077.绳球系列专题

绳球系列问题吕叔湘中学庞留根2005年4月 例1例2例3例4例52000年上海例6例7例8例9例10例1197年全国24例1204年全国理综02年全国理综30例13 绳球系列问题 例1 如图所示 在竖直向下的匀强电场E中 长为L的绝缘细线一端固定在O点 另一端系一质量为m带 q电量的小球 已知qE mg 当把细线拉紧使小球位于与O点同一水平高度处 由静止释放 则小球到达最低点时细线对小球的拉力大小为 A qE mgB 2mg 2qEC 3mg 3qED mg 3qE C 例2 如图所示 小球A与小球B质量相等 两小球的摆长均为L 且悬挂于同一点O 现使小球A从摆角 900处由静止开始摆动 它摆至最低点时与小球B发生正碰 那么B球能摆动的最大高度可能是 A L 2B L 4C L 8D L 16 解 若发生弹性碰撞 交换速度 则由机械能守恒定律B球能摆动的最大高度为L 若发生完全非弹性碰撞 两球粘在一起 由动量守恒定律和机械能守恒定律 B球能摆动的最大高度为L 4 若发生非完全弹性碰撞 B球能摆动的最大高度介于L和L 4之间 AB 例3 如图所示 由于机器带动竖直轴转动 使长为l的轻绳拴着质量为m的小球在水平面做匀速圆周运动 轻绳的运动轨迹为圆锥曲面 开始绳与竖直方向的夹角为30 后来机器转动速度加大 使绳与竖直方向的夹角变为60 在此过程中 机器对小球做的功为多大 解 根据动能定理可求出机器对小球做的功 当 30 时mv12 mgltg30 sin30 当 60 时mv22 mgltg60 sin60 小球上升的高度h l cos30 cos60 W mgh EK 1 2 mv22 1 2 mv12 W 1 2 mgl tg60 sin60 tg30 sin30 mgl cos30 cos60 0 97mgl 如图示 M为悬挂在竖直平面内某一点O的木质小球 可以看作质点 悬线长为L 质量为m的子弹以水平初速v0射入球在中而未穿出 要使子弹射入小球后 小球能在竖直平面内运动 悬线始终不发生松弛 求子弹的初速度v0的大小应满足的条件 不计空气阻力 解 若小球能在竖直平面内作圆周运动 到最高点的速度为V m1V2 L m1g式中m1 M m 由机械能守恒定律1 2m1V2 m1g 2L 1 2m1V12 由动量守恒定律mv0 M m V1 若小球只能在下半个圆周内作摆动 1 2m1V22 m1gh m1gL 例4 例5 如图所示 A B两球间用长6m的细线相连 两球相隔0 8s先后从同一高度处以4 5m s的初速度平抛 则A球抛出几秒后A B间的细线被拉直 在这段时间内A球的位移是多大 不计空气阻力 g 10m s2 解 由平抛运动规律可得 xA v0tyA 1 2 gt2 xB v0 t 0 8 yB 1 2 g t 0 8 2 l2 xA xB 2 yA yB 2 代入数字得36 4 5 0 8 2 1 2 10 1 6t 0 64 2 解得t 1sxA v0t 4 5myA 1 2 gt2 5m sA2 xA2 yA2 4 52 52 45 25 sA 6 73m 一小球用轻绳悬挂在某固定点 现将轻绳水平拉直 然后由静止开始释放小球 考虑小球由静止开始运动到最低位置的过程 A 小球在水平方向的速度逐渐增大B 小球在竖直方向的速度逐渐增大C 到达最低位置时小球线速度最大D 到达最低位置时绳子的拉力等于小球重力 2000年上海 分析 小球释放后水平方向受力为绳拉力的水平分力 该力与水平分速度同方向 因此在水平方向上速度逐渐增大 A正确 在初始位置竖直速度为0 最低位置竖直速度也为0 在竖直方向上小球显然先加速运动 后减速运动 B错误 线速度即小球运动的合速度 小球位置越低 势能转化为动能就越多 速度也就越大 C正确 小球在最低位置时速度为水平速度 由于小球做圆周运动 绳拉力与球重力的合力提供向心力 即D错误 AC 例6 如图示 支架质量为M 始终静止在水平地面上 转轴O处用长为l的线悬挂一个质量为m的小球 1 把线拉至水平后静止释放小球 当小球运动到最低处时 水平面对支架的支持力N为多大 2 