数学人教版九年级下册计算最值.doc

类型5探究平行四边形的存在性问题1(2014曲靖)如图，抛物线yax2bxc与坐标轴分别交于A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，D是抛物线顶点，E是对称轴与x轴的交点(1)求抛物线的解析式；(2)F是抛物线对称轴上一点，且tanAFE ，求点O到直线AF的距离；(3)点P是x轴上的一个动点，过P作PQOF交抛物线于点Q，是否存在以点O，F，P，Q为顶点的平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由解：(1)根据题意，得解得抛物线的解析式为yx22x3.(2)当x1时，y4.顶点D(1，4)AE1(3)2.又tanAFE.EF4.F(1，4)过点O作OHAF于点H.根据勾股定理得AF2，2OH34，OH.即点O到直线AF的距离为.(3)存在理由如下：若以点O，F，P，Q为顶点的平行四边形存在，则点Q(x，y)满足|y|EF|4.当y4时，x22x34，解得x12.Q1(12，4)，Q2(12，4)P1(2，0)，P2(2，0)当y4时，x22x34，解得x1.Q3(1，4)P3(2，0)综上所述，符合条件的点P有三个，即P1(2，0)，P2(2，0)，P3(2，0)2(2013昆明)如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA4，OC3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由题意知A(4，0)，C(0，3)，BC4，BC的中点坐标为(2，3)由对称性可知抛物线的顶点坐标为(2，3)设抛物线的解析式为ya(x2)23(a0)，将O(0，0)代入得0a(02)23，解得a.抛物线的解析式为yx23x.(2)设直线AC的解析式为ykxb.将A(4，0)，C(0，3)代入解析式可得解得直线AC的解析式为yx3.由解得抛物线与直线AC的交点为(1，)和(4，0)点D的坐标为(1，)(3)存在()若点M在x轴的上方如图1，过点D作DMx轴交抛物线于点M.DM2，要使A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，须有AN2.N1(2，0)，N2(6，0)()若点M在x轴的下方如图2，要使A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，须有|Dy|My|，且MNAD，My.点M在抛物线yx23x上，x23x，解得x12，x22，此时M3(2，)，M4(2，)当M3(2，)，M3N3AD，设直线M3N3的解析式为yxb，把M3(2，)代入解得b，直线M3N3的解析式为yx.令y0，解得x1，N3(1，0)当M4(2，)，M4N4AD，同理可得直线M4N4的解析式为yx.令y0，解得x1，N4(1，0)综上所述，满足条件的点N有四个：N1(2，0)，N2(6，0)，N3(1，0)，N4(1，0)3(2016云南省曲靖市罗平县二模)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，4)，C(2，0)三点(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S.求S关于m的函数解析式，并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线yx上的动点，判断有几个位置能够使得点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标解：(1)设此抛物线的函数解析式为yax2bxc(a0)，将A(4，0)，B(0，4)，C(2，0)三点代入函数解析式得解得此函数解析式为yx2x4.(2)连接OM.M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，M点的坐标为(m，m2m4)SSAOMSOBMSAOB4(m2m4)4(m)44m24m(m2)24.4m0，当m2时，S有最大值，为S484.(3)设P(x，x2x4)当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQOB，且PQOB，Q的横坐标等于P的横坐标又直线的解析式为yx，则Q(x，x)由PQOB，得|x(x2x4)|4，解得x10(舍)，x24，x322，x422.当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP4.四边形PBQO为平行四边形，则BQOP4，Q横坐标为4，代入yx得出Q为(4，4)由此可得Q(4，4)或(22，22)或(22，22)或(4，4)4(2015云南省红河州二模)如图，抛物线交x轴于点A(2，0)，点B(4，0)，交y轴于点C(0，4)(1)求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；(2)若直线yx交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC.试判断EBC的形状，并加以证明；(3)设P为直线MN上的动点，过P作PFED交直线MN下方的抛物线于点F.问：在直线MN上是否存在点P，使得以P，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设所求的抛物线解析式为yax2bxc(a0)，点A，B，C均在此抛物线上，解得所求的抛物线解析式为yx2x4，即y(x1)2.顶点D的坐标为(1，)(2)EBC的形状为等腰三角形证明：直线MN的函数解析式为yx，ON是BOC的平分线B，C两点的坐标分别为(4，0)，(0，4)，COBO4.MN是BC的垂直平分线CEBE，即ECB是等腰三角形(3)存在理由：PFED，要使以P，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形，只要使PFED.点E是抛物线的对称轴和直线yx的交点，E点的坐标为(1，1)ED1().点P是直线上的动点，设P点的坐标为(k，k)则直线PF的函数解析式为直线xk，点F是抛物线和直线PF的交点，F的坐标为(k，k2k4)PFk(k2k4)k24.k24，即k1.当k1时，点P的坐标为(1，1)，F的坐标为(1，)，此时PF与ED重合，不存在以P，F，D，E为顶点的平行四边形；当k1时，点P的坐标为(1，1)，F的坐标为(1，)，此时，四边形PFDE是平行四边形5(2016云南模拟四)如图，已知抛物线yax2bx4(a0)与x轴交于A(2，0)，B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线x1.(1)直接写出抛物线的解析式：yx2x4；(2)把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为A，C，当C落在抛物线上时，求A，C的坐标；(3)除(2)中的点A，C外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E，F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出E，F的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)A(2，0)，对称轴为直线x1，B(4，0)把A(2，0)，B(4，0)代入抛物线的解析式得解得抛物线的解析式为yx2x4.(2)由抛物线yx2x4可知C(0，4)抛物线的对称轴为直线x1，根据对称性，C(2，4)A(0，0)(3)存在设F(x，x2x4)以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形若AC为平行四边形的边，如图1所示，则EFAC且EFAC.过点F1作F1Dx轴于点D，则易证RtAOCRtE1DF1，DE12，DF14.x2x44，解得x11，x21.F1(1，4)，F2(1，4)E1(3，0)，E2(3，0)若AC为平行