求出事件A中的基本事件 利用公式P A 求出事件A的概率 这是一个形象 直观的好方法 但列举时必须按照某一顺序做到不重复 不遗漏 2 事件A的概率的计算方法 关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m 因此必须解决以下三个方面的问题 第一 本试验是否是等可能的 第二 本试验的基本事件数有多少个 第三 事件A是什么 它包含的基本事件有多少 回答好这三个方面的问题 解题才不会出错 方法规律 3 概率的一般加法公式P A B P A P B P A B 公式使用中要注意 公式的作用是求A B的概率 当A B为不可能事件时 A B互斥 此时P A B 0 所以P A B P A P B 要计算P A B 需要求P A P B 更重要的是把握事件A B 并求其概率 该公式可以看作一个方程 知三可求一 2009 浙江 有20张卡片 每张卡片上分别标有两个连续的自然数k k 1 其中k 0 1 2 19 从这20张卡片中任取一张 记事件 该卡片上两个数的各位数字之和 例如 若取到标有9 10的卡片 则卡片上两个数的各位数字之和为9 1 0 10 不小于14 为A 则P A 答题模板 解析 基本事件有20个 只要通过枚举的方法找到随机事件 卡片上两个数的各位数字之和不小于14 所包含的基本事件的个数 再按照等可能性事件的概率公式计算 大于14的点数的情况通过列举可得 有5种情况 即7 8 8 9 16 17 17 18 18 19 而基本事件有20种 因此P A 故填 答案 分析点评 1 本题中 当两个数字k k 1是一位数时 只有k 7时 才会使两个数的各位数字之和不小于14 当k k 1是两位数时 只有当第一个两位数的数字之和不小于7才有可能 这类题目也曾出现在高考中 如2008年江西卷中 电子钟一天显示的时间是从00 00到23 59 每一时刻都由四个数字组成 则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 A B C D 答案 C 2 本题容易出现的一个错误就是把卡片上两个数的各位数字之和当成了这两个数的和 另