2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1-1-2 简单多面体学案 北师大版必修2

12简单多面体1多面体我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体其中棱柱、棱锥、棱台都是简单多面体2棱柱(1)棱柱的有关概念两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱两个互相平行的面叫作棱柱的底面，其余各面叫作棱柱的侧面，棱柱的侧面是平行四边形两个面的公共边叫作棱柱的棱，其中两个侧面的公共边叫作棱柱的侧棱，底面多边形与侧面的公共顶点叫作棱柱的顶点(2)棱柱的分类按底面多边形的边数：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形我们把这样的棱柱分别叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱.按侧棱与底面是否垂直：3棱锥(1)定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥如右图棱锥记作：三棱锥sabc.(2)正棱锥如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面全等，就称作正棱锥(3)分类按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫作三棱锥、四棱锥、五棱锥.4棱台(1)定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台如右图棱台记作：三棱台abca1b1c1.(2)正棱台用正棱锥截得的棱台叫作正棱台(3)分类按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台.1给出下列图片：观察这些图片中的物体，你能得到什么样的空间几何体？请与下面轮廓图对应，并将它们进行分类答案图片中展示的几何体有：柱体、锥体、台体、球体四类. 可作两种不同的分类：2正棱锥的侧面是什么样的三角形？正棱台的侧面呢？答案正棱锥的侧面是全等的等腰三角形；正棱台的侧面是全等的等腰梯形3判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)棱柱的侧面都是平行四边形()(2)棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点()(3)棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形()(4)棱台的侧棱所在直线均相交于同一点()(5)多面体至少有四个面()(6)三棱锥也叫作四面体()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)题型一棱柱的几何特征【典例1】如图所示的直八棱柱，它的底面边长都是5厘米，侧棱长都是6厘米，回答下列问题：(1)这个八棱柱一共有多少面？它们的形状分别是什么图形？哪些面的形状、面积完全相同？(2)这个八棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？(3)沿一条侧棱将其侧面全部展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？思路导引棱柱的表面分为底面与侧面，底面可以是任意的平面多边形，而侧面只可以是平行四边形；棱柱的棱分为底棱和侧棱，侧棱相互平行，相对底棱相互平行解(1)这个八棱柱一共有10个面，其中上、下两个底面，8个侧面；上、下底面是八边形，侧面都是长方形；上、下底面的形状、面积完全相同，8个侧面的形状、面积完全相同(2)这个八棱柱一共有24条棱，其中侧棱的长度都是6厘米，其他棱长是5厘米(3)将其侧面沿一条棱展开，展开图是一个长方形，长为5840(厘米)，宽为6厘米，所以面积是406240(平方厘米)针对训练1下列对棱柱的叙述中正确的是()a由面围成的几何体叫做棱柱b至少有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱c每相邻两个四边形的公共边互相平行的几何体叫做棱柱d有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻的两个四边形的公共边互相平行的几何体叫棱柱解析由棱柱的定义可知，d正确答案d题型二棱锥、棱台的几何特征【典例2】(1)判断如图所示的物体是不是棱锥，为什么？(2)如图所示的多面体是不是棱台？思路导引根据棱锥与棱台的几何特征判定解(1)该物体不是棱锥因为棱锥的定义中要求：各侧面有一个公共顶点，但侧面abc与侧面cde没有公共顶点，所以该物体不是棱锥(2)根据棱台的定义，可以得到判断一个多面体是否是棱台的标准有两个：一是共点，二是平行即各侧棱延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可据此，图(1)中多面体侧棱延长线不相交于同一点，故不是棱台；图(2)中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台；图(3)中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，因此也不是棱台棱锥、棱台结构特征问题的判断方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确(2)直接法针对训练2有下列三个命题：用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台其中正确的有()a0个b1个c2个d3个解析中的平面不一定平行于底面，故错；可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故错故选a.答案a题型三多面体的识别和判断【典例3】如图，已知长方体abcda1b1c1d1.用平面bcfe把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由思路导引根据棱柱的定义及分类判定解截面bcfe上方部分是棱柱，且是三棱柱beb1cfc1，其中beb1和cfc1是底面截面bcfe下方部分也是棱柱，且是四棱柱abea1dcfd1，其中四边形abea1和四边形dcfd1是底面解答此类题目的关键是正确掌握棱柱的几何特征，在利用几何体的概念进行判断时，要紧扣定义，注意几何体间的联系与区别，不要认为底面就是上下位置针对训练3如图所示，关于该几何体的正确说法有_这是一个六面体；这是一个四棱台；这是一个四棱柱；此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到解析正确，因为有六个面，属于六面体的范畴；错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；正确，若把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；都正确，如图所示答案1下列几何体中，不属于多面体的是()a立方体 b三棱柱 c长方体 d球解析利用多面体的定义：由平面多边形围成的几何体，很容易能判定出来答案d2.