理论力学 第六章 弯曲应力

6 1概述 6 2剪力和弯矩 6 3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图 6 4载荷集度 剪力和弯矩间的关系 6 5平面刚架与曲梁内力 第六章弯曲内力 6 1概述 一 弯曲变形的概念 受力特点 作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线 变形特点 杆轴线由直线变为一条平面的曲线 主要产生弯曲变形的杆 梁 起重机大梁 1 弯曲实例 镗刀杆 车削工件 火车轮轴 楼房的横梁 阳台的挑梁 对称弯曲 若梁上所有外力都作用在纵向对称面内 梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲 非对称弯曲 若梁不具有纵向对称面 或梁有纵向对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲 对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时 梁的挠曲线与外力所在平面相重合 这种弯曲称为平面弯曲 受力特点 作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线 且都在梁的纵向对称平面内 通过或平行形心主轴上且过弯曲中心 变形特点 杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线 平面弯曲 平面弯曲 具有纵向对称面 外力都作用在此面内 弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线 常见弯曲构件截面 受弯构件的简化 梁的计算简图 梁轴线代替梁 将荷载和支座加到轴线上 吊车大梁简化实例 火车的轮轴 吊车大梁简化 均匀分布载荷简称均布载荷 非均匀分布载荷 梁支座类型与支座反力 a 滑 活 动铰支座 b 固定铰支座 c 固定端 二 载荷的简化 a 集中荷载 b 分布荷载 静定梁与超静定梁 静定梁 由静力学方程可求出支反力 如上述三种基本形式的静定梁 超静定梁 由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力 悬臂梁 简支梁 外伸梁 静定梁的基本形式 在竖直荷载作用下 图a b c所示梁的约束力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出 称为静定梁 超静定梁 图d e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定 称为超静定梁 一 弯曲内力的确定 截面法 例 已知 如图 F a l 求 距A端x处截面上内力 解 求外力 支座反力 FAX 0以后可省略不求 6 2剪力与弯矩 求内力 弯曲构件内力 剪力 弯矩 研究对象 m m截面的左段 若研究对象取m m截面的右段 1 弯矩 M构件受弯时 横截面上存在垂直于截面的内力偶矩 弯矩 2 剪力 Fs构件受弯时 横截面上存在平行于截面的内力 剪力 梁的横截面上位于横截面内的内力FS是与横截面左右两侧的两段梁在与梁轴相垂直方向的错动 剪切 相对应 故称为剪力 梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩是与梁的弯曲相对应 故称为弯矩 2 剪力 弯矩符号规定为使无论取横截面左边或右边为分离体 求得同一横截面上的剪力和弯矩其正负号相同 剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定 如图 1 剪力符号 使dx微段有左端向上而右端向下的相对错动时 横截面m m上的剪力为正 或使dx微段有顺时针转动趋势的剪力为正 使dx微段有左端向下而右端向上的相对错动时 横截面m m上的剪力为负 或使dx微段有逆时针转动趋势的剪力为负 当dx微段的弯曲下凸 即该段的下半部受拉 时 横截面m m上的弯矩为正 2 弯矩符号 当dx微段的弯曲上凸 即该段的下半部受压 时 横截面m m上的弯矩为负 例 求图 a 所示梁1 1 2 2截面处的内力 Fs1 A M1 图 b 2 截面法求内力 1 1截面处截取的分离体如图 b 示 解 1 确定支座反力 可省略 2 2截面处截取的分离体如图 c 图 a Fs2 B M2 图 c 从上面例题的计算过程 可以总结出如下规律 1 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力的代数和 左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引起正值的剪力 反之 则引起负值的剪力 左上右下 为正 