2020年中考数学一轮复习 基础考点及题型 专题24 相似形（含解析）

专题24 相似形考点总结【思维导图】 【知识要点】知识点一 相似图形及比例线段相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形：若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。特征：对应角相等，对应边成比例。比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段【基础题型】1（2019上海中考模拟）如果a：b3：2，且b是a、c的比例中项，那么b：c等于（）a4：3b3：4c2：3d3：2【答案】d【详解】解：a：b=3：2，b是a和c的比例中项，即a：b=b：c，b：c=3：2故选：d2（2019上海中考模拟）下列四条线段能成比例线段的是（）a1，1，2，3b1，2，3，4c2，2，3，3d2，3，4，5【答案】c【解析】a选项中，因为1：12：3，所以a中的四条线段不是成比例线段；b选项中，因为1：23：4，所以b中的四条线段不是成比例线段；c选项中，因为2：2=3：3，所以c中的四条线段是成比例线段；d选项中，因为2：33：4，所以d中的四条线段不是成比例线段.故选c.3（2018安徽中考模拟）若xx+y=35，则xy等于 （ ）a32b38c23d85【答案】a【详解】根据比例的基本性质得：5x=3（x+y），即2x=3y，即得xy=32，故选a4（2019河北中考模拟）下列图案中花边的内外边缘（每个图形边缘等宽）所围成的图形不相似的是（）abcd【答案】d【详解】a、两个不等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故a选项不符合要求；b、两个等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故b选项不符合要求；c、两个正方形形状相同，符合相似形的定义，故c选项不符合要求；d、两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故d选项符合要求，故选d5（2019四川中考真题）若a:b=3:4，且a+b=14，则2a-b的值是（）a4b2c20d14【答案】a【详解】解：由a：b3：4a:b=3:4知，所以所以由a+b=14得到：，解得a=6所以b=8所以故选：a【考查题型汇总】考查题型一 利用平行线分线段成比例定理求线段长度1（2019上海中考模拟）如图，在abc中，d、e分别在边ab、ac上，de/bc，ef/cd交ab于f，那么下列比例式中正确的是()aafdf=debcbdfdb=afdfcefcd=debcdafbd=adab【答案】c【详解】a、efcd，debc，afdf=aeec，aeac=debc，ceac，afdfdebc，故本选项错误；b、efcd，debc，afdf=aeec，aeec=adbd，afdf=adbd，addf，dfdbafdf，故本选项错误；c、efcd，debc，debc=aeac，efcd=aeac，efcd=debc，故本选项正确；d、efcd，debc，adab=aeac，afad=aeac，afad=adab，addf，afbdadab，故本选项错误.故选c.2（2019上海中考模拟）如图，点d、e分别在abc的边ab、ac上，下列条件中能够判定debc的是（）aadab=debcbadbd=aeaccbdab=ceaedadae=abac【答案】d【详解】a由adab=debc，不能得到debc，故本选项不合题意；b由adbd=aeac，不能得到debc，故本选项不合题意；c由bdab=ceae，不能得到debc，故本选项不合题意；d由adae=abac，能得到debc，故本选项符合题意；故选d3（2019河北中考模拟）在abc中，点d、e分别在ab、ac上，如果ad2，bd3，那么由下列条件能够判定debc的是( )adebc23bdebc25caeac23daeac25【答案】d【详解】解：当addb=aeec或adab=aeac时,debd,即aeec=23或aeac=25.所以d选项是正确的.4（2017重庆中考模拟）如图，在abc中，点d，e，f分别是边ab，ac，bc上的点，debc，efab，且addb35，那么cfcb等于( ) a58b38c35d25【答案】a【解析】debc，efab，aeec=addb=35，aeec=bffc，bffc=35，cfbf=53，cfbf+cf=53+5，即cfbc=58.故选a.5（2018浙江省宁波市鄞州实验中学中考模拟）如图，在abc中，点d，e分别在ab，ac上，debc，已知ae=6，则ec的长是a4.5 b8 c. 10.5 d14【答案】b。【解析】debc，aeec=addb。又ae=6，addb=34，6ec=34ec=8。故选b。