2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1-5-1-2 平面与平面平行的判定学案 北师大版必修2

二平面与平面平行的判定平面和平面平行的判定定理1如果把定理中的“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？答案不一定平行如果不是两条相交直线，即使在一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，也不能判定这两个平面平行，这是因为在两个相交平面的一个平面内，可以画出无数条直线与交线平行，显然这无数条直线都与另一个平面平行，但这两个平面不平行2如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行吗？答案不一定平行，这无数条直线可能相互平行，此时两个平面也可能相交题型一对面面平行判定定理的理解【典例1】下列四个命题：若平面内的两条直线分别与平面平行，则平面与平面平行；若平面内有无数条直线分别与平面平行，则平面与平面平行；平行于同一条直线的两个平面平行；两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行其中正确的个数是_解析若平面内的两条直线分别与平面平行，则与平行，此命题不正确，此两条直线不相交时两面也可能是相交的；若平面内有无数条直线分别与平面平行，则与平行，此命题不正确，如果这无数条直线都是平行的，就不能保证两面是平行的；平行于同一条直线的两个平面平行，此命题不正确，在此条件下，两平面可以相交；两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面有可能是相交平面，此时这两条直线均与交线平行故答案为0.答案0在判定两平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行针对训练1设直线l, m, 平面，下列条件能得出的有()l，m，且l，m；l，m，且lm，l，m；l，m，且lm；lmp, l，m，且l，m.a1个b2个c3个d0个解析错误，因为l, m不一定相交；错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；错误，两个平面可能相交；正确答案a题型二两个平面平行的判定【典例2】如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，点d，e分别是bc与b1c1的中点求证：平面a1eb平面adc1.思路导引要证平面a1eb平面adc1，只需证平面a1eb内有两条相交直线平行于平面adc1即可证明如图，由棱柱的性质知，b1c1bc，b1c1bc. 又d、e分别为bc，b1c1的中点所以c1edb，c1edb则四边形c1dbe为平行四边形因此ebc1d. 又c1d平面adc1，eb平面adc1所以eb平面adc1.连接de，同理，eb1bd，eb1bd所以四边形edbb1为平行四边形则edb1b，edb1b. 因为b1ba1a，b1ba1a(棱柱的性质)所以eda1a，eda1a则四边形edaa1为平行四边形，所以a1ead. 又a1e平面adc1，ad平面adc1所以a1e平面adc1.由a1e平面adc1，eb平面adc1，a1e平面a1eb，eb平面a1eb，且a1eebe，所以平面a1eb平面adc1. 平面与平面平行的判定方法(1)定义法：两个平面没有公共点；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；(3)转化为线线平行：平面内的两条相交直线与平面内的两条相交直线分别平行，则. 针对训练2如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m、e、f、n分别是a1b1、b1c1、c1d1、d1a1的中点求证：(1)e、f、b、d四点共面；(2)平面man平面efdb.证明(1)连接b1d1，e、f分别是边b1c1、c1d1的中点，efb1d1.而bdb1d1，bdef. e、f、b、d四点共面(2)易知mnb1d1，b1d1bd，mnbd.又mn平面efdb，bd平面efdb.mn平面efdb.连接mf.m、f分别是a1b1、c1d1的中点，mfa1d1，mfa1d1.mfad，mfad.四边形adfm是平行四边形，amdf.又am平面bdfe，df平面bdfe，am平面bdfe.又ammnm，平面man平面efdb.题型三线面平行、面面平行的综合应用【典例3】如图，在正方体abcda1b1c1d1中，s是b1d1的中点，e，f，g分别是bc，dc，sc的中点证明：(1)直线eg平面bdd1b1.(2)平面efg平面bdd1b1.思路导引(1)只需在平面bdd1b1中找一条直线证明与直线eg平行即可(2)在平面efg内找两条相交直线与平面bdd1b1平行证明(1)连接sb，e，g分别是bc，sc的中点，egsb.又sb平面bdd1b1，eg平面bdd1b1.直线eg平面bdd1b1.(2)e、f分别是bc、dc的中点，efbd，又bd平面bdd1b1ef平面bdd1b1，ef平面bdd1b1，又由(1)知，eg平面bdd1b1，efege，平面efg平面bdd1b1.(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的(2)所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理针对训练3如图所示，两三角形abc和a1b1c1的对应顶点的连线aa1，bb1，cc1交于同一点o，且.(1)求证：平面abc平面a1b1c1；(2)求sabcsa1b1c1的值解(1)证明：aa1与bb1交于o点，且，aba1b1.同理aca1c1，bcb1c1.又abaca，a1b1a1c1a1，ab，ac平面abc，a1b1，a1c1平面a1b1c1，平面abc平面a1b1c1.(2)由(1)易知abca1b1c1，且相似比为23，.1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线l平行于平面内的无数条直线，则l.()(2)若直线ab，b，那么直线a就平行于平面内的无数条直线()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(4)如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行()答案(1)(2)(3)(4)2三棱台abca1b1c1中，直线ab与平面a1b1c1的位置关系是()a相交b平行c在平面内d不确定解析aba1b1，ab平面a1b1c1，a1b1平面a1b1c1，ab平面a1b1c1.