平面及其方程

6 4平面及其方程 6 4 1平面方程 6 4 2两平面间的夹角 6 4 3点到平面的距离 一个平面的法向量有无穷多个 它们之间都是相互平行的 6 4 1平面方程 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就叫做该平面的法线向量 设平面 的一个法向量 且平面过点M0 x0 y0 z0 下面建立平面有 的方程 1平面的点法式方程 平面的点法式方程 平面 上任一点M x y z 的坐标都满足上面的方程 而当点M x y z 不在平面 上时 点M x y z 的坐标不满足该方程 设M x y z 是平面 上的任一点 6 15 例1设一平面过点M0 1 0 2 平面的法向量为 求此平面方程 解根据平面的点法式方程 得所求平面方程为 即 2平面的一般方程 由平面的点法式方程 反之 三元一次方程 表示一平面 这是因为 以上两式相减 得平面的点法式方程 为平面的一般方程 任取一组满足上述方程的数 则 显然方程 与此点法式方程等价 的平面 此方程称 因此方程 的 图形是法向量为 平面方程的几种特殊情况 1 D 0 平面通过坐标原点 2 A 0 平面平行于x轴 3 A B 0 平面平行于xoy面或垂直于z轴 4 A D 0 平面通过x轴 解 所求平面方程为 化简得 例2 求过三点 的平面方程 取 6 x 1 3 y 0 3 z 1 0 2x 3y 3z 3 0 例3 一平面 过两个点M1 1 5 1 及M2 3 2 2 且平行于y轴 求其方程 解 由于所求平面 与y轴平行 故其方程的形式 设为Ax Cz D 0 因为点M1和M2都在 上 其坐标 应当满足 的方程 将这两个点的坐标代入到这个方 方程中 得到 A C D 0 3A 2C D 0 解这个方程组 得 将这个结果代入到平面方程中 得 3x 2z 5 0 3平面的截距式方程 设平面为 将三点坐标代入得 将 代入所设方程得 通常取锐角 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角 6 4 2两平面间的夹角 设 由两向量夹角余弦公式有 特殊的 例4 解由两平面夹角的余弦公式得 求两平面x 4y z 2 0与2x 2y z 5 0的夹角 6 4 3点到平面的距离 设P0 x0 y0 z0 是平面Ax By Cz D 0外一点 求P0到平面的距离 在平面上任取P1 x1 y1 z1 则 于是得到点到平面距离公式 由于P1 x1 y1 z1 在平面上 故 Ax1 By1 Cz1 D 0 A x1 x0 B y1 y0 C z1 z0 Ax1 By1 Cz1 Ax0 By0 Cz0 Ax0 By0 Cz0 D 例5求点P0 1 2 3 到平面x 2y 2z 6 0的距离 解 由点到平面的距离公式得 3 练习1 练习2求通过 x轴和点 的平面方程 练习3 练习4 练习5 求平行于平面 而与三个坐 标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程 取法向量 化简得 所求平面方程为 解 练习1 练习2求通过 轴和点 的平面方程 解由于平面通过 轴 从而它的法线向量垂直 于是法线向量在 轴上的投影为零 又由平面通过 轴 它必须通过原点 因此可设这平面的方程为 代入所设方程并除以 得所求方程为 由平面过点 6 3 2 知 练习3 设平面为 由平面过原点知D 0 所求平面方程为 解 于是 练习4 设平面为 由所求平面与已知平面平行得 解 化简得 令 所求平面方程为 代入体积 于是 练习5 解 设所求平面得一个法线向量为 又因所求的平面垂直于已知平面 所以有