凸函数及其应用论文.doc

凸函数及其应用摘要：本文描述了凸函数的定义、判定、引理以及凸函数的基本不等式Jensen不等式，讨论了凸函数在高中数学、大学数学以及在竞赛数学中的应用。关键字：凸函数； 定义； 判定；引理； Jensen不等式； 应用1、凸函数的定义。定义1 设是定义在区间上的函数，如果对上的任意两点，都有则称为上的凸函数。如果成立不等式则称为上的严格凸函数。如果成立不等式则称为上的凹函数。显然，若为区间上的凹函数，则就是区间上的凸函数。由定义1 可以看到，关于区间上的凸函数有着明显的几何意义：曲线一条弦的中点必在该曲线之上方或在该曲线上，如下图：O 定义2 设函数 在区间上有定义，若，有则称在区间是凸函数。2、凸函数的判定。定理 设在上二阶可导，则在上是凸函数的充分必要条件是。3、凸函数的一个引理。区间上的函数是一个凸函数的充分必要条件为：对区间中任意三点，当时有。4、凸函数的一个基本不等式Jensen不等式。定理 设是区间I 上的凸函数，则对I中任意几个数成立不等式当且仅当时取等号。5、凸函数的应用。在解题中巧妙地利用凸函数的定义、引理、及其基本不等式，可以使一些复杂的问题简单化，使难的问题迎刃易解。5.1凸函数定义及Jensen不等式在高中基础数学中的应用。例1. 如果则证明 令则，则在为凸函数。由凸函数的定义1可得即 即 所以原题得证。例2. 如果则。证明 令则，因为，所以，即 ，所以为凸函数。由凸函数的定义1，可得即 即 所以原题得证。例3. 已知且满足，求的最大值。解 令，则，由于，则，所以，所以为凸函数。由Jensen不等式有即 即 即 所以 当时，取得最大值50。例4. 已知，求证:。证明 令，有所以，所以在上为凸函数。由Jensen不等式可得即 即 即 即 所以原题得证。5.2凸函数定义、引理及Jensen不等式在大学数学中的应用。5.2.1 凸函数定义、引理及Jensen不等式在积分中的应用。例1. 设在上连续，且证明证明 令，对于，令或，即有或，所以有 （1）或 （2）（1）+（2）得 =所以有 又因为，所以在上为凸函数，则有所以有 即 所以原题得证。例2. 设函数二阶可导，且，又为任意一个连续函数，证明不等式。证明 因为可积，故将区间分作n等分，并取。因为所以为凸函数，由Jensen不等式有即有 （1）由于可导，则连续，对（1）式两边令，得所以，由定积分定义，得所以原题得证。例3. 设为上的一个凸函数，令，则是上的一个递增函数。证明 设，因为为上的一个凸函数，则得也是上的一个凸函数，于是，当时，由引理得即 即 又 所以 （1）对（1）式两边同时除以 得即即，所以，又因为，所以是上的一个递增函数。5.2.2 凸函数凸函数定义、引理及Jensen不等式在数项级数的敛散性中的应用。例1 设是上的凸函数，且存在，则级数收敛，其中。证明 因为是上的凸函数，所以有即所以是上的单调函数。则 = =其中。因为是上的凸函数，所以有，所以在上为增函数，所以有，则即。所以，正项级数是收敛的。5.2.3 凸函数定义、引理及Jensen不等式在概率中的应用。例1 设是上一个凸函数，X是取值于上子集A的离散型随机变量，E表示期望，则。证明 对于X取值的个数归纳证明。首先两点分布简记注意到则。其中成立应用了的凸函数性质，现设X的值域A中元素个数为。时，不等式成立，则对元素个数为时，简记所以则有是一个概率分布，从而有所以有。 5.3 凸函数在竞赛数学中的应用。例1. 如果则。证明 令，因为，所以所以在上为凸函数。由Jensen不等式可得即 即 即 又因为为增函数，所以有即，所以原题得证。例2. 已知是满足的实数，试确定的最大值。解 令则，所以为上的凸函数。由题设有，由Jensen不等式可得即即 即 即 e(5e-16)所以有。以上不等式当且仅当时等号成立。由此可知此时。例3 且，求的最小值。解 令，则，。所以在上为凸函数。由凸函数的定义可得=即，所以的最小值为。例4 设若，则。证明 令则因为时有，所以当时，有，所以，所以为凸函数。由Jensen不等式有 即 （1）又因为则由（1）可得即 即 即 即 所以原题得证。例5 若是D上的凸函数，则对任意的，且，有。证明 令则，由是D上的凸函数，得从而有 （1） （2）由（1）可得即 （3）由（2）可得即 （4）由（3）、（4）可得所以，原题得证。例6 . 设且证明。证明 引入辅助函数因为故由定义可得，在内为严格凸函数，根据Jensen不等式可得即所以原题得证。例7 . 设数列证明 令，则有，所以为上的严格凸函数。由Jensen不等式可得即 即即即 即 （1） 令将其代入（1）得即 即 即 即 即 所以原题得证。从上述的例子中，可以体会到凸函数的威力，在证明或解不等式中，巧妙的运用凸函数的定义、引理、判定及Jensen不等式，可以使复杂的问题简单化，难的问题容易化。在证明过程中，关键是寻找合适的凸函数，如果不能直接找到，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到解题的目的。 参考文献：1 唐才祯， 等，凹凸函数在不等式证明中的巧用 百色学院学报2003年第3期2 岳贵鑫， 凸函数在证明不等式中的应用，电大理工2009年6月第2期3 狄雷，凸函数的性质及其应用，科教文汇2009年第9期4 王新奇，利用函数的凹凸性证明一类三角不等式，西安文理学院学报（自然科学版）2005年7月第8卷第3期5 恩波，高等数学，同济五版，同步精讲，学苑出版社,20076 齐民友，等， 微积分学习指导， 武汉大学出版社,20087 郭志梅，等，高等数学辅导及习题全解第五册上册，电子科技大学出版社,20068 陈传理，等，竞赛数学教程第二版，高等教育出版社，20059 毛文凤, 等，不等式的证明与解不等式，中国大百科全书出版社 ,200510 湖南师范大学数学奥林匹克研究所，奥赛经典，湖南师范大学出版社,2