若使小球在竖直平面内做圆周运动 对小球运动到最高点处时 支架恰好对水平地面无压力 则小球在最高点处的速度v为多大 解 1 对小球 由机械能守恒定律1 2mv12 mgl 最低点处 T mg mv12 l T 3mg 对支架受力如图示N Mg T M 3m g 2 小球运动到最高点处时 支架恰好对水平地面无压力 则支架受到球向上的拉力T1 Mg 对小球 T1 mg mv2 l 例7 如图所示 长为L的轻绳一端系于固定点O 另一端系一质量为m的小球 将小球从O点正下方L 4处 以水平初速度向右抛出 经一定时间绳被拉直 以后小球将以O为支点在竖直平面内摆动 已知绳刚被拉直时 绳与竖直方向成60 角 求 1 小球水平抛出的初速度v0 2 在绳被拉紧的瞬间 支点O受到的冲量 解 小球被抛出后到绳拉紧前做平抛运动 绳拉紧时 小球下落高度为h Lcos60 L 4 L 4 平抛运动时间 则小球抛出的初速度 2 绳拉紧前瞬间 小球竖直分速度 此时小球速度与竖直方向夹角为 60 则小球速度恰沿绳方向向外 绳拉紧时 使小球速度减为0 则绳对小球的冲量 则绳对支点为的冲量大小为 方向沿绳向外 注意绳拉紧瞬间重力 拉力 故忽略了重力对小球的冲量 例8 小球A用不可伸长的轻绳悬于O点 在O点的正下方有一固定的钉子B OB d 初始时小球A与O同水平面无初速释放 绳长为L 为使球能绕B点做圆周运动 试求d的取值范围 解 设BC r 若刚能绕B点通过最高点D 必须有 mg mvD2 r 1 由机械能守恒定律mg L 2r 1 2mvD2 2 r 2L 5 d L r 3L 5 d的取值范围3 5L d L 例9 如图质量为m的小球 由长为L的细线系住 细线的另一端固定在A点 AB是过A的竖直线 E为AB上的一点 且AE L 2 过E作水平线EF 在EF上钉铁钉D 若线能承受的最大拉力是9mg 现将小球悬线拉至水平 然后由静止释放 若小球能绕钉子在竖直面内作圆周运动 求钉子位置在水平线上的取值范围 不计线与钉子碰撞时的能量损失 解 设铁钉在D1 小球运动到C点时 悬线与竖直线夹角为 恰好能在竖直面内作圆周运动 CD1 r1 由牛顿定律 在P点 mg mvP2 r1 得vP2 gr1 由机械能守恒定律 从开始到P点 mg L 2 r1 1 2mvP2 1 2mgr1 r1 L 3AD1 L r1 2L 3 设设铁钉在D2 小球运动到K点时 悬线与竖直线夹角为 小球在最低点Q时恰好拉断 KD2 r2 在最低点Q时 由牛顿定律T mg mvQ2 r2 8mg 得到vQ2 8gr2 由机械能守恒定律 从开始到Q点 mg L 2 r2 1 2mvQ2 4mgr2 r2 L 6 AD2 L r2 5L 6ED2 2L 3 钉子位置在水平线上的取值范围为 钉子离A点的距离在2L 3到5L 6之间 钉子离E点的距离在0 44L到2L 3之间 例10 如图示 长为L的细线一端固定于O点 另一端系住一个质量为m的小球 把球拉到最高点A 细线竖直 以的速度将球水平抛出 求小球运动到最低点C时 细线中的张力大小是多少 解 设从A点平抛经过时间t运动到B点时细线拉直 x v0ty 1 2gt2 L y 2 x2 L2 解得x Ly L 即OB恰好处于水平位置 vBx v0vBy2 2gy 2gL vBx由于细线突然绷紧而减为0 由机械能守恒定律 从B到C点 1 2mvC2 1 2mvBy2 mgL vc2 4gL 在最低点C时 由牛顿定律TC mg mvC2 L TC 5mg 例11 如图所示 滑块A的质量m 0 01kg 与水平地面间的动摩擦因数 0 20 用细线悬挂的小球质量均为M 0 02kg且沿x轴均匀排列 A与第1只小球及相邻两小球间距离为x 2 0m 从左向右悬挂小球的线长分别为L1 L2 L3 图中只画出三只小球 且小球和滑块皆可视为质点 现有一质量m 0 01kg的玩具枪子弹以uo 20m s的速度水平射入滑块A中并留在滑块内一起沿x轴正方向运动 设滑块与小球碰撞时不损失机械能 且两者速度互换 碰撞后小球均恰好能在竖直平面内完成完整的圆周运动并再次与滑块正碰 g取10m s2 1 