左右段上的外力 2 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和 左顺右逆 为正 左右段上的外力 截面左侧梁上的外力对该截面形心的矩为顺时针转向 或右侧梁上的外力对该截面形心的矩为逆时针转向 为正 反之为负 剪力值 截面左侧 或右侧 所有外力的代数和 弯矩值 截面左侧 或右侧 所有外力对该截面形心的力矩代数和 左上右下为正 左顺右逆为正 掌握这个规律后 可以根据截面左侧 或右侧 梁上外力 来直接求出指定截面上的剪力与弯矩 如图所示的简支梁 试求1 1及C左右截面上的内力 解 1 求支座反力 得 2 求截面1 1上的内力 同理 对于C左截面 对于C右截面 负号表示假设方向与实际方向相反 求下图所示简支梁1 1与2 2截面的剪力和弯矩 解 1 求支反力 2 计算1 1截面的内力 3 计算2 2截面的内力 建议 求截面FS和M时 均按规定正向假设 这样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为正的剪力 如为负号则表明为负的剪力 对于弯矩正负号也作同样判断 控制截面 不能用一个函数表达的要分段 分段点为 集中力作用点 集中力偶作用点 分布力的起点 终点 反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式 6 3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图 弯矩图为正值画在x轴下侧 受拉侧 负值画在x轴上侧 剪力图和弯矩图 剪力图为正值画在x轴上侧 负值画在x轴下侧 以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置 以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩 这种图线分别为剪力图和弯矩图 显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图 符号可以不表示 例6 3图示简支梁受集度为q的均布荷载作用 试作梁的剪力图和弯矩图 解 1 求支反力 2 列剪力方程和弯矩方程 3 作剪力图和弯矩图 由剪力图与弯矩图可知 在靠近 支座的横截面上剪力的绝对值最大 在梁的中央截面上 剪力为0 弯矩最大 例6 4图示简支梁受集中荷载F作用 试作梁的剪力图和弯矩图 解 1 求支反力 2 列剪力方程和弯矩方程 由于集中力作用 两端方程不一样 需分两段列出 B AC段 CB段 3 作剪力图和弯矩图 B 在集中力F作用处 剪力图有突变 突变值为集中力的大小 弯矩图有尖角转折 讨论 由剪力图可见 在梁上的集中力 包括集中荷载和约束力 作用处剪力图有突变 这是由于集中力实际上是将作用在梁上很短长度 x范围内的分布力加以简化所致 若将分布力看作在 x范围内是均匀的 图a 则剪力图在 x范围内是连续变化的斜直线 图b 从而也就可知 要问集中力作用处梁的横截面上的剪力值是没有意义的 例图示简支梁在C点受矩为Me的集中力偶作用 试作梁的剪力图和弯矩图 解 1 求支反力 Me 2 列剪力方程和弯矩方程 剪力方程无需分段 弯矩方程 两段 AC段 CB段 3 作剪力图和弯矩图 b a时 发生在C截面右侧 集中力偶作用点处剪力图无影响 弯矩图有突变 突变值的大小等于集中力偶的大小 解 1 支反力 2 写出内力方程 例 画出梁的内力图 3 根据方程画内力图 2kN m 2kN m M x 6 4剪力 弯矩与荷载集度之间的关系 一 剪力 弯矩与分布荷载间的微分关系 1 支反力 2 内力方程 3 讨论如下 对dx段进行平衡分析 有 q x q x M x dM x Fs x dFs x Fs x M x dx A y 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小 q x M x dM x Fs x M x dx A y 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小 Fs x dFs x q Fs和M三者的微分关系 二 微分关系的应用 作Fs图和M图 用于定形 2 分布力q x 常数时 1 分布力q x 0时 无分布载荷 剪力图为一条水平线 弯矩图为一条斜直线 剪力图为一条斜直线 弯矩图为一条二次曲线 1 当分布力的方向向上时 剪力图为斜向上的斜直线 弯矩图为上凸的二次曲线 2 当分布力的方向向下时 剪力图为斜向下的斜直线 弯矩图为下凸的二次曲线 利用剪力 弯矩与分布荷载间积分关系定值 梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图所包围的面积 梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所包围的面积 