2019-2020学年高中数学 第2章 解析几何初步 2-2-3-2 圆与圆的位置关系学案 北师大版必修2

二圆与圆的位置关系圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断一元二次方程判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两圆无公共点，则两圆相离()(2)两圆有且只有一个公共点，则两圆内切和外切()(3)设两圆的圆心距为l，两圆半径长分别为r1，r2，则当|r1r2|lr1r2时，两圆相交()(4)两圆外切时，有三条公切线：两条外公切线，一条内公切线()答案(1)(2)(3)(4)题型一两圆位置关系的判定【典例1】a为何值时，两圆c1：x2y22ax4ya250和c2：x2y22x2aya230 (1)外切；(2)相交；(3)相离. 思路导引利用圆心距与两圆半径之和、半径之差的关系判定这两圆的位置关系解将两圆方程写成标准方程，c1：(xa)2(y2)29, c2：(x1)2(ya)24. 两圆的圆心和半径分别为c1(a，2)，r13，c2(1，a)，r22. 设两圆的圆心距为d, 则d2(a1)2(2a)22a26a5.(1)当d5，即2a26a525时，两圆外切，此时a5或a2.(2)当1d5，即12a26a525时，两圆相交，此时5a2或1a5，即2a26a525时，两圆相离，此时a2或a5.(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：化成圆的标准方程，写出圆心和半径. 计算两圆圆心的距离d. 通过d，r1r2，|r1r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合. (2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系. 针对训练1(1)圆x2y22y0与圆(x4)2(y2)24的位置关系是()a相离b相交c外切d内切(2)已知0rr1r212, 两圆相离. (2)两圆的圆心分别为(0,0)，(1，1), 半径分别为r，两圆心距d，0r1，0|r|，|r|d0)，因为圆c与圆c1：x2y22x0相外切，所以r1.又因为圆c与直线xy0相切于a(3，)，所以r，.由解得或故圆c的方程为(x4)2y24或x2(y4)236.处理两圆相切问题的两个步骤针对训练3求与圆c：(x2)2(y1)24相切于点a(4，1)且半径为1的圆的方程解因已知圆c：(x2)2(y1)24的圆心c(2，1)设所求圆b的圆心为b(a，b)，由切点为a(4，1)，则点c，a，b共线则b1，又因|ab|1，可得a5或3，即所求圆b的圆心b(5，1)或(3，1)，故圆b的方程为(x5)2(y1)21或(x3)2(y1)21.1圆x2y22x0与圆x2y24y0的位置关系是()a相离b外切c相交d内切答案c2若圆c1：(x2)2(ym)29与圆c2：(xm)2(y1)24外切，则m的值为()a2 b5 c2或5 d不确定解析两圆的圆心坐标分别为(2，m)，(m，1)，两圆的半径分别为3,2，由题意得32，解得m2或5.答案c3设r0，圆(x1)2(y3)2r2与圆x2y216的位置关系不可能是()a内切b相交c内切或内含d外切或相离解析两圆的圆心距为d，两圆的半径之和为r4，因为r4，所以两圆不可能外切或相离，故选d.答案d4若圆x2y22xf0和圆x2y22xey40的公共弦所在的直线方程是xy10，则()ae4，f8 be4，f8ce4，f8 de4，f8解析可得4xeyf40，即xy0，由两圆的公共弦所在的直线方程为xy10，得解得答案c圆系方程及应用已知圆c1：x2y2d1xe1yf10与圆c2：x2y2d2xe2yf20有两个交点，则对于方程(x2y2d1xe1yf1)(x2y2d2xe2yf2)0来说，当0时，它表示圆c1；1时，它表示两圆公共弦所在的直线方程求经过这两个圆公共点的圆的方程时，也可设为：(x2y2d1xe1yf1)(x2y2d2xe2yf2)0.【示例】求圆心在直线xy40上，且过两圆x2y24x60和x2y24y60的交点的圆的方程思路分析解法一：可以用过两圆交点的圆系方程求出圆心，代入直线，即可确定方程解法二：求两圆的公共弦的垂直平分线，一定过圆心，两直线联立求圆心坐标，然后求半径解解法一：设经过两圆交点的圆系方程为x2y24x6(x2y24y6)0(1)，即x2y2xy60，所以圆心坐标为.又圆心在直线xy40上，所以40，即.所以所求圆的方程为x2y26x2y60.解法二：由得两圆公共弦所在直线的方程为yx.由解得所以两圆x2y24x60和x2y24y60的交点坐标分别为a(1，1)，b(3,3)，线段ab的垂直平分线所在的直线方程为y1(x1)由得即所求圆的圆心为(3，1)，半径为4.所以所求圆的方程为(x3)2(y1)216.题后反思当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2y2d1xe1yf1)(x2y2d2xe2yf2)0，然后用待定系数法求出即可针对训练求过两圆c1：x2y24x2y10与c2：x2y26x0的交点且过点(2，2)的圆的方程解设过两圆c1：x2y24x2y10与c2：x2y26x0的交点的圆系方程为x2y24x2y1(x2y26x)0，即(1)x2(1)y2(46)x2y10.把(2，2)代入，得4(1)4(1)2(46)410，解得.圆的方程为x2y22x8y40.课后作业(二十六)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1两圆x2y210和x2y24x2y40的位置关系是()a内切b相交c外切d相离解析圆x2y210的圆心为c1(0,0)，半径为r11，圆x2y24x2y40的圆心为c2(2，1)，半径为r23，两圆的圆心距为d|c1c2|，又r2r12，r1r24，所以r2r1d0)相交，所以画图(图略)可知3b3.答案c12已知圆o的方程是x2y220，圆o的方程是x2y28x100.由动点p向o和o所引的切线长相等，则动点p的轨迹方程是_解析圆o的圆心为o(0,0)，半径r；o的圆心为o(4,0)，半径r，设点p(x，y)，由切线长(用勾股定理表示切线长)相等得x2y22(x4)2y26，即x，这就是动点p的轨迹方程答案x13已知o方程为x2y24，定点a(4,0)，则过点a且和o相切的动圆圆心的轨迹方程为_解析设动圆圆心为p(x，y)因为动圆过定点a，所以|pa|即为动圆半径当动圆p与o外切时，|po|pa|2.当动圆p与o内切时，|po|pa|2.综合这两种情况，得|po|pa|2，即|2，化简可得(x2)21.答案(x2)2114点m在圆心为c1的方程x2y26x2y10上，点n在圆心为c2的方程x2y22x4y10上，求|mn|的最大值解把圆的方程都化成标准形式，得(x3)2(y1)29，(x1)2(y2)24.c1的坐标是(3,1)，半径长是3；c2的坐标是(1，2)，半径长是2.所以，|c1c2|.因此，|mn|的最大值是5.15已知点p(2，3)和以点q为圆心的圆(x4)2(y2)29.(1)画出以pq为直径，q为圆心的圆，再求出它的方程；(2)作出以q为圆心的圆和以q为圆心的圆的两个交点a，b.直线pa，pb是以q为圆心的圆的