如图所示的几何体是()a五棱锥b五棱台c五棱柱d五面体解析由图知，该几何体底面是五边形，且为柱体，所以是五棱柱答案c3下列几何体中棱柱有()a5个b4个c3个d2个解析由棱柱的定义及几何特征可知，为棱柱答案d4对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是()a棱柱b棱锥c棱台d一定不是棱柱、棱锥解析根据棱柱、棱锥、棱台的特征可知，一定不是棱柱、棱锥答案d多面体表面距离最短问题表面距离最短问题，一般方法是展成平面图形，利用两点间距离最短来解决【示例】如图所示，在侧棱长为2的正棱锥vabc中(底面为正三角形，过顶点与底面垂直的直线过底面的中心)，avbbvccva40，过a作截面aef，求截面aef周长的最小值思路分析把正三棱锥的侧面展开成平面图形，当aef的各边在同一直线上时，其周长最小解将三棱锥沿侧棱va剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示，线段aa1的长为所求aef周长的最小值，取aa1的中点d，则vdaa1，avd60，可求ad3，则aa16.题后反思有关几何体的距离的最值问题有两类基本方法：(1)函数思想：设出变量，把所求距离写成关于变量的函数表达式，再利用函数方法求最值(2)转化思想：通过表面展开，转化为平面问题变曲为直，利用几何性质求解针对训练某城市中心广场主题建筑为一三棱锥，且所有边长均为10 m，如图所示，其中e，f分别为ad，bc的中点(1)画出该几何体的表面展开图，并注明字母；(2)为迎接国庆，城管部门拟对该建筑实施亮化工程，现预备从底边bc中点f处分别过ac，ab上某点向ad中点e处架设led灯管，所用灯管长度最短为多少？解(1)该几何体的表面展开图如图所示(2)由该几何体的展开图知，四边形acbd为菱形，四边形abcd为菱形若使由f向e所架设灯管长度最短，可由其展开图中连接线段ef.这两条线段均为10，故所用灯管最短为20 m.课后作业(二)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1下面的几何体中是棱柱的有()a3个 b4个 c5个 d6个解析棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行本题所给几何体中不符合棱柱的三个特征，而符合，故选c.答案c2下面图形中，为棱锥的是()a b c d解析根据棱锥的定义和结构特征可以判断，是棱锥，不是棱锥故选c.答案c3下列图形中，是棱台的是()解析由棱台的定义知，a、d的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；b中两个面不平行，不是棱台，只有c符合棱台的定义，故选c.答案c4一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是()a三棱锥 b四棱锥 c五棱锥 d六棱锥解析由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60，如果是六棱锥，因为660360，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥答案d5下列图形中，不能折成三棱柱的是()解析c中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折为三棱柱答案c6面数最少的棱柱为_棱柱，共有_个面围成解析棱柱有相互平行的两个底面，其侧面至少有3个，故面数最少的棱柱为三棱柱，共有五个面围成答案三57以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为_解析如图所示，在三棱台abca1b1c1中，分别连接a1b，a1c，bc1，则将三棱台分成3个三棱锥，即三棱锥aa1bc，b1a1bc1，ca1bc1.答案38下列说法正确的是_一个棱锥至少有四个面；如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；五棱锥只有五条棱；用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似解析正确不正确四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不等不正确五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共10条棱正确答案9试从正方体abcda1b1c1d1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱解(1)如图所示，三棱锥a1ab1d1(答案不唯一)(2)如图所示，三棱锥b1acd1(答案不唯一)(3)如图所示，三棱柱a1b1d1abd(答案不唯一)10.如图所示，长方体的长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm.一只蚂蚁从a点到c1点沿着表面爬行的最短路程是多少？解依题意，长方体abcda1b1c1d1的表面可有如图所示的三种展开图展开后，a，c1两点间的距离分别为： (cm)，4 (cm)，3 (cm)，三者比较得 cm为蚂蚁从a点沿表面爬行到c1点的最短路程应试能力等级练(时间25分钟)11能保证棱锥是正棱锥的一个条件是()a底面为正多边形b各侧棱都相等c各侧面与底面都是全等的正三角形d各侧面都是等腰三角形解析正棱锥的底面是正多边形，且顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上故底面为正多边形的棱锥不一定是正棱锥；各侧棱都相等(或各侧面都是等腰三角形)的棱锥不一定是正棱锥；各侧面与底面都是全等的正三角形的棱锥是正三棱锥答案c12下列说法正确的是()a各个面都是三角形的多面体一定是棱锥b四面体一定是三棱锥c棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥d底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥解析对于a，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥，错误；b显然正确；对于c，举反例，如图所示，在棱锥abcd中，abbdaccd3，bcad2，满足侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正棱锥，错误；对于d，底面多边形既有内切圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥，错误答案b13下列几种说法中正确的有()用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；棱台的侧面一定不会是平行四边形；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台a0个 b1个 c2个 d3个解析必须用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故不正确；棱台的侧面一定是梯形，故正确；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，因为各条侧棱不一定相交于一点，故不正确答案b14正五棱台的上、下底面面积分别为1 cm2、49 cm2，平行于底面的截面面积为25 cm2，那么截面到上、下底面的距离的比值为