2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1-2 直观图学案 北师大版必修2

2直观图1用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则(1)画轴：在已知图形中建立直角坐标系xoy.画直观图时，它们分别对应x轴和y轴，两轴交于点o，使xoy45，它们确定的平面表示水平平面；(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴和y轴的线段；(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.2立体图形直观图的画法立体图形与平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z轴，平面xoy表示水平平面，平面yoz和xoz表示直立平面平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形()(2)平行四边形的直观图仍是平行四边形()(3)两条相交直线的直观图可能是平行直线()(4)两条垂直的直线的直观图仍互相垂直()答案(1)(2)(3)(4)题型一水平放置的平面图形的直观图【典例1】画出如图水平放置的直角梯形的直观图思路导引充分利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便解(1)在已知的直角梯形obcd中，以底边ob所在直线为x轴，垂直于ob的腰od所在直线为y轴建立平面直角坐标系画出相应的x轴和y轴，使xoy45，如图所示(2)在x轴上截取obob，在y轴上截取odod，过点d作x轴的平行线l，在l上沿x轴正方向取点c使得dcdc.连接bc，如图.(3)所得四边形obcd就是直角梯形obcd的直观图，如图.(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段针对训练1按图的建系方法，画水平放置的正五边形abcde的直观图解画法：(1)在图中作agx轴于g，作dhx轴于h.(2)在图中画相应的x轴与y轴，两轴相交于点o，使xoy45.(3)在图中的x轴上取obob，ogog，ococ，ohoh，y轴上取oeoe，分别过g和h作y轴的平行线，并在相应的平行线上取gaga，hdhd.(4)连接ab，ae，ed，dc，并擦去辅助线ga，hd，x轴与y轴，便得到水平放置的正五边形abcde的直观图abcde(如图)题型二直观图的还原与计算角度1：由直观图还原成平面图形【典例2】如图所示，矩形oabc是水平放置的一个平面图形的直观图，其中oa6 cm，cd2 cm，则原图形是_思路导引根据斜二测画法的规则还原成平面图形即可解析如图所示，在原图形oabc中，应有od2od224(cm)，cdcd2(cm)，oc6(cm)，oaoc，故四边形oabc是菱形答案菱形由直观图还原平面图形的关键(1)平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x、y轴平行的顶点可通过作x轴，y轴平行线变换确定其在xoy中的位置针对训练2如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是 ()解析由斜二测画法可知，与y轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍故可判断a正确答案a角度2：原图形与直观图的面积计算【典例3】一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为()a.a2b2a2ca2d2a2思路导引先还原成原图形，再计算面积解析由直观图还原出原图，如图，在原图中找出对应线段长度进而求出面积所以sa2a2a2.答案b(1)求图形的面积，关键是能先正确画出图形，然后求出相应边的长度，再利用公式求解(2)原图的面积s与直观图的面积s之间的关系为s2s.针对训练3如图所示，梯形a1b1c1d1是一平面图形abcd的直观图若a1d1oy，a1b1c1d1，a1b1c1d12，a1d1od11.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积解如图，建立直角坐标系xoy，在x轴上截取odod11，ococ12.在过点d的y轴的平行线上截取da2d1a12.在过点a的平行x轴的平行线上截取aba1b12.连接bc，即得到了原图形由作法可知，原四边形abcd是直角梯形，上、下底长度分别为ab2，cd3，直角腰的长度ad2，所以面积为s5.题型三空间几何体的直观图的画法【典例4】用斜二测画法画出六棱锥pabcdef的直观图，其中底面abcdef为正六边形，点p在底面的投影是正六边形的中心o(尺寸自定)思路导引先画出底面的直观图，然后确定竖直方向上的点，连线成图解(1)画出六棱锥pabcdef的底面如图所示，在正六边形abcdef中，取ad所在的直线为x轴，对称轴mn为y轴，两轴相交于o.(2)画相应的x轴、y轴和z轴，三轴相交于o，使xoy45，xoz90；在图中，以o为中点，在x轴上取adad，在y轴上取mnmn；以n点为中点画bc平行于x轴，且等于bc；再以m为中点画ef平行于x轴，且等于ef；连接ab，cd，de，fa，得正六边形abcdef水平放置的直观图abcdef.(3)画正六棱锥pabcdef的顶点在z轴上取点p，使popo.(4)成图连接pa，pb，pc，pd，pe，pf，并进行整理，便得到六棱锥pabcdef的直观图pabcdef，如图所示(1)画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可(2)直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”针对训练4用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体abcdabcd的直观图解画法：(1)画轴如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点o，使xoy45，xoz90.(2)画底面以点o为中心，在x轴上取线段mn，使mn2 cm；在y轴上取线段pq，使pq1 cm.分别过点m和n作y轴的平行线，过点p和q作x轴的平行线，设它们的交点分别为a，b，c，d，四边形abcd就是正方体的底面abcd.