2019-2020学年高中数学 第2章 解析几何初步复习课学案 北师大版必修2

复习课(二)解析几何初步一、直线与方程我们是如何建立直线的点斜式方程的？你能总结建立这个方程的一般步骤吗？写出直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，并指出这些方程中系数的几何意义结合直线方程一般式的讨论，体会分类讨论的思想；选择合适的分类标准，使讨论不重不漏【典例1】光线沿直线y2x1的方向射到直线yx上，被yx反射后的光线所在的直线方程是()ayxby2xcyxdyx1解析解法一：解方程组得交点p(1，1)，如图，在入射线y2x1上任取一点a(1,3)，a点关于直线yx的对称点为b，则b点的坐标为(3,1)，由光学知识可知反射线经过p、b两点反射光线的方程是即yx.选a.解法二：解方程组得交点p(1，1)由于入射线的斜率等于2大于1，所以反射线的斜率必小于1，过点p(1，1)且斜率小于1的反射线所在直线方程的纵截距必小于0，从而排除b、c、d，选a.答案a本题主要应用直线的斜率、倾斜角、截距、两直线所成的角及轴对称等概念解法一是应用光学知识和轴对称概念而求解的；解法二是由已知条件判断反射线的纵截距必为负值，从而用排除法求解的二、求圆的方程求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：第一步：选择圆的方程的某一形式第二步：由题意得a，b，r(或d，e，f)的方程(组)第三步：解出a，b，r(或d，e，f)第四步：代入圆的方程【典例2】根据条件求下列圆的方程(1)求经过a(6,5)，b(0,1)两点，并且圆心在直线3x10y90上的圆的方程；(2)求半径为，圆心在直线y2x上，被直线xy0截得的弦长为4的圆的方程解(1)由题意知，线段ab的垂直平分线方程为3x2y150，由解得圆心c(7，3)，半径为r|ac|.所求圆的方程为(x7)2(y3)265.(2)解法一：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则圆心坐标为(a，b)，半径为r，圆心(a，b)到直线xy0的距离为d.由半弦长、弦心距、半径组成直角三角形，得d22r2，即810，(ab)24.又b2a，a2，b4或a2，b4，所求圆的方程为(x2)2(y4)210或(x2)2(y4)210.解法二：设圆的方程为(xa)2(yb)210，圆心c(a，b)在直线y2x上，b2a.由圆被直线xy0截得的弦长为4，将yx代入(xa)2(yb)210，得2x22(ab)xa2b2100.设直线yx交圆c于点a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|ab|4，(x1x2)24x1x216.x1x2ab，x1x2，(ab)22(a2b210)16，即ab2.又b2a，或所求圆的方程为(x2)2(y4)210或(x2)2(y4)210.解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等三、直线与圆的位置关系讨论直线与圆的位置关系时，一般可以从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(直线到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中用几何特征解决与圆有关的问题比较简捷实用如直线与圆相交求弦长时，利用公式2d2r2(其中，弦长为l，弦心距为d，半径为r)比利用代数法求弦长要简单实用【典例3】已知点m(3,1)，直线axy40及圆(x1)2(y2)24.(1)求过m点的圆的切线方程；(2)若直线axy40与圆相切，求a的值；(3)若直线axy40与圆相交于a，b两点，且弦ab的长为2，求a的值解(1)圆心c(1,2)，半径为r2.当直线的斜率不存在时，方程为x3.由圆心c(1,2)到直线x3的距离为d312r知，此时直线与圆相切当直线的斜率存在时，设方程为y1k(x3)，即kxy13k0.由题意知，2，解得k.方程为y1(x3)，即3x4y50.故过m点的圆的切线方程为x3或3x4y50.(2)由题意有2，解得a0或a.(3)圆心到直线axy40的距离为，224，解得a.当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路：(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长(2)几何方法：若弦心距为d，圆半径为r，则弦长为l2.解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线四、数形结合思想1数形结合的思想方法是一种重要的方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围，其中可先找出要求最值的量的几何意义，再应用平面几何知识求解2与圆有关的最值问题是本章中的一个难点，常见的类型包括以下几种(1)求圆o上一点到圆外一点p的最大、最小距离：dmax|op|r，dmin|op|r；(2)求圆上的点到与圆相离的某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmaxmr，dmin|mr|；(3)已知某点的运动轨迹是(xa)2(yb)2r2，求，x2y2等式子的最值，一般运用几何法求解【典例4】已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值解原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k(如图1)所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2(如图2)所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.