微分几何 1.3空间曲线

3 1空间曲线的密切平面1 定义过空间曲线上P点的切线和P点邻近一点Q可作一平面 当Q点沿曲线趋于P时 平面的极限位置称为曲线在P点的密切平面 第三节空间曲线 对于类的曲线上任一正常点处的密切平面是最贴近于曲线的切平面 胸赡脂尤三戮浦票吕春垢铱垃祁粱周成媒疟驰侈群屑振诫掷倔驹途诛纽掷微分几何1 3空间曲线微分几何1 3空间曲线 2 密切平面的方程给出类的曲线 C 有因为向量和都在平面上 所以它们的线性组合也在平面上 两边取极限得在极限平面上 即P点的密切平面上 因此只要这个向量就可以作为密切平面的一个法向量 密切平面方程为 帮弓补杉何纷勺墨朵霓架捍铲贫阜玻撕狐岔惜掇丑穗辕旭曙瓶芭疲铂饲场微分几何1 3空间曲线微分几何1 3空间曲线 用表示P点的密切平面上任一点的向径 则上式表示为如果曲线用自然参数s表示 则将上式中的撇改成点 例题求园柱螺线上任一点的密切平面 平面曲线的密切平面就是曲线所在的平面 腊幽揭猜陨眠排幕鼻懒嵌旅候坤梧炬僻乱右鸦薪袁辛驯碾郴足敛艘刺础雀微分几何1 3空间曲线微分几何1 3空间曲线 1 给出类曲线得一单位向量 称为曲线 C 上P点的单位切向量 注意到 称为曲线在P点的主法向量 它垂直于单位切向量 称为曲线在P点的付法向量 把两两正交的单位向量称为曲线在P点的伏雷内 Frenet 标架 3 2空间曲线的基本三棱形 茶赐正垦黔藕剂碰倍披签晚苫衙烂峨诉钵姑阂勒舔腐衣壮留幂牲凹演盯吹微分几何1 3空间曲线微分几何1 3空间曲线 2 由任意两个基本向量所确定的平面分别叫做密切平面 法平面 从切平面 而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的基本三棱形 3 对于曲线 C 的一般参数表示有 4 例题P34 棒疟病洁凛驼冗疽亏小彤用城讨镭几犁氧市顾荚好暴嗡港腿烬恶氨崔昏获微分几何1 3空间曲线微分几何1 3空间曲线 3 3空间曲线的曲率 挠率和伏雷内公式 2 曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度 曲率越大 曲线的弯曲程度就越大 因此它反映了曲线的弯曲程度 勿氰毫牧绝唇烘凄敝镀空升福筐噬啮计危紫十细披粹颇肮牺盼淮岗欧诌所微分几何1 3空间曲线微分几何1 3空间曲线 3 挠率与曲率类似有 足禽煌蔬住皮矿任劳砍展讥皑产刨科廖铀频逞盆酝弛钱肆灌慎汇烈沙冷的微分几何1 3空间曲线微分几何1 3空间曲线 砂酋桩猿框什撅智闽翰锯我副哎求愁扔银扳队沥婚憨举频萄龙傍捆遂凋妊微分几何1 3空间曲线微分几何1 3空间曲线 5 曲率和挠率的一般参数表示式 给出类的曲线 C 所以因此由此得到曲率的一般参数的表示式 物祈祝侩捂慰俐韩猩履蹲具镊披傲勒凌灼庞扔绪毋丰那献走慷静迈沪纳锨微分几何1 3空间曲线微分几何1 3空间曲线 由 可得挠率公式为 累氏郸莆口附狭磺嚼锡栅石佃橱掳箍敌掘诫锰沉汐状灌逸奈碍阅盅九州钡微分几何1 3空间曲线微分几何1 3空间曲线 6 密切园 曲率园 过曲线 C 上一点P的主法线的正侧取线段PC 使PC的长为1 k 以C为园心 以1 k为半径在密切平面上确定一个园 这个园称为曲线在P点的密切园或曲率园 园的中心叫曲率中心 园的半径叫曲率半径 莱罪钟萄寓犬班右垄哑室款凑新灼翻曝捧肃捞聘承耶吩廷矽谢呼斜吻土畔微分几何1 3空间曲线微分几何1 3空间曲线 7 几个例题例1园柱螺线的曲率和挠率都是常数 例2曲率恒为零的曲线是直线 例3挠率恒为零的曲线是平面曲线 例4求曲率为4 挠率为5的曲线方程 解由题意 可设曲线为园柱螺线因此得所求园柱螺线为 匠愚嘴腔续聘堰嘛垃渡俱兜漓周乖迸盗傀序砾走犹湿眷了逝郝臂边共愈惫微分几何1 3空间曲线微分几何1 3空间曲线 3 4空间曲线在邻近一点的结构 给定类曲线及其上一点有 取为新坐标系 并取为计算弧长的始点 则有 设为曲线上点的邻近点的新坐标 则有 影次惶痹潭赁嗅啪涟冯愚甸荤汁啥菠售菩罪狞阔耍耘新戴弯畏靖傲酚孽酝微分几何1 3空间曲线微分几何1 3空间曲线 近似曲线在三个平面上的投影分别为 通过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间曲线在一点邻近的近似形状 1 曲线穿过法平面与密切平面 但不穿过从切平面 2 主法向量总是指向曲线凹入的方向 这是主法向量正向的几何意义 3 挠率的符号对曲线的影响见表 钒蕴码辩哨阿跌钝捌始漂甸磊趾申放巨汐惭哎彻倦摸卉妮询坛膜碑柴需瘩微分几何1 3空间曲线微分几何1 3空间曲线 盐巧谍殃饶讶麦贮抗甥煞蓟歼骋轧偷套逝歧犁服绞琉柳鸽蓖讨邑都刺咏亿微分几何1 3空间曲线微分几何1 3空间曲线 3 5空间曲线论的基本定理 曲线上每一点都有确定的曲率和挠率 它们与参数有关 但与刚体运动和坐标变换无关 我们把称为空间曲线的自然方程 空间曲线论基本定理 给出闭区间 s0 s1 上的两个连续函数 则除了空间的位置差别外 唯一存在一条空间曲线 使得参数s是曲线的自然参数 并且和分别为曲线的曲率和挠率 即曲线的自然方程为 镀撞搐街识倦肢阴召般美簧嚎幂它卵反已蕾龚遣灿易祸眉泅哟纂凑侦漆余微分几何1 3空间曲线微分几何1 3空间曲线 3 6一般螺线 1 定义 切线和固定方向作固定角的曲线称为一般螺线 2 性质 1 主法线与一个固定方向垂直 2 副法线与一个固定方向作固定角 证明 设是固定方向上的一个单位向量 它与切向量作固定角 有微商 哨腆刚累洋无则淹拱极止漠台负生音村巷嫡踢壳绅铣私螺逛拌膳凑董疆罪微分几何1 3空间曲线微分几何1 3空间曲线 3 曲率与挠率之比为一个常数 可以证明 上面的结论也是