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24 1 2垂径于弦的直径 问题 你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶 它的主桥是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗 赵州桥主桥拱的半径是多少 问题情境 把一个圆沿着它的任意一条直径对折 重复几次 你发现了什么 由此你能得到什么结论 可以发现 圆是轴对称图形 任何一条直径所在直线都是它的对称轴 活动一 如图 AB是 O的一条弦 做直径CD 使CD AB 垂足为E 因为圆是轴对称图形 以直径CD为对称轴把 O折叠 你能发现图中有那些相等的线段和弧 为什么 O A B C D E 活动二 相等线段 AE BE 弧 AC BC AD BD 把圆沿着直径CD折叠时 CD两侧的两个半圆重合 点A与点B重合 线段AE与BE重合 弧AC与弧BC重合 弧AD与弧BD重合 O A B C D E 结论 AE BE AD BD AC BC 即直径CD平分弦AB 并且平分AB和ACB 议一议 推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说 如果具备 1 过圆心 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所对的优弧 5 平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论 注意 解得 R 27 9 m 解决求赵州桥拱半径的问题 在Rt OAD中 由勾股定理 得 即R2 18 72 R 7 2 2 赵州桥的主桥拱半径约为27 9m OA2 AD2 OD2 如图 用AB表示主桥拱 设AB所在圆的圆心为O 半径为R 经过圆心O作弦AB的垂线OC D为垂足 OC与AB相交于点D 根据前面的结论 D是AB的中点 C是AB的中点 CD就是拱高 AB 37 4mCD 7 2m 1 如图 在 O中 弦AB的长为8cm 圆心O到AB的距离为3cm 求 O的半径 O A B E 练习 解 答 O的半径为5cm 活动三 在RtAOE中 2 如图 在 O中 AB AC为互相垂直且相等的两条弦 OD AB于D OE AC于E 求证四边形ADOE是正方形 证明 四边形ADOE为矩形 又 AC AB AE AD 四边形ADOE为正方形 巩固训练 判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中 如果一条直线经过圆心且平分弦 必平分此弦所对的弧 1 1 在直径是20cm的 O中 AB的度数是60 那么弦AB的弦心距是 2 弓形的弦长为6cm 弓形的高为2cm 则这弓形所在的圆的半径为 小结 通过本节课的学习 你掌握了哪些知识 本节课学习的数学知识是圆的轴对称性和垂径定理及其推论
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