此类问题应首先从代数式的几何意义入手，把代数问题转化为几何问题，再作出几何图形，根据图形的几何性质，观察最值出现的位置，从而解决代数式的最值问题，这是用几何方法解决代数问题的常用方法五、分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时也要分类讨论【典例5】已知直线l经过点p(4，3)，且被圆(x1)2(y2)225截得的弦长为8，求直线l的方程解圆(x1)2(y2)225的圆心为(1，2)，半径r5.当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x4，由题意可知直线x4符合题意当直线l的斜率存在时，设其方程为y3k(x4)，即kxy4k30.由题意可知2252，解得k，即所求直线方程为4x3y250.综上所述，满足题设的l方程为x4或4x3y250.质量检测(二)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1在空间直角坐标系中，点p(3,4,5)关于yoz平面对称的点的坐标为()a(3,4,5) b(3，4,5)c(3，4，5) d(3,4，5)解析y、z坐标相同故点p(3,4,5)关于yoz平面对称的点的坐标为(3,4,5)答案a2直线l过点m(1，2)，倾斜角为30.则直线l的方程为 ()axy210 bxy210cxy210 dxy210解析直线l的倾斜角为30，直线l的斜率ktan30，由点斜式方程，得直线l的方程为y2(x1)，即xy210.答案c3过两点(1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是 ()abc.d2解析由题意，得过两点(1,1)和(3,9)的直线方程为y2x3.令y0，则x，直线在x轴上的截距为，故选a.答案a4以点(2，1)为圆心且与直线3x4y50相切的圆的方程为()a(x2)2(y1)23 b(x2)2(y1)23c(x2)2(y1)29 d(x2)2(y1)29解析因为rd3，所以所求圆的方程为(x2)2(y1)29，故选c.答案c5方程x2y2xym0表示一个圆，则m的取值范围是()ambm0得m.答案a6已知点a(3,2)、b(2，a)、c(8,12)在同一条直线上，则a的值是 ()a0 b4 c8 d4解析根据题意可知kackab，即，解得a8.答案c7已知圆c：x2y24x50，则过点p(1,2)的最短弦所在直线l的方程是()a3x2y70 b2xy40cx2y30 dx2y30解析将圆c的一般方程化成标准方程为(x2)2y29，所以c(2,0)由题意知，过点p(1,2)的最短弦所在的直线l应与pc垂直，故有klkpc1.由kpc2，得kl.所以直线l的方程为y2(x1)，即x2y30.答案d8已知直线l1：(k3)x(4k)y10与l2：2(k3)x2y30平行，则k的值是 ()a1或3 b1或5 c3或5 d1或2解析当k3时，两直线显然平行；当k3时，由两直线平行，斜率相等，得.解得k5，故选c.答案c9过点(2,0)作圆(x1)2(y1)21的切线，所得切线方程为()ay0 bx1和y0cx2和y0 d不存在解析借助数形结合可知，切线方程为x2和y0.答案c10两圆x2y24x4y0与x2y22x120的公共弦长等于()a4 b2c3d4解析公共弦方程为x2y60，圆x2y22x120的圆心为(1,0)，半径r，圆心到公共弦的距离d.所以弦长为24.答案d11如图，已知点a(4,0)，b(0,4)，从点p(2,0)射出的光线经直线ab反射后再射到直线ob上，最后经直线ob反射后又回到点p，则光线所经过的路程为()a2 b. c2d3解析设点p关于直线ab的对称点为p1，点p关于y轴的对称点为p2，则|p1p2|即为所求路程又直线ab的方程为xy40，所以p1(4,2)，p2(2,0)，故|p1p2|2.答案a12直线ykx3与圆(x2)2(y3)24相交于m、n两点，若|mn|2，则k的取值范围是()a.b.c， d.解析解法一：可联立方程组利用弦长公式求|mn|，再结合|mn|2可得答案解法二：利用圆的性质知，圆心到直线的距离的平方加上弦长一半的平方等于半径的平方，求出|mn|，再结合|mn|2可得答案，故选b.答案b第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13已知点a(2,1)，b(2,3)，c(0,1)，则abc中，bc边上的中线长为_. 解析bc中点为(1,2)，所以bc边上中线长为.答案14已知三点a(1,0)，b(0，)，c(2，)，则abc外接圆的圆心到原点的距离为_解析设圆的方程为x2y2dxeyf0，则解得d2，e，f1.圆心为，所求距离为.答案15已知定点a(0,1)，点b在直线xy0上运动，当线段ab最短时，点b的坐标是_解析如图所示，当ab垂直直线xy0时，线段ab最短，此时点b的坐标为.答案16已知正abc的边长为2，在平面abc中，动点p，m满足ap1，m是pc的中点，则线段bm的最小值为_解析以bc的中点o为坐标原点，以bc为x轴，oa为y轴建立平面直角坐标系，如图所示bc2，oa3，a(0,3)ap1，p点的轨迹方程为x2(y3)21.设m(x，y)，p(x，y)，c(，0)，(2x)2(2y3)21，即22，m点的轨迹是以n为圆心，为半径的圆，b(，0)，|bn|3，|bm|min|bn|3.答案三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知直线l经过点p(2,5)且斜率为，(1)求直线l的方程；(2)若直线m平行于直线l，且点p到直线m的距离为3，求直线m的方程解(1)直线l的方程为：y5(x2)，整理得3x4y140.(2)设直线m的方程为3x4yn0，d3，解得n1或29.直线m的方程为3x4y10或3x4y290.18(本小题满分12分)已知直线l1：kxy1k0(kr)，l2：xy50.(1)证明：直线l1过定点；(2)已知直线l1l2，o为坐标原点，a，b为直线l1上的两个动点，|ab|，若oab的面积为s，求s.解(1)证明：l1的方程可化为y1k(x1)，当x1时，y1，直线l1过定点(1,1)(2)l1l2，k1，l1