考查题型二 作平行线构造成比例线段的方法1（2018浙江中考模拟）如图，已知直线abc，直线m分别交直线a、b、c于点a、b、c，直线n分别交直线a、b、c于点d、e、f，若ab=2，ad=bc=4，则becf的值应该（）a等于13b大于13c小于13d不能确定【答案】b【解析】作ahn分别交b、c于g、h，如图，易得四边形aged、四边形ahfd为平行四边形，hf=ge=ad=4，直线abc，abac=bgch，即bgch=22+4=13，becf=bg+2ch+2=13ch+2ch+2=13（ch+2）+43ch+2=13+43ch+2，becf13故选：b2（2018广西中考真题）如图，ag：gd=4：1，bd：dc=2：3，则 ae：ec 的值是（ ）a3：2b4：3c6：5d8：5【答案】d【详解】如图，过点 d作 dfca 交 be于 f，dfcedfce=bdbc，而 bd：dc=2：3，bc=bd +cd，dfce=25，则 ce=52df，dfae，dfae=dgag，ag：gd=4：1，dfae=14，则 ae=4df，aece=4df52df=85，故选d3（2019山西中考模拟）如图，abc 中，bac90，abac，延长 ca 至点 d，使 adac，点 e 是 bc 的中点，连接 de 交 ab 于点 f，则 af：fb 的值为( )a12b23c22d223【答案】a【详解】解：过点ad作agbc，与de交于点gaddc=agec，agbe=affb， be=ce，affb=addc ac=ad， af：fb=1:2.故选：a.知识点二 相似三角形相似图形的概念：形状相同的图形叫做相似图形。相似图形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似用符号“”，读作“相似于”。相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（五）：斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似。相似三角形的性质：1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3.相似三角形的面积比等于相似比的平方相似三角形与实际应用：关键：巧妙利用相似三角形性质，构建相似三角形求解。【考查题型汇总】考查题型三 相似三角形的判定方法1（2019上海中考模拟）如图，在abc中，点d、e分别在abc的边ab、ac上，如果添加下列某个条件，不一定能使ade与abc相似，那么添加的这个条件是( )aaed=bbade=ccadac=aeabdadab=debc【答案】d【详解】解：a，当aedb时，adeabc(aaa)；故本选项不符合题意；b，当adec时，adeabc(aaa)；故本选项不符合题意；c, 当adacaeab时，adeabc(sas)；故本选项不符合题意；d，当adabdebc时，公共角不是夹角，不能推断adeabc；故本选项符合题意，故选d.2（2019上海中考模拟）如图，点d、e分别在abc的边ab、ac上，且de与bc不平行下列条件中，能判定ade与acb相似的是（）aadac=aeabbadae=abaccdebc=aeabddebc=adac【答案】a【详解】解:在ade与acb中，adac=aeab，且a=a，adeacb故选:a3（2019浙江中考模拟）如图，在abc中，点d，e分别在边ab，ac上，debc，若bd=2ad，则（）aadab=12baeec=12cadec=12ddebc=12【答案】b【解析】debc，adeabc，adab=aeac=debc，bd=2ad，adab=13，debc=13，aeec=12，故选a4（2019四川中考模拟）以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方形的顶点为顶点画三角形，则与abc相似的三角形图形为（）abcd【答案】a【解析】设每个小正方形的边长为1,则abc的各边长分别为：2, 2,10，同理求得：a中三角形的各边长为：2,1, 5，与abc的各边对应成比例，所以两三角形相似；故选a.5（2019广西中考真题）如图，abefdc，adbc，ef与ac交于点g，则是相似三角形共有（ ）a3对b5对c6对d8对【答案】c【详解】图中三角形有：aeg，adc，cfg，cba，abefdc，adbcaegadccfgcba共有6个组合分别为：aegadc，aegcfg，aegcba，adccfg，adccba，cfgcba故选：c6（2013浙江中考真题）已知a1b1c1，a2b2c2的周长相等，现有两个判断：若a1b1=a2b2，a1c1=a2c2，则a1b1c1a2b2c2；若a1=a2，b1=b2，则a1b1c1a2b2c2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）a正确，错误 b错误，正确 c，都错误 d，都正确【答案】d【解析】a1b1=a2b2，a1c1=a2c2，且a1b1c1与a2b2c2的周长相等，b1c1=b2c2。a1b1c1a2b2c2（sss）。故正确。a1=a2，b1=b2，a1b1c1a2b2c2。b1c1b2c2=a1b1c1的周长a2b2c2的周长=1。b1c1=b2c2。