答案b3如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那这条直线与另一个平面的位置关系是()a平行b相交c在平面内d平行或在平面内解析由题可知，这条直线与另一个平面平行或者直线在平面内故选d.答案d4点p是平面外一点，过p作直线a，过p作直线b，且直线a，b确定一个平面，则()ab与相交c与异面d与的位置关系不确定解析abp，a，b，b，a，.答案a课后作业(八)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1经过平面外两点与这个平面平行的平面()a只有一个b至少有一个c可能没有d有无数个解析当这两点的连线与平面相交时，则没有平面与这个平面平行；当这两点的连线与平面平行时，有且只有一个平面与这个平面平行，所以选c.答案c2若平面平面，直线a，点b，则在平面内过点b的所有直线中 ()a不一定存在与a平行的直线b只有两条与a平行的直线c存在无数条与a平行的直线d存在唯一一条与a平行的直线解析当直线a，ba上时满足条件，此时过b不存在与a平行的直线，故选a.答案a3在长方体abcdabcd中，下列正确的是 ()a平面abcd平面abbab平面abcd平面addac平面abcd平面cddcd平面abcd平面abcd解析长方体abcdabcd中，上底面abcd与下底面abcd平行，故选d.答案d4平面内有不共线的三点到平面的距离相等且不为零，则与的位置关系为 ()a平行b相交c平行或相交d可能重合解析若三点分布于平面的同侧，则与平行，若三点分布于平面的两侧，则与相交故选c.答案c5在正方体abcda1b1c1d1中，ab4，m，n分别为棱a1d1，a1b1的中点，过点b的平面平面amn，则平面截该正方体所得截面的面积为()a15b18 c21d12解析如图所示，截面为等腰梯形bdpq，故截面的面积为(24)318.答案b6.如图，在五面体feabcd中，四边形cdef为矩形，m，n分别是bf，bc的中点，则mn与平面ade的位置关系是_解析m，n分别是bf，bc的中点，mncf.又四边形cdef为矩形，cfde，mnde.又mn平面ade，de平面ade，mn平面ade.答案平行7.在如图所示的几何体中，三个侧面aa1b1b，bb1c1c，cc1a1a都是平行四边形，则平面abc与平面a1b1c1平行吗？_(填“是”或“否”)解析因为侧面aa1b1b是平行四边形，所以aba1b1，因为ab平面a1b1c1，a1b1平面a1b1c1，所以ab平面a1b1c1，同理可证：bc平面a1b1c1.又因为abbcb，ab平面abc，bc平面abc，所以平面abc平面a1b1c1.答案是8如图所示的是正方体的平面展开图有下列四个命题：bm平面de；cn平面af；平面bdm平面afn；平面bde平面ncf.其中，正确命题的序号是_解析展开图可以折成如图(1)所示的正方体在正方体中，连接an，如图(2)所示，因为abmn，且abmn，所以四边形abmn是平行四边形所以bman.因为an平面de，bm平面de，所以bm平面de.同理可证cn平面af，所以正确；如图(3)所示，可以证明bm平面afn，bd平面afn，进而得到平面bdm平面afn，同理可证平面bde平面ncf，所以正确答案9如图所示，四棱锥pabcd的底面abcd为矩形，e、f、h分别为ab、cd、pd的中点求证：平面afh平面pce.证明因为f为cd的中点，h为pd的中点，所以fhpc，因为fh平面pce，pc平面pce，所以fh平面pce.又aecf且aecf，所以四边形aecf为平行四边形，所以afce，因为af平面pce，ce平面pce，所以af平面pce.由fh平面afh，af平面afh，fhaff，所以平面afh平面pce.10.如图，在三棱柱abca1b1c1中，e、f、g、h分别是ab、ac、a1b1、a1c1的中点，求证：平面efa1平面bchg.证明e、f分别为ab、ac的中点，efbc.ef平面bchg，bc平面bchg，ef平面bchg.a1g綊eb，四边形a1ebg是平行四边形，a1egb.a1e平面bchg，gb平面bchg，a1e平面bchg.a1eefe，平面efa1平面bchg.应试能力等级练(时间25分钟)11在正方体efghe1f1g1h1中，下列四对截面彼此平行的一对是()a平面e1fg1与平面egh1b平面fhg1与平面f1h1gc平面f1h1h与平面fhe1d平面e1hg1与平面eh1g解析画出相应的截面如图所示，即可得答案答案a12在空间四边形abcd中，e，f分别为ab，ad上的点，且aeebaffd14，又h，g分别为bc，cd的中点，则()abd平面efg，且四边形efgh是平行四边形bef平面bcd，且四边形efgh是梯形chg平面abd，且四边形efgh是平行四边形deh平面adc，且四边形efgh是梯形解析如图，由题意，得efbd，且efbd，hgbd，且hgbd，efhg，且efhg，四边形efgh是梯形又efbd，ef平面bcd，bd平面bcd，ef平面bcd，分析知eh与平面adc不平行故选b.答案b13.在正方体abcda1b1c1d1中，e，f，g分别是a1b1，b1c1，bb1的中点，给出下列四个判断：fg平面aa1d1d；ef平面bc1d1；fg平面bc1d1；平面efg平面bc1d1.其中推断正确的序号是()abcd解析由题设条件可知，fgbc1，bc1ad1，fgad1.又fg平面aa1d1d，ad1平面aa1d1d，fg平面aa1d1d，故正确；efa1c1，a1c1与平面bc1d1相交；ef与平面bc1d1相交，故错误；e，f，g分别是a1b1，b1c1，bb1的中点，fgbc1，fg平面bc1d1，bc1平面bc1d1，fg平面bc1d1，故正确；ef与平面bc1d1相交，平面efg与平面bc1d1相交，故错误选a.答案a14.如图是一几何体的平面展开图，其中abcd为正方形，e，f，g，h分别为pa，pd，pc，pb的中点在此几何体中，给出下面四个结论：平面efgh平面abcd；直线pa平面bdg；直线ef平面pbc；直线ef平面bdg.其中正确的序号是_解析作出立体图形，可知平面efgh平面abcd；pa平面bdg；efhg，所以ef平面pbc；直线ef与平面bdg不平行答案15.如图，四边形abcd与adef为平行四边形，m，n，g分别是ab