广义Hirota-Satsuma耦合KdV方程的精确解.doc

广义Hirota-Satsuma耦合KdV方程的精确解2011年5月第34卷第3期四川师范大学(自然科学版)JournalofSichuanNormalUniversity(NaturalScience)May,2011Vol_34.No.3HirotaSatsuma耦合KdV方程的精确解刘倩,周钰谦,刘合春(1.西南民族大学计算机科学与技术学院,四川成都610041;2.成都信息工程学院数学学院,四川成都610225)摘要:利用(罟)一展开法结合数学软件Maple求得了广义Hir0tasalsuma耦合KdV方程的新精确解,包括孤波解,三角函数周期解和有理解.为了更直观地理解这些解,给出了它们的数值模拟图.关键词:精确解;f-X.HirotasalSuma耦合KdV方程;(Gt)一展开法;非线性发展方程中图分类号:O175.24文献标识码:A文章编号:10018395(2011)03033505doi:10.3969/j.issn.10018395.2011.03.012求解非线性发展方程的行波解是数学物理研究领域中的一个重要课题.人们已经提出了很多行之有效的方法来构造非线性系统的精确行波解,如:齐次平衡法卜,Bicklund变换方法引,CK直接法,Jacobi椭圆函数展开法,Tanh一函数法训等.近年来,M.L.Wang等提出了()一展开法,成功求得了一些非线性发展方程的精确行波解,并且推广到求解多维方程,方程组,这种方法具有直接,高效的优点.Y.T.Wu等引人了带有3位势的矩阵特征值问题,得到相应的Lax对和孤立子方程簇,进而引入广义HirotaSatsuma耦合KdV方程f:M一3uu+3(UW),:一口一+3,()LW:一W+3uw,当W=时,方程组(1)可化为新的耦合KdV方程M=1一3uu+3(II),I当W=1时,方程组(1)可化为另一个耦合KdV方程uf告一一3uu+3v,:一+3uv,并且这些非线性发展方程都具有广义的哈密尔顿结构.E.G.Fan用tanh一函数法给出了方程(1)的两种孤波解.为了获得更多的精确解,本文将采,用()一展开法来求方程(1)的精确解.1广义方程的精确解首先对方程(1)作行波变换=+,其中P,k是常数.令u(x,t)=U(),v(x,t)=(),W(,t)=W(),(2)将(2)式代人(1)式有一.=p+3pUU一3p(VW)=0,后+P一3pUV=0.kW+PIV一3pUW=0,(3)假设(3)式有如下形式的解m,1,n,1,().(),()6(),()c(),(4)其中,G=G(),n,b,c待定,且0,b,c0.G满足二阶线性常微分方程G+IzG+AG=0.且一G一收稿日期:20101010基金项目:中央高校基本科研业务费专项基金(09NZYZJ10)资助项目作者简介:刘倩(198O一),女,讲师,主要从事偏微分方程与动力系统的研究336四川师范大学(自然科学版)34卷,1Asinh+Azcosh+2,sinh+AA2sinhA1eosh;+2等,一4A>0,一,/-,_z2:一Asin衄2+A2eos面2cos皿2+n盈2,一4A<0,一,:一4A:0,一芎A刈,兵甲,A1,A2是仕葸常效.半衡最局r导数项和非线性项可得(3)式的解满足如下两种情形:情形1(罟)(等-60+6】(_c0+c】(5)其中,n2,61,cl0,n0,b0,c0为待定常数.情形2(罟)(_6o+6l(等)+62(-c0+c1()+c2(6)其中,n2,62,c2O,口1,b1,c1,n0,6o,c0为待定常数.,将(5)式代人(1)式合并()(i=0,1,2,),U并令其系数为零可得到关于a2,a,b,口0,b0,Co,A,P,的方程组12p.26pa2=0,3pa2b1+3pa1bl=0,一6p1+3pa2.1=0,一9pal02+27pn2+3pnl一6pa2=0,一6p61+3pa261=0,.nl+6pb1c16p02A+19padx一2ka2+2Op2A一9pal口2一3pa1一6pa02=0,4p01A一9pa1口2A一3pa1+3pb1co一6pa0口2+.nl.ka1+4p0+6p61cl一2口2+26p口2A+3pb0c13pao口1=0,p.lIXAkc1A+3pa0.1A一2p.1A=0,一3pa,12A+8p02A+6pb1clA+4p口1A+.01I-*一ka1一2ka2A一3p口0l一Pno2A+3pb01+3pb1Ixc0+7p.口2A=0,3pa2.ltx+3pal.1=0,3pnA.+口1A+plA23p口0口lA一.j.1A+3pb1A.o+3p0.lA=0,一8pblA一7pblIX+3pa0bl+3palb1IX一后61+3pa2b1A=0,一8pblAIj61IX+3pa061一p361+3pa161A=0,p361AkblA+3pnob1A一2p.6lA=0,一8p.c1A一7pcl+3paocl+3pa1c1一.l+3pa2IA=0,8p1A一.j.l+3pa0.1一pq+3pal1A=0.用Maple解得n.:,.l:0,0,2:2p,610,jD4p(一p.+k)bo.o一一,C一1:,:o.3b一一则可得方程(1)的解为:当A<0时,():掣+2p(A1sinh誓+A2cosh誓A2sinh七Atcosh(,t)=60+一考(,z):一兰+垒338四川师范大学(自然科学版)34卷b(/一A一Asinh一毛+A2cosh一垂A2sinh一A+A1cosh(,t)=C0+Asinh考+A2cosh一考,一专A2sinh+Aleosh考当A>0时,():+jP),一W(,t)=C021.5l0.5O图1扭状解Fig.1Kinkwavesolution+当A=0时,=P(jA1+A,f,一W(,t)=C0+当A<0时,通过取特定的参数,可以化为孤波解,给出数值模拟图1和图2.