2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1-7-1 柱、锥、台的侧面展开与面积学案 北师大版必修2

71柱、锥、台的侧面展开与面积1圆柱、圆锥、圆台的侧面积s圆柱侧2rl，s圆锥侧rl(其中r为底面半径，l为侧面母线长)s圆台侧(r1r2)l(其中r1，r2分别为上、下底面半径，l为侧面母线长)2直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积s直棱柱侧ch(其中c为底面周长，h为高)s正棱锥侧ch(其中c为底面周长，h为斜高，即侧面等腰三角形的高)s正棱台侧(cc)h(其中c，c分别为上、下底面周长，h为斜高，即侧面等腰梯形的高)判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和()(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的()(3)圆台的侧面展开图是梯形()(4)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图表面积相等()答案(1)(2)(3)(4)题型一圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积【典例1】(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为o1，o2，过直线o1o2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()a12 b12 c8 d10(2)已知某圆锥的底面半径为8，高为6，则该圆锥的表面积为_. 思路导引(1)圆柱的表面积等于圆柱侧面积及上下两个底面面积之和，分别求之(2)圆锥的表面积等于圆锥侧面积及底面面积之和，分别求之即可解析(1)因为过直线o1o2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2()22212.(2)由题意，得该圆锥的母线长l10，该圆锥的侧面积为81080，底面积为8264，该圆锥的表面积为8064144.答案(1)b(2)144空间几何体表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和针对训练1(1)圆台的上、下底面半径和高的比为144，若母线长为10，则圆台的表面积为()a81 b100 c168 d169(2)若圆锥的侧面展开图是圆心角为180，半径为4的扇形，则这个圆锥的表面积是_解析(1)圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为r，则它的母线长为l5r10，所以r2，r8.故s侧(rr)l(82)10100，s表s侧r2r2100464168.(2)设圆锥的底面半径为r，则2r4，r2，圆锥的表面积为sr24241612.答案(1)c(2)12题型二棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积【典例2】已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积思路导引正四棱台的侧面积即各个侧面的面积之和，分别研究各个侧面的特征并求出各个侧面的面积，从而求出它们的和解如图，e、e1分别是bc、b1c1的中点，o、o1分别是下、上底面正方形的中心，则o1o为正四棱台的高，则o1o12.连接oe、o1e1，则oeab126，o1e1a1b13.过e1作e1hoe，垂足为h，则e1ho1o12，oho1e13，heoeo1e1633.在rte1he中，e1e2e1h2he212232153，所以e1e3.所以s侧4(b1c1bc)e1e2(612)3108.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解针对训练2已知正三棱锥vabc的主视图、俯视图如图所示，其中va4，ac2，求该三棱锥的表面积解由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图，如图所示，且vavbvc4，abbcac2，取bc的中点d，连接vd，则vdbc，所以vd，则svbcvdbc2，sabc(2)23，所以三棱锥vabc的表面积为3svbcsabc333().题型三简单组合体的表面积【典例3】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()a20 b24 c28 d32思路导引根据三视图还原成几何体，根据几何体的组成特征，分解成几个几何体的表面积之和，注意重合部分解析由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4，圆锥的母线长l4，所以圆锥的侧面积为s锥侧448，圆柱的侧面积s柱侧4416，所以组合体的表面积s816428，故选c.答案c求组合体的表面积，首先弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求面积，然后根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减针对训练3某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是_ cm2.解析其直观图如图由直观图可知，该几何体为一个正方体和一个三棱柱的组合体，其表面积s6(11)21117.答案71已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为()a22 b20 c10 d11解析所求长方体的表面积s2(12)2(13)2(23)22.答案a2若圆锥的主视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的 ()a.倍 b3倍 c2倍 d5倍解析设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意知，l2r，于是s侧r2r2r2，s底r2.故选c.答案c3长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是，则长方体的侧面积等于 ()a2 b4 c6 d3解析设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则c1，ab2, c，a2，b1，故s侧2(acbc)6.答案c4若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是()a3 b3 c6 d9解析根据轴截面面积是，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以sr2rl23.