巧用面积法 妙解几何题ppt课件

巧用面积法妙解几何题 人教版八年级数学上册映山中学严正霞 何谓面积法 在求解平面几何问题的时候 根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系 用面积或面积之间的关系表示有关线段间的关系 从而把要论证的线段之间的关系转化为面积的关系 并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法 称之为面积法 抓住面积不但能把平面几何知识变得更容易学 而且使几何问题变得更简捷 更有趣味 温故知新 填空 1 若 ABC DEF 且 ABC的面积为25 则 DEF的面积为 2 已知AD为 ABC的中线 则S ABD与S ACD的大小关系为 3 1 平行四边形ABCD的一条对角线AC把它分成两个三角形 ABC ADC 则S ABC与S ADC的大小关系为 2 平行四边形ABCD的边AD上有一点E 连结EB EC 则S EBC与S平行四边形ABCD的关系为 4 已知直线a b 点M N为b上两点 点A B为a上两点 连结AM AN BM BN 则S AMN与S BMN的大小关系为 25 S ABD S ACD S ABC S ADC S ABD 1 2S平行四边形ABCD S AMN S BMN 用面积法解几何问题常用到下列性质 全等三角形的面积相等 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分 平行四边形的对角线把其分成面积相等的两部分 三角形的面积等于同底 或等底 等高的平行四边形的面积的一半 同底 或等底 等高的三角形面积相等 例题讲解 证线段相等例1 已知 ABC中 A为锐角 AB AC BD AC于D CE AB于E 求证 BD CE 分析 此题运用三角形全等可以解决 但考虑到有 高 不妨用面积法来试试 可用S ABC 1 2AB CE 1 2AC BD来完成 证明 ABC中 BD AC于D CE AB于E S ABC 1 2AB CE 1 2AC BD又AB AC BD CE 变式训练 1 已知 等腰 ABC中 AB AC D为底边BC的中点 DE AB DF AC 垂足分别为E F 求证 DE DF 分析 此题用三角形全等可完成 但题中出现两条 垂线段 可考虑面积法 连接AD 则S ABD S ACD 由AB AC 可得DE DF 2 平行四边形ABCD中 BE AC于E DF AC于F 求证 BE DF 变式训练 分析 此题可以用平行四边形和全等三角形的知识解决 但出现两条 垂线段 且都垂直于同一条线段 可考虑面积法 根据S平行四边形ABCD 2S ABC 2S ADC可得证 证线段的和差关系例2 1 已知 ABC中 AB AC P为底边BC上一点 PD AB于D PE AC于E BF AC于F 求证 PD PE BF 分析 此题可构造矩形来证明 但较麻烦 考虑到题中有三条 垂线段 可尝试面积法 连接AP 根据S ABC S ABP S ACP 结合AB AC 可得证 证明 BF AC于F S ABC 1 2AC BF PD AB于D PE AC于E S ABP 1 2AB PD S ACP 1 2AC PE S ABC S ABP S ACP 1 2AC BF 1 2AB PD 1 2AC PE AB AC PD PE BF 2 若P为 ABC的底边BC的延长线上一点 其他条件不变 则 1 中的结论仍然成立吗 若成立 请说明理由 若不成立 请写出正确的结论 并证明 分析 虽然题目条件发生了变化 但思路不变 方法不变 还是用面积法 连接AP 根据S ABC S ABP S ACP 结合AB AC 可得到正确的结论 PD PE BF 证明 BF AC于F S ABC 1 2AC BF PD AB于D PE AC于E S ABP 1 2AB PD S ACP 1 2AC PE S ABC S ABP S ACP 1 2AC BF 1 2AB PD 1 2AC PE AB AC PD PE BF 3 1 已知等边 ABC内有一点P PD AB PE BC PF CA 垂足分别为D E F 又AH为 ABC的高 求证 PD PE PF AH 变式训练 分析 考虑到题中出现了三条 垂线段 和一条 高 可尝试面积法 连结PA PB PC 根据S ABC S ABP S BCP S ACP 由AB BC AC 可得证PD PE PF AH 2 若P是等边 ABC外部一点 其他条件不变 1 中的结论仍然成立吗 若成立 请说明理由 若不成立 请写出正确的结论 并说明理由 分析 此题的条件虽然发生了变化 但是思路 方法不变 还是应用面积法 连结PA PB PC 根据S ABC S ABP S ACP S BCP 由AB BC AC 可得正确结论 PD PF PE AH 证角相等例3 点C是线段AB上一点 分别以AC BC为边在AB同侧作等边 ACD和等边 BCE 连接BD AE交于O点 再连接OC 求证 AOC BOC 分析 要证 AOC BOC 可证点C到AO BO的距离相等 如此就要过C点作CP AE于P CQ BD于Q 证CP CQ 可考虑面积法 证 ACE DCB 则有S ACE S DCB且AE BD 可得CP CQ P Q 证明 过点C作CP AE于P CQ BD于Q ACD BCE是等边三角形 AC DC EC BC ACD ECB 60 ACE DCB 120 ACE DCB S ACE S DCB AE BD CP CQ OC平分 AOB 即 AOC BOC 变式训练 4 在平行四边形ABCD的两边AD CD上各取一点E F 使AF CE 且AF与CE交于点P 连接BP 求证 BP平分 APC 分析 要证BP平分 APC 可证点B到AP CP的距离相等 故过B作BG AF于G BH CE于H 连接BF BE 由于AF CE 只要S ABF S BCE即可 而S ABF S BCE 1 2S平行四边形ABCD 所以BG BH 命题得证 课堂小结 面积法是平面几何中论证线段关系的一种较简单的数学方法 使用面积法的前提是 题中要有 垂线段 若没有 垂线段 则要结合角平分线的性质或判定构造 垂线段 使用面积法解题的关键在于 抓住图形之间的面积关系 进而利用面积公式转化为线段关系 课后练习 1 Rt ABC中 BAC 90 AB 3 M为边BC上一点 连接AM 若将 ABM沿直线AM翻折后 点B恰好落在边AC的中点B 处 那么点M到AC的距离是 2 ABC中 AB AC A 120 BC 6 PE AB于E PF AC于F 则PE PF 3 ABC中 AB AC BD和CE分别为AC AB上的高 求证 BD CE 4 以 ABC的边AB AC为边长 在BC的同侧作正方形ABEF和正方形ACGH 连接FH 过点A作AD BC于D 延长DA交FH于点M 求证 FM HM 5 设E是 ABC的角平分线AD上一点 连接EB EC 过C作CF BE交AB的延长线于F 过B作BG EC交AC的延长线于G 求证 BF CG 提示 S BEF S BEC S CEG 6 在 ABC中 AD是 BAC的平分线