积分关系 剪力 弯矩与外力间的关系 外力 无外力段 均布载荷段 集中力 集中力偶 FS图特征 M图特征 C F 水平直线 x FS FS 0 FS 0 x 斜直线 增函数 x x 降函数 x C Fs1 Fs2 Fs1 Fs2 F 自左向右突变 x Fs C 无变化 斜直线 曲线 自左向右折角 自左向右突变 M x M1 M2 FS FS FS FS 集中力作用处 集中力偶作用处 若某截面的剪力FS x 0 根据 该截面的弯矩为极值 重要特点 铰支座处如果无集中力偶时 弯矩为零 利用以上特征1 可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确 2 可以不建立剪力方程和弯矩方程 利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图 利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤 1 求支座反力 2 分段 确定剪力图和弯矩图的形状 3 计算控制点截面剪力和弯矩值 根据微分关系绘剪力图和弯矩图 控制点 端点 外力变化点和驻点 极值点 等 左端点 剪力图有突变 突变值等于集中力的大小 右端点 弯矩图有突变 突变值等于集中力偶的大小 解 1 确定支反力 可省略 AB BC 2 画内力图 q 0 M qa2 Fs 0 所以M图向负方向斜 q 0 所以Fs图向正方向斜 积分关系FsB FsA 0 MC MB 1 2qaa qa2 1 2qa2 MB MA qaa 0 qa2 解 求支反力 左端点A B点左 B点右 C点左 M的驻点 C点右 右端点D q a a a 组合梁 需拆开 以分析梁的受力 1 受力分析 特点 铰链传力不传力偶矩 与铰相连的两横截面上 M 0 FS不一定为零 2 画FS图 水平直线 3 画M图 直线 图中梁的约束力为 正确答案 例求图示外伸梁在截面1 1 2 2 3 3和4 4横截面上的剪力和弯矩 解 支反力为 截面1 1 截面2 2 截面3 3 截面4 4 左端点 剪力图有突变 突变值等于集中力的大小 右端点 弯矩图有突变 突变值等于集中力的大小 例绘制图示悬臂梁的剪力弯矩图解 1 确定支反力 左侧段 剪力图为一条水平线 弯矩图为一条斜直线 右侧段 剪力图为斜向上的斜直线 弯矩图为上凹的二次曲线 2 画内力图 例简支梁受力的大小和方向如图示 试画出其剪力图和弯矩图 解 1 确定约束力 求得A B二处的约束力FAy 0 89kN FBy 1 11kN 根据力矩平衡方程 2 确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面 即A C D E F B截面 3 建立坐标系建立FS x和M x坐标系 5 根据微分关系连图线 4 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值 并将其标在FS x和M x坐标系中 0 335 0 89kN 1 11kN 绘制剪力弯矩图1 确定约束力 2 确定控制面 即A B D两侧截面 3 从A截面左测开始画剪力图 7qa 4 qa 4 求出剪力为零的点到A的距离 B点的弯矩为 1 2 7qa 4 7a 4 81qa2 32 qa2 AB段为上凸抛物线 且有极大值 该点的弯矩为1 2 9qa 4 9a 4 81qa2 32 5 从A截面左测开始画弯矩图 例 改内力图之错 a 2a a q qa2 A B Fs x x M qa 4 qa 4 3qa 4 7qa 4 qa2 4 49qa2 32 3qa2 2 5qa2 4 例题试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图 解 确定约束力 从铰处将梁截开 qa 2 qa 2 qa MA 6 5平面刚架和曲杆的内力图 平面刚架 轴线由同一平面折线组成的刚架 特点 刚架各杆横截面上的内力有 Fs M FN 1 刚架 用刚性接头连接的杆系结构 刚性接头的特点 约束 限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移 受力 既可传力 也可传递力偶矩 2 平面刚架内力图规定 弯矩图 画在各杆的受拉一侧 不注明正 负号 剪力图及轴力图 可画在刚架轴线的任一侧 但须注明正 负号 3 平面曲杆 轴线为一条平面曲线的杆件 4 平面曲杆内力图规定 弯矩图 使轴线曲率增加的弯矩规定为正值 反之为负值 要求画在曲杆轴线的法线方向 且在曲杆受拉的一侧 剪力图及轴力图 与平面刚架相同 内力分析 1 外力分析 2 建立内力方程 BC段 AB段 3 画内力图 弯矩图画法 与弯矩对应的点 画在所在横截面弯曲时受拉一侧 弯矩图特点 如刚性