音乐中的数学(数学文化).doc

上海交通大学通识教育核心课程 数学与文化课程论文 2010秋季音乐中的数学姚梦琪5100309226电子信息与电气工程学院2010.12.9音乐中的数学姚梦琪5100309226电子信息与电气工程学院摘要：在我们的生活中，音乐随处可见。作为人类精神文化艺术之一的音乐，是充满感性的，多彩的感觉、多样的效果，正是音乐的魅力所在。而数学则极为精准，充满理性。在这感性的音乐与理性的数学间，是否蕴藏着某些联系？音乐中出现数学与数学中存在音乐并非偶然，而是音乐与数学融合一体的完美体现。音乐可以抒发人们的情感，是对人们自己内心世界的反应和对客观世界的感触，因而是以一种感性的方式来描述世界，而数学是以一种理性的、抽象的方式来描述世界，使人类对世界有一个客观的、科学的理解和认识。虽然音乐与数学描述世界的方式不同，但最终目的都是为人类更好地生存和发展服务，因此两者可以从根本上统一起来，成就了一种必然。在我们的生活中，音乐随处可见。作为人类精神文化艺术之一的音乐，是充满感性的，多彩的感觉、多样的效果，正是音乐的魅力所在。而数学则极为精准，充满理性。在这感性的音乐与理性的数学间，是否蕴藏着某些联系？人们对数学与音乐之间联系的研究和认识可以说源远流长。这最早可以追溯到公元前六世纪,当时毕达哥拉斯学派用比例将数学与音乐联系起来.。他们不仅认识到所拨琴弦产生的声音与琴弦的长度有着密切的关系,从而发现了和声与整数之间的关系, 拨动弦的每一种和谐的结合，都能表示为整数比，由增大成整数比的弦的长度，能够产生全部的音阶。而且还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的。于是,毕达哥拉斯音阶(the Pythagorean Scale) 和调音理论诞生，而且在西方音乐界占据了统治地位。 毕达哥拉斯律又称五度相生律，发音体整体振动产生的最低的音是基础音，是由一根弦或空气柱整体振动时产生的。以基础音为标准，其余1/2、1/3、1/4等各部分也是同时振动，是泛音。泛音的组合决定了特定的音色，并能使人明确地感到基音的响度。乐器和自然界里所有的音都有泛音。根据第一、二泛音间频率比为2：3的关系进行音的繁衍，以此为纯五度，进行一系列的五度相生，从而得到调中诸音。纯律取泛音列中第一、二泛音之间的纯五度以及第三、四泛音间的大三度这两种音程为繁衍新音的要素，由频率比为4:5:6的几个大三和弦确定诸音高。 纯律的实际应用及乐谱记载在六世纪由我国梁代丘明传谱的碣石调幽兰中。直至十六世纪我国在数学运算上有所突破，在算盘上用开两次平方和一次立方的方法求出了十二次方根，明代朱载 (1536 - 1610) 在其音乐著作律学新说对十二平均律的计算方法作了概述,在律吕精义-内篇中对十二平均律理论作了论述,并把十二平均律计算的十分精确, 与当今的十二平均律完全相同, 这实际就是一百多年后由德国人沃克梅斯特提出的十二平均律，其频率由等比数列通项公式 确定，公比为1.05946，是2开12次方的算数根。由此可见在古代,音乐的发展就与数学紧密地联系在了一起. 从那时起到现在, 随着数学和音乐的不断发展,人们对它们之间关系的理解和认识也在不断地加深.感觉的音乐中处处闪现着理性的数学.乐谱的书写离不开数学. 看一下乐器之王 钢琴的键盘吧,其上也恰好与斐波那契数列有关. 我们知道在钢琴的键盘上,从一个 C 键到下一个 C 键就是音乐中的一个八度音程（注：音程：两个音之间在音高上的关系 ）(如图1) . 其中共包括13 个键,有8 个白键和5 个黑键 ,而 5 个黑键分成 2 组 ,一组有 2 个黑键 ,一组有 3 个黑键.2、3、5、8、13 恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数. 图一 见到了斐波那契数列在音乐中的应用，我们再来看看黄金分割。提到黄金分割，就不得不提到匈牙利作曲家贝拉 .巴托克那样利用黄金分割作的弦乐、打击乐与钢片琴的音乐。 它一共有89个小节，被分为34，34，21这三个部分，然后前两部分都又分为21，13两部分，第三部分分为13，8两个部分。均为黄金比例。 除了可以用黄金分割作曲，也可以从纯粹的函数图像出发来作曲. 这正是数学家约瑟夫.傅里叶的后继工作。根据傅立叶定理，每个乐音都可以分解成一次谐波与一系列整数倍频率谐波的叠加。假设do的频率是 ，那么它可以分解成频率为 ， ， ， ，的谐波的叠加，即 ；同理，高音do的频率是 ，同样可以分解为频率为 ，的谐波的叠加，即 。这两列谐波的频率有一半是相同的，所以do和高音do是最和谐的。 傅立叶还发现每种声音都有三种品质，音调与曲线的频率有关、音量与曲线的振幅有关、音色与周期函数的形状有关。 这都是前人对于音乐与数学之间关联的探究，近日科学家们通过长时间的研究发现，音乐也具有令人惊讶的几何结构。科学家展示的一种音乐模型图形据称，这是一种全新的量化音乐的方法。这种方法可以分析和比较很多种西方音乐(或许一些非西方音乐)，因为该方法侧重于西方风格的音乐概念，像“和音”等音乐元素，并不是所有的音乐中都存在。这种方法可以对过去的音乐理论进行合并，使音乐融为数学的形式。研究者称，音乐的空间形式是清晰的，这种几何学的空间形式将帮忙人们更好地理解音乐，概念化的 音乐可以让你能够完成之前无法完成的事情。 音乐中出现数学与数学中存在音乐并非偶然，而是音乐与数学融合一体的完美体现。音乐可以抒发人们的情感，是对人们自己内心世界的反应和对客观世界的感触，因而是以一种感性的方式来描述世界，而数学是以一种理性的、抽象的方式来描述世界，使人类对世界有一个客观的、科学的理解