(3)画侧棱过a，b，c，d各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段aa，bb，cc，dd.(4)成图顺次连接a，b，c，d，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图(如图)1用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()a原来相交的仍相交b原来垂直的仍垂直c原来平行的仍平行d原来共点的仍共点解析由斜二测画法规则知，b选项错误故选b.答案b2ab2cd，abx轴，cdy轴，已知在直观图中，ab的直观图是ab，cd的直观图是cd，则 ()aab2cdbabcdcab4cddabcd解析abx轴，cdy轴，abab，cd2cd，abab2cd2(2cd)4cd.答案c3如图，已知等腰三角形abc，则下面的四个图可能是abc直观图的是()a b c d解析若以bc所在直线为x轴，则当xoy45时，直观图为；当xoy135时，直观图为，故选d.答案d4如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是()解析根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y轴的边与底边垂直答案c课后作业(三)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1在用斜二测画法画水平放置的abc时，若a的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中a等于()a45 b135c90 d45或135解析因为a的两边分别平行于x轴、y轴，故a90，在直观图中，按斜二测画法规则知xoy45或135，即a45或135，故选d.答案d2下面每个选项的2个边长为1的正abc的直观图不是全等三角形的一组是()解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论答案c3.如图所示，abc是水平放置的abc的斜二测直观图，其中ocoa2ob，则以下说法正确的是()aabc是钝角三角形babc是等腰三角形，但不是直角三角形cabc是等腰直角三角形dabc是等边三角形解析ob对应的ob在y轴上，且obocoa，故三角形abc为等腰直角三角形答案c4关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是()a等腰三角形的直观图仍是等腰三角形b正方形的直观图为平行四边形c梯形的直观图不是梯形d正三角形的直观图一定为等腰三角形答案b5.如图所示直观图是水平放置的abc按“斜二测画法”所得，其中boco1，ao，那么原abc中abc的大小是()a30 b45c60 d90解析根据斜二测画法可知abc中，bc2，ao，aobc，abac2，故abc是等边三角形，则abc60.答案c6.如图，水平放置的abc的斜二测直观图是图中的abc，已知ac6，bc4，则ab边的实际长度是_解析由斜二测画法，可知abc是直角三角形，且bca90，ac6，bc428，则ab10.答案107已知abc的直观图如图所示，则原abc的面积为_. 解析由题意，易知在abc中，acab，且ac6，ab3，sabc639.答案98如图，平行四边形opqr是四边形opqr的直观图，若op3，or1，则原四边形opqr的周长为_解析由直观图可知，原图形是矩形opqr，且op3，or2.故原四边形opqr的周长为10.答案109由下列几何体的三视图画出直观图解由几何体的三视图，知这个几何体是一个三棱柱(1)画轴如图，画出x轴，y轴，z轴，三轴相交于点o，使xoy45，xoz90.(2)画底面作水平放置的三角形(俯视图)的直观图abc.(3)画侧棱过a，b，c各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段aa，bb，cc.(4)成图顺次连接a，b，c，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到的图形就是几何体的直观图，如图.10一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图解(1)画轴如图1所示，画x轴、z轴，使xoz90.(2)画圆柱的两底面，在x轴上取a、b两点，使ab的长度等于3 cm，且oaob.选择椭圆模板中适当的椭圆过a，b两点，使它为圆柱的下底面在oz上截取点o，使oo4 cm，过o作ox的平行线ox，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面(3)画圆锥的顶点在oz上截取点p，使po等于圆锥的高3 cm.(4)成图连接aa、bb、pa、pb，整理得到此几何体的直观图如图2所示应试能力等级练(时间25分钟)11水平放置的abc，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形abc，则abc是()a锐角三角形b直角三角形c钝角三角形d任意三角形解析将abc还原，由斜二测画法知，abc为钝角三角形答案c12已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()a2 cm b3 cm c2.5 cm d5 cm解析圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为235(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.故选d.答案d13如图所示，四边形oabc是上底为2，下底为6，底角为45的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图oabc，则在直观图中，梯形的高为_解析作cd、beoa于点d、e，则odea2，odcd2，在直观图中梯形的高为21.答案114.如图所示，四边形abcd是一个梯形，cdab，cdao1，三角形aod为等腰直角三角形，o为ab的中点，则梯形abcd水平放置的直观图的面积为_解析在梯形abcd中，ab2，高od1，由于梯形abcd水平放置的直观图仍为梯形，且上底cd和下底ab的长度都不变，在直观图中，odod，梯形的高de，于是梯形abcd的面积为(12).答案15如图所示是一个几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的