a1b1c1a2b2c2（asa）。故正确。综上所述，都正确。故选d。考查题型四 利用相似三角形的性质进行计算1（2018甘肃中考模拟）有一块直角边ab=3cm，bc=4cm的rtabc的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）a67b3037c127d6037【答案】d【解析】试题解析：如图，过点b作bpac，垂足为p，bp交de于qsabc=12abbc=12acbp，bp=abbcac=345=125deac，bde=a，bed=c，bdebac，deac=bqbp设de=x，则有：x5=125-x125，解得x=6037，故选d2（2019上海中考模拟）如图，已知abcd中，e是边ad的中点，be交对角线ac于点f，那么safe：s四边形fcde为( )a1：3b1：4c1：5d1：6【答案】c【详解】解：连接ce，aebc，e为ad中点，aebc=affc=12 fec面积是aef面积的2倍设aef面积为x，则aec面积为3x，e为ad中点，dec面积=aec面积=3x四边形fcde面积为5x，所以safe：s四边形fcde为1：5故选：c3（2019四川中考真题）如图abcd，f为bc中点，延长ad至e，使，连结ef交dc于点g，则（ ）a2：3b3：2c9：4d4：9【答案】d【详解】解：设，四边形abcd是平行四边形，点f是bc的中点，故选：d4（2019山东中考真题）如图，在abc中，ac=2，d为bc边上的一点，且cad=b若adc的面积为a，则abd的面积为（）a2ab52ac3ad72a【答案】c【详解】cad=b，acd=bca，acdbca，sacdsbca=acab2，即asbca=14，解得，bca的面积为4a，abd的面积为：4a-a=3a，故选：c5（2019江苏中考真题）若abcabc，相似比为1:2，则abc与abc的周长的比为（）a2:1b1:2c4:1d1:4【答案】b【详解】abcabc，相似比为1:2，abc与abc的周长的比为1:2故选：b6（2018黑龙江中考真题）两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么小三角形的周长为（ ）a14cmb16cmc18cmd30cm【答案】c【解析】由题可得，两个相似三角形的周长比等于相似比，也就是两个最短边的比为5:3，设两三角形周长分别为5xcm，3xcm，则，解得x=6，所以，即小三角形周长为18cm故选c7（2019云南中考模拟）如图，在平行四边形abcd中，点e在边dc上，de：ec=3：1，连接ae交bd于点f，则def的面积与baf的面积之比为（ ）a3：4b9：16c9：1d3：1【答案】b【详解】四边形abcd为平行四边形，dcab，dfebfa，de：ec=3：1，de：dc=3：4，de：ab=3：4，sdfe：sbfa=9：16故选b8（2011浙江中考真题）（11台州）若两个相似三角形的面积之比为14，则它们的周长之比为（ ）a12 b14 c15 d116【答案】a【解析】试题分析：根据相似三角形的性质，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，利用面积之比是1:4，求出相似比，然后再根据相似三角形的周长之比等于相似比，即可求出它们的相似比.两个相似三角形的面积之比是1:4，两个相似三角形的相似比是1:2.两个相似三角形的周长之比是1:2.故选择a.考查题型五 ；利用相似三角形的判定和性质求线段或角度1（2019湖南中考真题）如图，在平行四边形abcd中，连接对角线ac，延长ab至点e，使，连接de，分别交bc，ac交于点f，g(1)求证：bf=cf；(2)若bc=6，dg=4，求fg的长【答案】(1)证明见解析；(2)fg=2.【详解】(1)四边形abcd是平行四边形，adcd，ad=bc，ebfead，bfad=beea，be=ab，ae=ab+be，bfad=12，bf=12ad=12bc，bf=cf；(2)四边形abcd是平行四边形，adcd，fgcdga，fgdg=fcad，即fg4=12，解得，fg=22（2016山东中考模拟）如图，正方形abcd中，m为bc上一点，f是am的中点，efam，垂足为f，交ad的延长线于点e，交dc于点n（1）求证：abmefa；（2）若ab=12，bm=5，求de的长【答案】（1）见解析；（2）4.9【详解】（1）四边形abcd是正方形，ab=ad，b=90，adbc，amb=eaf，又efam，afe=90，b=afe，abmefa；（2）b=90，ab=12，bm=5，am=13，ad=12，f是am的中点，af=12am=6.5，abmefa，bmaf=amae，即56.5=13ae，ae=16.9，de=ae-ad=4.93（2019辽宁中考模拟）如图，在平行四边形abcd中，过点a作aebc，垂足为e，连接de，f为线段de上一点，且afeb(1)求证：adfdec(2)若ab4,ad33,ae3,求af的长.