上海交通大学2016计算方法期末复习提纲

复习 第一章绪论及误差估计 误差的来源 分类 误差的估计 绝对误差 绝对误差限相对误差 相对误差限有效数字和 差 积 商的误差数值计算 近似计算 的基本原则 第2章非线性方程求根 非线性方程求根的基本步骤 判断根存在性有根区间的隔离根的精确化二分法求根基本原理误差估计 简单迭代法迭代原理迭代格式的收敛性判断收敛速度的度量Newton迭代法原理算法步骤 收敛的阶手工计算 newton迭代法的改进重根时的改进避免求一阶导数的改进 弦截法 第3章线性方程组求解 线性方程组的求解方法 直接法迭代法直接法 各种方法的适用条件 手工计算 Guass顺序消元法适用条件 系数矩阵A是严格对角占优的矩阵顺序阶主子式为正算法步骤 列主元Gauss消元法 选主元的必要性算法的改进Gauss Jordan消元法思想 方法Gauss Jordan消元法的应用 求矩阵的逆矩阵三角分解法Doolittle分解 Crout分解 追赶法适用于 三对角方程组实质 作Crout分解改进平方根法适用条件 对称正定矩阵计算量减半 迭代法 向量与矩阵的范数 向量范数 1 范数 2 范数 范数矩阵范数 算子范数 1 范数 2 范数 范数矩阵的谱半径 A A 若矩阵A对某个算子范数满足 A 1 则必有 I A可逆 矩阵的条件数 cond A A A 1 迭代法原理及收敛条件 求解Ax b 充分条件 x Bx f B 1充要条件 x Bx f B的谱半径 B 1Jacobi迭代 公式 x Jx f 其中 J I D 1A f D 1b 收敛的条件 充要条件 J 1充分条件 J 1Ax b的系数矩阵A 非迭代矩阵J 严格对角占优会手工计算 第4章插值法 插值的基本概念 插值条件 插值点插值多项式插值多项式的存在 唯一性 故Ln x 与Nn x 等价Lagrang插值多项式 构造余项线性插值 抛物插值公式及其截断误差 Newton插值差商及其性质 对称性Newton插值公式的构造 步骤估算某点的近似值 Nn x f x0 f x0 x1 x x0 f x0 x1 xn x x0 x x1 x xn 1 Hermit插值基本思想插值多项式的构造方法Lagrange型构造法 基函数构造法 Newton型构造法 重节点的差商 了解高次插值会产生Runge现象 解决办法 分段低次插值 了解三次样条插值的基本原理 第5章最小二乘法与曲线拟合 最小二乘原理及正规方程组的构造 计算 多项式拟合 y a0 a1x amxm 1 对应的正规方程组 CTCa CTy解之即得 1 的最小二乘解 一般曲线拟合利用最小二乘原理求矛盾方程组的最小二乘解 会计算 Ax b的最小二乘解为 ATAx ATb 第6章数值积分 基本概念 数值积分 机械求积公式 的一般形式求积公式的代数精度 计算 证明 插值型求积公式 插值求积公式的构造方法 n 1积分结点的插值型求积公式至少具有n次代数精度n 1个积分结点构造n阶Newton Cotes积分公式 若n为偶数则具有n 1次代数精度Newton cotes公式的构造重点掌握 梯形公式Simpson公式 复化积分原理复化梯形积分 复化Simpson积分 计算 Romberg积分公式是外推公式 由复化梯形积分3次外推得到 Gauss积分 n个积分结点的Gauss求积公式可达2n 1次代数精度 重点例题 习题 第一章 例 1 1 1 2 1 14 习题 2 8 17第二章 例 2 3 2 5 2 15 第三章 例 3 29习题 1 分别用高斯顺序消元法 列选主元高斯消元法 杜利特尔分解法 克劳特分解法 雅可比迭代