答案a曲面上的最值问题有关曲面上(球面除外)两点间的最短距离问题，一般利用表面展开图转化为平面上两点间的距离问题，体现了立体几何“平面化”的思想【示例】如图所示，圆柱oo的底面半径为2 cm，高为4 cm，点p为母线bb的中点，aob，试求一蚂蚁从a点沿圆柱表面爬到p点的最小路程思路分析考虑将侧面展开转化为平面上的最值问题解将圆柱侧面沿母线aa剪开展平为平面图，如下图所示则易知最短路程为平面图中线段ap.在rtabp中，ab2，pb2(cm)，ap(cm)即蚂蚁爬的最小路程为 cm.题后反思多面体、旋转体的表面最值问题，都是用表面展开(球面除外)转化为平面图形求最值针对训练如图所示，在正三棱柱abca1b1c1中，ab3，aa14，m为aa1的中点，p是bc上一点，且由p沿棱柱侧面经过棱cc1到m的最短路线长为，设这条最短路线与cc1的交点为n.求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)pc和nc的长解(1)正三棱柱abca1b1c1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为.(2)如下图，将侧面bb1c1c绕棱cc1旋转120使其与侧面aa1c1c在同一平面上，点p运动到点p1的位置，连接mp1，则mp1就是由点p沿棱柱侧面经过棱cc1到点m的最短路线设pcx，则p1cx.在rtmap1中，由勾股定理得(3x)22229，解得x2.pcp1c2.，nc.课后作业(十四)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是s，则它的侧面积是()a.bsc2sd4s解析圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是s，圆柱的母线长为，底面圆的直径为，圆柱的侧面积ss.故选b.答案b2.如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为()a b2c3 d4解析设圆锥的母线长为l，则l2，圆锥的表面积为s1(12)3.答案c3一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32，则母线长为()a2 b2 c4 d8解析圆台的轴截面如图所示，由题意知，l(rr)，s圆台侧(rr)l2ll32，l4.答案c4如图，已知abcda1b1c1d1为正方体，则正四面体da1bc1的表面积与正方体的表面积之比是()a. b. c. d.解析设正方体的棱长为1，则正方体的表面积为6，正四面体da1bc1的棱长为，表面积为4sin 602，正四面体da1bc1的表面积与正方体的表面积之比是，故选b.答案b5正四棱台的两底边长分别为1 cm,2 cm，高是1 cm，它的侧面积为()a6 cm2b. cm2c. cm2d3 cm2解析四棱台的两底边长分别为1 cm,2 cm，高是1 cm，上底边到上底中心的距离是 cm，下底边到下底中心的距离是1 cm，那么梯形的高，就是斜高为(cm)，一个梯形的面积就是(12)(cm2)，棱台的侧面积s3(cm2)故选d.答案d6若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面面积与侧面积的比是_解析设该圆锥体的底面半径为r，母线长为l，根据题意得2rl，所以l2r，所以这个圆锥的底面面积与侧面积的比是r2l2r2(2r)212.答案127一个几何体的三视图如图所示，其主视图和左视图都是底边长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是_解析由三视图知该几何体是一个圆台，其上、下底面的半径分别为2,1，母线长为4，则该几何体的侧面积s(2414)12.答案128.如图所示，一个正四棱锥(底面是正方形，从顶点向底面引垂线，垂足是底面中心的四棱锥)的正方形底面的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30，则正四棱锥的表面积为_ cm2.解析该四棱锥的侧面是底边长为4 cm的全等的等腰三角形，要求侧面积，只需求等腰三角形底边上的高即可，可构造直角三角形求解如题图所示，正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成rtpoe.oe2 cm，ope30，斜高pe4(cm)s棱锥侧4bcpe44432(cm2)，s表s侧s底324448(cm2)答案489如图所示是某几何体的三视图，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为正三角形(长度单位：cm)(1)该几何体是什么图形？(2)画出该几何体的直观图(坐标轴如图所示)，并求它的表面积(只需作出图形，不要求写作法)解(1)由三视图可知该几何体是三棱柱(2)直观图如图所示因为该几何体的底面是边长为4 cm的等边三角形，高为2 cm，所以它的表面积s三棱柱2s底s侧242342(248)(cm2)10如图，已知正三棱锥sabc的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高so3，求此正三棱锥的表面积解如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h.过点o作oeab，与ab交于点e，连接se，则seab，seh.s侧2s底，3aha22，ah.sooe，so2oe2se2，322h2，h2，ah6.s底a2629，s侧2s底18，s表s侧s底18927.应试能力等级练(时间25分钟)11圆柱的一个底面积是s，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()a4s b2s cs d.s解析底面半径是，所以正方形的边长是22，故圆柱的侧面积是(2)24s.答案a12某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的表面积为()a80 b2488c2440 d118解析根据题意，可得该几何体的底面是边长分别为6和8的矩形且侧棱长均相等的四棱锥，高为so4，如图所示，因此，等腰三角形sab的高se5，等腰三角形scb的高sf4，ssabsscdabse20，sscbssadcbsf12，矩形abcd的面积为6848，该几何体的表面积为s表ssabsscdsscbssadsabcd220212482488.故选b.答案b13已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则该圆台较小底面的半径为_解析设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由s侧3(r3r)84，解得r7.答案714用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是_. 解析如图为棱长为1的正方体礼品盒，先把正