以上给出的几组解中包含了文献9中给出的解,特别的,当A>0或A=0时,给出了三角函数周期解和有理数解,这是文献9中没有给出的解.O一0.2-0.4-0.6-0.8图2钟状解Fig.2Bellshapesolution参考文献1LeiY.ExactsolutionofnonlinearequationJ.PhysLett,1999,A260:5559.2刘倩,周钰谦.二维KleinGordonZakharov方程新孤波解的构造J.四川I师范大学:自然科学版,2010,33(3):335338.3刘倩,周钰谦.二维KleinGordonZakharov方程的显示精确解J.四川师范大学:自然科学版,2009,32(6):771774.4ShangYD.Transformation,laxpairsandexplicitexactsolutionfortheshallowwaterwavesequationJ.ApplMathComput,2007,187:12861297.5范恩贵.可积系统和计算机代数M.北京:科学出版社,2004.6ClarksonPA,KruskalMD.NewsimilarityreductionsoftheBoussinesqequationJ.MathPhys,1989,30(3):22012213.7ParkesEJ,DuffyBR.TravelingsolitarywavesolutiontoacompoundKdVBurgersequationJ.PlaysLett,1997,A229:217220AA一一+巫一一一一一+巫一第3期刘倩,等:广义HirotaSatsuma耦合KdV方程的精确解3398周钰谦,刘倩,张健.一类非线性波动方程的精确解孤立波解J.四川师范大学:自然科学版,2005,28(2):165167.9FanEG.TwonewapplicationofthehomogeneousbalancemethodJ.PhysLett,2000,A265:353357.10周钰谦,张健,刘倩.耦合KleinGordon一方程显示解的统一构造J.四川师范大学:自然科学版,2006,29(2):166170.11WangML,LiXZ,ZhangJL.TileexpansionmethodandtravelingwavesolutionofnonlinearevolutionequationinmathematicalphysicsJ.PhysLett,2008,A372:417423.12GuoSM,ZhouYB.TheextendedexpansionmethodanditsapplicationstotheWhithamBroerKaupLikeequationsandcoupledHirotaSatsumaKdVequationsJ.ApplMathComput,2010,215:32143221.13IsmailA.ExactandexplicitsolutiontosomenonlinearevolutionequationbyutilizingtheexpansionmethodJ.ApplMathComput,2009,215:857863.14GaoH,ZhaoRX.NewapplicationoftheexpansionmethodtohigherordernonlinearequationJ.ApplMathComput,2009,215:27812786.15ShehataAR.ThetravelingwavesolutionoftheperturbednonlinearequationandthecubicquinticGinzburglandauequationusingthemodifiedexpansionmethodJ.ApplMathComput,2010,217:110.16MaYL,BQ.NewapplicationofexpansionmethodtoanonlinearevolutionequationJ.ApplMathComput,2010,216:21372144.17WuYT,GengXG,HuXB,eta1.AgeneralizedHirotaSatsumacoupledKortewegdeVriesequationandMiuratransfor-mationsJ.PhysLett,1999,A255:259264.TheExactSolutionsofaGeneralizedHirotaSatsumaCoupledKdVEquationLIUQian,ZHOUYuqian,LIUHechun(1.CollegeofComputerScienceandTechnology,SouthwestUniversityforNationalities,Chengdu610041,Sichuan;2.CollegeofMathematics,ChengduUniversityofInformationTechnology,Chengdu610225,Sichuan)Abstract:Inrecentyears,()一expansi.nmeth.diswidelyusedins.lVign.nlineareV.luti.nequati.ns.Inthispaper,byusig()一expansi.nmethod,withthehelp0fmathematicss.flwareMaple,thenewexacts.luti.nsofageneralizedHirotasatsumacoupledKdVequationareobtained,includingthesolitarywavesolutions