求子弹打入滑块内刚与滑块相对静止的瞬间 滑块和子弹的共同速度 2 子弹打入滑块后 滑块能与几个小球碰撞 3 求出碰撞中第n个小球悬线长Ln的表达式 解 1 由动量守恒定律mu0 2mvv 10m s 2 设滑块能滑行的距离为S 由动能定理 mgS 1 2mv2 S 100 4 25m n S x 12 5 滑块能与12个小球碰撞 3 第n个小球碰后要能做完整的圆周运动 在最高点的速度为v1有 mg mv12 Ln 从最高点到最低点 由机械能守恒定律 1 2mv12 2mgLn mvn2 vn2 5gLn 从相对A静止到第n次碰的过程 由动能定理 1 2mv2 mg2n 1 2mvn2 2 5mgLn Ln 50 4n 25 97年全国24 在方向水平的匀强电场中 一不可伸长的不导电细线的一端连着一个质量为m的带电小球 另一端固定于O点 把小球拉起直至细线与场强平行 然后无初速度释放 已知小球摆到最低点的另一侧 线与竖直方向的最大夹角为 如图所示 求小球经过最低点时 细线对小球的拉力 解 先分析受力 qE不可能向左 受力如图 过程 A C由动能定理 mglcos qEl 1 sin 0 过程 A B由动能定理 mgl qEl 1 2mv2 在B点 由圆周运动T mg mv2 l 例12 如图所示匀强电场方向竖直向下 场强大小为E 三个质量分别为m 2m 3m的小球A B C 其中B球带正电Q A C两球不带电 用绝缘线连接悬于O点 问 1 当三球均处于静止状态时 A B之间的细线的张力等于多少 2 当把OA段细线剪断的瞬间 A B之间的细线的张力又等于多少 解 1 对BC整体 受力如图 T1 5mg QE 2 剪断OA AB球一起下落 C自由下落 对AB整体受力如图 3mg QE 3ma a g QE 3m 对B2mg QE T2 2ma T2 QE 3 04年全国理综 一带正电的小球 系于长为l的不可伸长的轻线一端 线的另一端固定在O点 它们处在匀强电场中 电场的方向水平向右 场强的大小为E 已知电场对小球的作用力的大小等于小球的重力 现先把小球拉到图中的P1处 使轻线拉直 并与场强方向平行 然后由静止释放小球 已知在经过最低点的瞬间 因受线的拉力作用 其速度的竖直分量突然变为零 水平分量没有变化 则小球到达与P1点等高的P2点时速度的大小为 解见下页 B 解 小球受力如图示 qE mg 由静止释放小球 小球在合力作用下做匀加速直线运动 到最低点的速度为v 由动能定理得 因受线的拉力作用 速度的竖直分量vy突然变为零 从最低点起 小球将做圆周运动 到P2处的速度为vt 由动能定理得qEl mgl 1 2mvt2 1 2mvx2 02年全国理综30 27分 有三根长度皆为l 1 00m的不可伸长的绝缘轻线 其中两根的一端固定在天花板上的O点 另一端分别拴有质量皆为m 1 00 10 2kg的带电小球A和B 它们的电量分别为 q和 q q 1 00 10 7C A B之间用第三根线连接起来 空间中存在大小为E 1 00 106N C的匀强电场 场强方向沿水平向右 平衡时A B球的位置如图所示 现将O B之间的线烧断 由于有空气阻力 A B球最后会达到新的平衡位置 求最后两球的机械能与电势能的总和与烧断前相比改变了多少 不计两带电小球间相互作用的静电力 解 图1中虚线表示A B球原来的平衡位置 实线表示烧断后重新达到平衡的位置 其中 分别表示OA AB与竖直方向的夹角 A球受力如图2所示 由平衡条件 B球受力如图3所示 由平衡条件 联立以上各式并代入数据 得 0 45 由此可知 A B球重新达到平衡的位置如图4所示 题目 下页 与原来位置相比 A球的重力势能减少了 B球的重力势能减少了 A球的电势能增加了 B球的电势能减少了 两种势能总和减少了 代入数据解得 题目 上页 例13 质量m 带电量q的小球 用长为L的绝缘细线悬挂在O点 现在该区域加一竖直向下的匀强电场 场强为E 为使小球在运动中悬线不松驰 求 小球在最低点的速度应满足什么条件 解 1 若小球带正电 为使小球在运动中悬线不松驰 且刚能通过B点 小球的受力如图示 令g1 g