高中数学第二讲五与圆有关的比例线段成长学案新人教A版选修.docx

五 与圆有关的比例线段主动成长夯基达标1.点C在O的弦AB上,P为O上一点,且OCCP,则（）A.OC2CACBB.OC2PAPBC.PC2PAPBD.PC2CACB思路解析:根据OCCP,可知C为中点;再由相交弦定理即有PC2CACB.答案:D2.如图2-5-10,点A是半圆上一个三等分点,点B是弧AN的中点,点P是直径MN上一动点,O的半径为1,则AP +BP的最小值为()图2-5-10A.1B.C.D.思路解析:过点B作BBMN,交O于点B,连结AB交MN于点P,此时点P使AP +BP最小.易知B与B点关于MN对称,依题意AON=60,则BON =BON =30,所以AOB=90,AB=OA2+OB2=2.故PA +PB的最小值为.答案:D3.如图2-5-11,已知AB是半圆的直径,直线MN切半圆于C,BDMN于D.求证:BC2BDAB.图2-5-11思路分析:简单型的比例线段问题,主要是证两个三角形相似.这样,如何证得两个三角形相似,就成为关键问题,可以利用两角对应相等,也可以利用一角相等,夹边对应成比例.证明:连结AC.AB是直径,ACB90.又BDMN,BDC90.ACBCDB.又MN切O于C,DCBA.ACBCDB.ABCBCBBD.则BC2BDAB.4.如图2-5-12,以O上的一点A为圆心作A,分别交O于B、C,过A作弦AF交公共弦于E,交A于D.求证:AD2AEAF.图2-5-12思路分析:由于本题要证的成比例的四条线段在同一条直线上,因此不存在相似三角形,所以必须转移其中一条或两条,以构成两个能够相似的三角形,注意到同圆半径相等的性质,所以将AD换成AB,通过等线段代换,可以达到目的.证明:分别连结AB、AC、BF.ABAC,AB =AC.ABCF.又BAF为公共角,ABEBFA.AB2AEAF.ABAD,AD2AEAF.5.如图2-5-13,PA切O于A,割线PBC交O于B、C两点,D为PC的中点,连结AD并延长交O于E,已知BE2DEEA,图2-5-13求证:（1）PAPD;（2）BP2ADDE.思路分析:（1）中因为PA与PD在同一个三角形中,所以可以通过说明两角相等解决问题;（2）中则运用切割线定理转换线段.证明:(1)连结AB,证明BEDAEB得DBEDAB.又可证PADADP,PAPD.(2)PA2PBPC且PD CD ,PA PD,PD2PBPB+BD.PBBD.又BDCDADDE,可证得结论,且PD CD.6.如图2-5-14,P为圆O外一点,PA、PB是圆O的两条切线,A、B为切点,OP与AB相交于点M,且点C是上一点.求证:OPC =OCM.图2-5-14思路分析:图形中有两条切线,故运用切割线定理得线段和角的关系,在RtOPB中运用射影定理,有OB2=OPOM,代换其中的OB为OC,可得三角形相似,即得角的相等关系.证明:连结OB,由切线长定理,得PA =PB,PMAB,PO平分APB.又PBOB,在RtOPB中,OB2=OPOM,OB=OC,OC2=OPOM,即=.OCPOMC.OPC =OCM.7.如图2-5-15,PA切O于A,PCB、PDE为O的割线,并且PDE过圆心O,已知BPA30,PA,PC1,求PD的长.图2-5-15思路分析:求PD,可使用割线定理PCPBPDPE,显然PA切O,PA2PCPB.可求得PB,但PE PD +DE,DE为O直径,所以求O的直径成为解题的关键.解:PA切O于A,PA2PCPB.又PBPC+BC,BC11.连结AO,并延长与O交于K,与CB交于G,则GAPA tanGPAPA tan302.又RtGPA中,GPA30,PG 2GA 4.CG 3,GB 8.由相交弦定理GCGB AGGK,可得GK12,直径为14.由割线定理有PCPBPDPE,得PD -7.8.如图2-5-16,PA为O的切线,A为切点,PBC为O的割线,若PA10,PB5,BAC的平分线与BC和O分别交于D、E.求ADAE的值.图2-5-16思路分析:由切割线定理PA2PBPC,由已知条件可得BC长.又通过ACEADB,得ADAECABA,从而求CA、BA的长即可.解:连结CE,PA2PBPC,PA10,PB5,PC20.BC15.又PA切O于A,PABACP,P为公共角.PABPCA.= =.BC为O的直径,CAB 90.AC2+AB2=BC2225.可解得, .但AE平分BAC,CAEEAB,ABCE.ACEADB.=.ADAEABAC.9.如图2-5-17,C为O直径AB的延长线上一点,过C作O的切线CD,D为切点,连结AD、OD和BD,根据图中所给的已知条件（不再标注或使用其他字母,也不再添加任何辅助线）,写出两个你认为正确的结论.图2-5-17思路分析:可通过勾股定理、直角三角形斜边上的中线定理、切线的性质定理以及弦切角定理、切割线定理来写结论.解:如:OD,CDOD,CDBBAD,CD2CBCA或OD2CD2CO2等.走近高考10.如图2-5-18,已知O1和O2相交于点A、B,过点A作O1的切线交O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交O1、O2于点D、E,DE与AC相交于点P.图2-5-18（1）求证:ADEC;（2）若AD是O2的切线,且PA6,PC2,BD9,求AD的长.思路分析:（1）连结AB,利用O1的弦切角BAC过渡来证明DE.（2）设BPx,PEy,利用相交弦定理和ADEC可以列出关于x、y的方程组,求出x、y,再用切割线定理求AD.（1）证明:连结AB.AC为O1的切线,BACD.又BACE,DE.ADEC.（2）解:设PB x,PE y,AP6,PC2,xy12.ADEC,=,即=.9x 3y.由解得.DE 9xy 16.AD为O2的切线,AD2DBDE 916.AD 12.11.如图2-5-19,已知PA为O的切线,PO交O于点B,BCPA于点C,交O于点D,图2-5-19(1)求证:AB2=PBBD.(2)若PA =15,PB =5,求BD的长.思路分析:(1)只需证PBAABD.(2)在(1)的基础上,只需求AB,因此寻找AB与BE的关系式,这可以通过相似三角形和勾股定理达到目的.(1)证明:连结AD,延长PO交O于E,连结AE.BCPA,P +PBC =90.BE为直径,BAE =90,BAD +DAE =90.DAE =DBE =PBC,P =BAD.又PAB =ADB,PBAABD.=,即AB2 =PBBD.(2)解:PA为切线,PA2=PBPE.又PA =15,PB =5,PE =45.BE =40.PBAPAE,= = =.设AB =x,则AE =3x.又AB2+AE2=BE2,x2+(3x)2=1 600,解得x2=160.代入AB2=PBBD,得BD=32.12.在直径为AB的半圆形区域内,划出一个三角形区域,使三角形的一边为AB,顶点C在半圆上,其他两边分别为6米和8米.先要建造一个内接于ABC的矩形水池DEFN,其中,DE在AB上,右图的设计方案是使AC =8米,BC =6米.图2-5-20（1）求ABC的边AB上的高h.（2）设DN =x,当x取何值时,水池DEFN的面积最大？（3）实际施工时,发现在AB上距B点1.85米的M处有一棵大树,问:这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果为保护大树,请设计出另外的方案,使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.思路分析:（1）利用三角形的面积,即斜边斜边上的高=两直角边的积;（2）求最值问题时,利用三角形