2019-2020学年高中数学 第2章 解析几何初步 2-2-3-1 直线与圆的位置关系学案 北师大版必修2

一直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系及判断判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交()(2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切()(3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解()答案(1)(2)(3)题型一直线与圆的位置关系的判定【典例1】已知圆c：x2y21与直线ykx3k，当k为何值时，直线与圆(1)相交；(2)相切；(3)相离. 解解法一(代数法)：联立消去y, 整理得(k21)x26k2x9k210. (6k2)24(k21)(9k21) 32k244(18k2). (1)当直线与圆相交时，0，即k.(2)当直线和圆相切时，0，即k. (3)当直线和圆相离时，0, 即k.解法二(几何法)：圆心(0,0)到直线ykx3k的距离d.由条件知，圆的半径为r1. (1)当直线与圆相交时，dr, 即1，得kr, 即1，得k.直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断；(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系针对训练1(1)直线xky10与圆x2y21的位置关系是()a相交b相离c相交或相切d相切(2)过点p(，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是_解析(1)由直线xky10恒过定点(1,0), 而(1,0)恰在圆x2y21上，故直线与圆至少有一个公共点，故选c. (2)当直线l斜率不存在时，直线l与圆x2y21没有公共点，故可设直线y1k(x)，即kxyk10，圆心到直线的距离1，解得0k，即0tan，即0.答案(1)c(2)题型二圆的切线问题【典例2】过点a(4，3)作圆(x3)2(y1)21的切线，求此切线的方程思路导引设直线的点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率，注意斜率不存在的情况解因为(43)2(31)2171，所以点a在圆外(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)即kxy34k0，因为圆心c(3,1)到切线的距离等于半径1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21.解得k.所以切线方程为y3(x4)，即15x8y360.(2)若直线斜率不存在，圆心c(3,1)到直线x4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x4.综上，所求切线方程为15x8y360或x4.(1)过一点p(x0，y0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式yy0k(xx0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程(2)一般地圆的切线问题，若已知切点则用k1k21(k1，k2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若未知切点则用dr(d为圆心到切线的距离，r为半径)列式针对训练2求过点(1，7)且与圆x2y225相切的直线方程解由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y7k(x1)，即kxyk70.5.解得k或k.所求切线方程为y7(x1)或y7(x1)，即4x3y250或3x4y250.题型三弦长问题【典例3】(1)过圆x2y28内的点p(1,2)作直线l交圆于a，b两点若直线l的倾斜角为135，则弦ab的长为_(2)如果一条直线经过点m且被圆x2y225所截得的弦长为8，求这条直线的方程解析(1)由题意知直线l的方程为y2(x1)，即xy10，圆心o(0,0)到直线l的距离为d，则有|ab|22.(2)圆x2y225的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l8，所以弦心距d3.因为圆心o(0,0)到直线x3的距离恰为3，所以直线x3是符合题意的一条直线设直线yk(x3)也符合题意，即圆心到直线kxy0的距离等于3，于是3，解得k.故直线的方程为3x4y150.综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x3和3x4y150.答案(1)(2)x3和3x4y150求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点a，b的坐标，根据两点间的距离公式|ab|求解(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|ab|x1x2|y1y2|(直线l的斜率k存在)(3)几何法：如图，直线与圆c交于a，b两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|ab|，则有2d2r2，即|ab|2.通常采用几何法较为简便针对训练3已知直线l：kxyk20与圆c：x2y28.