专题八 选修4系列

专题八选修4系列 考向分析 核心整合 热点精讲 考向分析 考情纵览 真题导航 1 2015新课标全国卷 文22 如图 AB是 O的直径 AC是 O的切线 BC交 O于点E 1 若D为AC的中点 证明 DE是 O的切线 2 若C1与C2相交于点A C1与C3相交于点B 求 AB 的最大值 5 2015新课标全国卷 文24 已知函数f x x 1 2 x a a 0 1 当a 1时 求不等式f x 1的解集 2 若f x 的图象与x轴围成的三角形面积大于6 求a的取值范围 备考指要 1 怎么考 1 几何证明选讲主要考查与圆有关的初步知识 圆周角定理 弦切角定理及相交弦定理 割线定理 切割线定理 切线长定理的理解及应用 圆的切线的判定和性质的理解 圆内接四边形的判定及性质定理的理解 2 坐标系与参数方程主要考查极坐标与直角坐标的互化 参数方程化为普通方程以及参数方程与极坐标的综合应用 3 不等式选讲主要考查平均不等式的应用 绝对值三角不等式的理解及应用 含绝对值不等式的解法 含参不等式解法和恒成立问题以及不等式的证明方法 比较法 综合法 分析法 放缩法及它们的应用 其中绝对值不等式的解法及证明方法的应用是重点 2 怎么办备考时注重基础知识的理解和掌握 注意体现数形结合与转化化归思想的应用 几何证明选讲中应熟练掌握相关定理的证明及应用 掌握常见辅助线的作法 坐标系与参数方程中要熟记直角坐标与极坐标的互化公式 掌握常见曲线的参数方程的一般形式 不等式选讲中要熟练掌握绝对值不等式的解法及不等式证明的基本方法 理解绝对值三角不等式的几何意义 并会应用它解题 核心整合 1 几何证明选讲 1 平行线截割定理 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 那么在其他直线上截得的线段也 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成 2 相似三角形的判定与性质 相似三角形的判定定理 a 两角对应相等的两个三角形相似 b 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 c 三边对应成比例的两个三角形相似 相似三角形的性质定理 a 相似三角形的对应线段的比等于 b 相似三角形周长的比等于 c 相似三角形面积的比等于 相等 相等 比例 相似比 相似比 相似比的平方 3 直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边射影的比例中项 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项 4 圆的切线与弦切角定理 圆的切线 6 圆内接四边形 圆内接四边形性质定理1 圆内接四边形的对角互补 圆内接四边形的性质定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 2acos cos a 3 不等式选讲 1 绝对值不等式定理1 如果a b是实数 则 a b a b 当且仅当ab 0时 等号成立 定理2 如果a b c是实数 那么 a c a b b c 当且仅当 a b b c 0时 等号成立 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c c 0 ax b c c 0 3 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法 利用绝对值不等式求解 体现数形结合思想 利用 零点分段法 求解 体现分类讨论思想 通过构建函数 利用函数图象求解 体现函数与方程思想 c ax b c ax b c或ax b c 几何意义 4 证明不等式的基本方法 比较法 综合法 分析法 反证法 放缩法 5 二维形式的柯西不等式若a b c d R 则 a2 b2 c2 d2 当且仅当时等号成立 ac bd 2 ad bc 温馨提示 1 证明等积式成立 应先把它写成比例式 找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似 若不相似 则进行线段替换或等比替换 2 圆幂定理与圆周角 弦切角联合应用时 要注意找相等的角 找相似三角形 从而得出线段的比 由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算 所以应注意代数法在解题中的应用 3 将曲线的参数方程化为普通方程主要消去参数 简称为 消参 把参数方程化为普通方程后 很容易改变变量的取值范围 从而使得两种方程所表示的曲线不一致 因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性 4 零点分段法 是解绝对值不等式的最基本方法 一般步骤是 令每个绝对值符号里的代数式等于零 求出相应的根 把这些根按由小到大进行排序 n个根把数轴分为n 1个区间 在各个区间上 去掉绝对值符号组成若干个不等式 解这些不等式 求出它们的解集 这些不等式解集的并集就是原不等式的解集 热点精讲 热点一 几何证明选讲 例1 2014新课标全国卷 如图 P是 O外一点 PA是切线 A为切点 割线PBC与 O相交于点B C PC 2PA D为PC的中点 AD的延长线交 O于点E 证明 1 BE EC 2 AD DE 2PB2 方法技巧 1 应用相交弦定理 切割线定理要抓住几个关键内容 如线段成比例与相似三角形 圆的切线及其性质 与圆有关的相似三角形等 2 相交弦定理 切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明 解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角 弦切角 圆的切线等相关知识的综合应用 举一反三1 1 2015乌鲁木齐模拟 如图AB是圆的直径 C是圆上一点 CH AB于点H CD是圆的切线 F是AC上一点 DF DC 延长DF交AB于E 1 求证 DE CH 2 求证 AD2 DF2 AE AB 热点二 坐标系与参数方程 2 设P为曲线C1上的动点 求点P到C2上的点的距离的最小值 2 求直线l与曲线C交点的极坐标 0 0 2 方法技巧 1 直角坐标方程化为极坐标方程 只需把公式x cos 及y sin 直接代入并化简即可 而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形 构造形如 cos sin 2的形式 进行整体代换 其中方程的两边同乘以 或同除以 及方程两边平方是常用的变形方法 但对方程进行变形时 方程必须保持同解 因此应注意对变形过程的检验 3 在将曲线的参数方程化为普通方程时 还要注意其中的x y的取值范围 即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性 2 若点P x y 在曲线C上 求x y的最大值和最小值 热点三 不等式选讲 例4 2015大连高三一模 设函数f x 2x 2 x 2 1 求不等式f x 2的解集 方法技巧 1 解绝对值不等式的基本方法 利用绝对值的定义 通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式 当不等式两端均为正数时 可通过两边平方的方法 转化为解不含绝对值符号的普通不等式 利用绝对值的几何意义 数形结合求解 2 用综合法证明不等式是 由因导果 分析法证明不等式是 执果索因 它们是两种思路截然相反的证明方法 综合法往往是分析法的逆过程 表述简单 条理清楚 所以在实际应用时 往往用分析法找思路 用综合法写步骤 由此可见 分析法与综合法相互转化 互相渗透 互为前提 充分利用这一辩证关系 可以增加解题思路 开阔视野 2 若f 3 5 求a的取值范围 备选例题 例1 如图 已知AB为圆O的直径 CD为垂直AB的一条弦 垂足为E 弦AG交CD于F 1 求证 E F G B四点共圆 1 证明 如图 连接GB 由AB为圆O的