2019-2020学年高中数学 课时作业14 数学归纳法原理应用 北师大版选修4-5

课时作业(十四)1关于正整数n的不等式2nn2成立的条件是()ann*bn4cn4 dn1或n4答案d解析n取1，2，3，4验证2用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()a2 b3c5 d6答案c解析当n取1，2，3，4时2nn21不成立，当n5时，253252126，第一个能使2nn21的n值为5，故选c.3用数学归纳法证明11)时，第一步即证下述哪个不等式成立()a12 b12c12 d11，n02.n02时，左边1，右边2，即12.4用数学归纳法证明11n(nn*)成立，当n1时，应验证()a.1 b.1c.1 d.1答案a解析当n1时，左边1，中间1，右边1，1.5若不等式对于一切nn*恒成立，则自然数m的最小值为()a8 b9c10 d12答案a解析令bn，bk1bk()0.bk1bk.数列bn为递减数列要bn恒成立，只需b1.7.m的最小值为8.6用数学归纳法证明“11)”时，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是()a2k1 b2k1c2k d2k1答案c7已知a11，an1an，且(an1an)22(an1an)10，先计算a2，a3，再猜想an等于()an bn2cn3 d.答案b8利用数学归纳法证明“(1)(1)(1)”时，n的最小取值n0为_答案29证明11)，当n2时，要证明的式子为_答案213解析当n2时，要证明的式子为21时，f(2k1)f(2k)_答案解析f(2k)1，f(2k1)1，故f(2k1)f(2k).14求证：(n2，nn)证明(1)当n2时，左边，不等式成立(2)假设nk(k2，kn)时，不等式成立，即，则当nk1时，()().所以当nk1时，不等式也成立由(1)(2)，知原不等式对一切n2且nn都成立15数列an满足sn2nan(nn)(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an.(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想解析(1)a11，a2，a3，a4，由此猜想an(nn)(2)当n1时，a11，结论成立假设nk(k1)时，结论成立，即ak，那么当nk1时，ak1sk1sk2(k1)ak12kak2akak1.所以2ak12ak，所以ak1.这表明当nk1时，结论成立所以an(nn)1用数学归纳法证明11)第一步验证n2时，左边的项为()a1 b1c. d1答案d2试比较2n2与n2的大小(nn*)，并用数学归纳法证明你的结论证明当n1，n2，n3时都有2n2n2成立，所以归纳猜想2n2n2成立下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，左边2124；右边1，左边右边，所以原不等式成立当n2时，左边2226，右边224，所以左边右边；当n3时，左边23210，右边329，所以左边右边(2)假设nk(k3且kn*)时，不等式成立，即2k2k2.那么nk1，时2k1222k22(2k2)22k22.又因为2k22(k1)2k22k3(k3)(k1)0，即2k12(k1)2成立根据(1)(2)可知，2n2n2对于任何nn*都成立3设f(n)1，由f(1)1，f(3)1，f(7)，f(15)2，.(1)你能得到怎样的结论？并证明(2)是否存在一个正数t，使对任意的正整数n，恒有f(n).下面用数学归纳法证明：当n1时，f(211)f(1)1，不等式成立假设当nk(k1，kn*)时不等式成立，即f(2k1).则f(2k11)f(2k1)f(2k1)2k个f(2k1).当nk1时不等式也成立由可知对任何nn*，f(2n1)均成立(2)对任意给定的正数t，设它的整数部分为t，记mt1，则mt.由(1)可知，f(22m1)m，f(22m1)t.这说明，对任意给定的正数t，总能找到正整数n(如可取假设中的2m)，使得f(n)t.不存在正数t，使得对任意正整数n，总有f(n)t成立4已知数列an的前n项和sn，且满足a1，an2snsn10(n2)(1)判断是否为等差数列？并证明你的结论；(2)求sn与an；(3)求证：s12s22sn2.解析(1)s1a1，2.当n2时，ansnsn12snsn1，2，故是以2为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)得2(n1)22n，sn(nn*)，当n2时，an2snsn1.当n1时，a1