(1)证明：直线l与圆相交；(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长解 (1)证明：l：kxyk20，直线l可化为y2k(x1)，直线l经过定点(1,2)，(1)222r3.答案d2已知圆x2y2dxeyf0与y轴切于原点，那么()ad0，e0，f0bd0，e0，f0cd0，e0，f0dd0，e0，f0解析与y轴切于原点，则圆心为(d0)，得e0，圆过原点得f0，故选c.答案c3圆x2y24x4y60截直线xy50所得弦长等于()a.b. c1d5解析分别求出半径r及弦心距d(圆心到直线距离)再由弦长为2，求得答案a4圆x2y22x4y30上到直线l：xy10的距离为的点有()a1个b2个 c3个d4个解析通过画图可知有三个点到直线xy10距离为.答案c课后作业(二十五)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1直线3x4y250与圆x2y29的位置关系为()a相切b相交c相离d相离或相切解析圆心到直线的距离d53，直线与圆相离答案c2过圆x2y24上的一点(1，)的圆的切线方程是()axy40 b.xy0cxy0dxy40解析过圆心与点(1，)的直线的斜率为，所以过点(1，)的圆的切线方程的斜率为，所以切线方程为y(x1)，即xy40.答案a3圆心坐标为(2，1)的圆在直线xy10上截得的弦长为2 ，那么这个圆的方程为()a(x2)2(y1)24 b(x2)2(y1)22c(x2)2(y1)28 d(x2)2(y1)216解析圆心到直线的距离d.r2d2()24，r2.圆的方程为(x2)2(y1)24.答案a4圆x2y22x6y0内，过点e(0,1)的最长弦和最短弦分别为ac和bd，则四边形abcd的面积为()a5b10c15d20解析由题意可知，圆的圆心坐标为(1,3)，半径为，且点e(0,1)位于该圆内，故过点e(0,1)的最短弦长|bd|22(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点e(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|ac|2，且acbd，因此四边形abcd的面积等于|ac|bd|2210.答案b5若直线axby30和圆x2y24x10相切于点p(1,2)，则ab的值为()a3 b2 c2 d3解析圆x2y24x10化为标准方程为(x2)2y25，圆心坐标为(2,0)因为直线axby30和圆x2y24x10相切于点p(1,2)，所以解得a1，b2，所以ab的值为2.答案c6已知p(x，y)|xy2，q(x，y)|x2y22，那么pq为_解析解方程组得xy1.pq(1,1)答案(1,1)7圆x2y24x0在点p(1，)处的切线方程为_解析先由圆心与p的连线与切线的垂直关系求得切线斜率为，则过(1，)切线方程为xy20.答案xy208p(3,0)为圆c：x2y28x2y120内一点，过p点的最短弦所在的直线方程是_解析过p点最短的弦，应为与pc垂直的弦，先求斜率为1，则可得直线方程为xy30.答案xy309已知圆c经过点a(5，2)和b(3,2)，且圆心c在直线l1：xy20上(1)求圆c的标准方程；(2)已知过点m(3，3)的直线l2被圆c所截得的弦长为8，求直线l2的方程解(1)ab的垂直平分线方程为y0(x4)，即x2y40，由解得圆心c(0，2)又r2|ca|225，圆c的标准方程为x2(y2)225.(2)当l2的斜率不存在时，l2：x3满足题意；当l2的斜率存在时，设l2：y3k(x3)，即kxy3k30.直线l2被圆c所截得的弦长为8.圆心c到直线l2的距离d3，解得k.l2的方程为4x3y210.综上所述，l2的方程为x3或4x3y210.10在平面直角坐标系中，o为坐标原点，点a(，1)，点b是x轴上一点，aboa，oab的外接圆为圆c.(1)求圆c的方程；(2)求圆c在点a处的切线方程解(1)设b(a,0)，由koakab1，得a，圆c以ob为直径，c，r，圆c的方程为2y2.(2)kac，切线方程为y1(x)，即xy20.应试能力等级练(时间25分钟)11从点p(x,3)向圆(x2)2(y2)21作切线，切线长度最短为()a4 b2c5 d.解析由题可得切线长l，当x2时，切线长的最小值为2，故选b.答案b12已知圆o：x2y2r2，点p(a，b)(ab0)是圆o内一点，过点p的圆o的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为axbyr20，那么()al1l2，且l2与圆o相离bl1l2，且l2与圆o相切cl1l2，且l2与圆o相交dl1l2，且l2与圆o相离解析点p(a，b)在圆o内部，|r|，l2与圆o相离答案a13已知直线axy20与圆心为c的圆(x1)2(ya)24相交于a，b两点，且abc为等边三角形，则实数a_.解析圆心c(1，a)到直线axy20的距离为.因为abc为等边三角形，所以|ab|bc|2，所以21222，解得a4.答案414已知圆c和y轴相切，圆心c在直线x3y0上，且被直线yx截得的弦长为2，求圆c的方程解设圆心坐标为(3m，m)，圆c和y轴相切，圆c的半径为3|m|.圆心到直线yx的距离为|m|，由半径、弦心距、半弦长的关系，得9m272m2，m1.所求圆c的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.15已知圆c：x2(y1)25，直线l：mxy1m0.(1)求证：对任意mr，直线l与圆c总有两个不同