【答案】（1）见解析（2）af=23【详解】（1）证明：四边形abcd是平行四边形adbc abcdadf=ced b+c=180afe+afd=180,afe=bafd=cadfdec(2)解：四边形abcd是平行四边形adbc cd=ab=4又aebc aead在rtade中，de=ad2+ae2=(33)2+32=6 adfdecadde=afcd336=af4af=234（2017江苏中考模拟）如图，abc中，cd是边ab上的高，且（1）求证：acdcbd；（2）求acb的大小【答案】（1）证明见试题解析；（2）90【解析】（1）cd是边ab上的高，adc=cdb=90，acdcbd；（2）acdcbd，a=bcd，在acd中，adc=90，a+acd=90，bcd+acd=90，即acb=90 5（2013山东中考真题）如图，四边形abcd中，ac平分dab，adc=acb=90，e为ab的中点，（1）求证：ac2=abad；（2）求证：cead；（3）若ad=4，ab=6，求的值【答案】（1）见解析（2）见解析（3）acaf=74【详解】解：（1）证明：ac平分dabdac=cabadc=acb=90adcacbadac=acab即ac2=abad（2）证明：e为ab的中点ce=12ab=aeeac=ecadac=cabdac=ecacead（3）ceadafdcfeadce=afcfce=12abce=126=3ad=443=afcfacaf=74考查题型六 利用相似三角形测量河宽1（2019吉林中考模拟）如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度 ab 的长，他过 a、b 两点画两条相交于点 o 的射线，在射线上取两点 d、e ，使 odob=oeoa=13 ，若测得 de=37.2 米，他能求出 a、b 之间的距离吗？若能，请你帮他算出来；若不能，请你帮他设计一个可行方案【答案】可以求出a、b之间的距离为111.6米.【详解】解：odob=oeoa，aob=eod（对顶角相等），aobeod，deab=oeoa=13，37.2ab=13，解得ab=111.6米所以，可以求出a、b之间的距离为111.6米2（2018陕西中考真题）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点a，在他们所在的岸边选择了点b，使得ab与河岸垂直，并在b点竖起标杆bc，再在ab的延长线上选择点d竖起标杆de，使得点e与点c、a共线已知：cbad，edad，测得bc1m，de1.5m，bd8.5m测量示意图如图所示请根据相关测量信息，求河宽ab【答案】河宽为17米【详解】cbad，edad，cbaeda90，cabead，abcade，adab=debc，又ad=ab+bd，bd=8.5，bc1，de1.5，ab+8.5ab=1.51，ab17，即河宽为17米3（2019安徽中考模拟）为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点a，在近岸分别取点b、d、e、c，使点a、b、d在一条直线上，且adde，点a、c、e也在一条直线上，且de/bc.经测量bc=24米，bd=12米，de=40米，求河的宽度ab为多少米？【答案】河的宽度为18米【详解】解：设宽度ab为x米，de/bc，abcade，abad=bcde，又bc=24，bd=12，de=40代入得xx+12=2440，解得x=18，答：河的宽度为18米考查题型七 利用相似三角形测量物高1（2018陕西省西安高新第一中学初中校区中考模拟）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的c处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆cd，这时地面上的点e，标杆的顶端点d，舍利塔的塔尖点b正好在同一直线上，测得ec4米，将标杆cd向后平移到点c处，这时地面上的点f，标杆的顶端点h，舍利塔的塔尖点b正好在同一直线上（点f，点g，点e，点c与塔底处的点a在同一直线上），这时测得fg6米，gc53米请你根据以上数据，计算舍利塔的高度ab【答案】55米【详解】edceba，fhcfba,ghab=fgfa,dcba=ecea，又dc=hg，fgfa=ecea，即659+ac=44+ac，ac=106米，又 dcab=ecea，2ab=44+106，ab=55米.答：舍利塔的高度ab为55米2（2019芜湖市第二十九中学中考模拟）如图是小明设计利用光线来测量某古城墙cd高度的示意图，如果镜子p与古城墙的距离pd12米，镜子p与小明的距离bp1.5米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点c，小明眼睛距地面的高度ab1.2米，那么该古城墙的高度是？【答案】9.6米【详解】解：apbcpd，abpcdp，abpcdp，即：，解得：pd9.6（米）答：该古城墙的高度是9.6m3（2019广东中考模拟）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板def测量树的高度ab，他调整自己的位置，设法使斜边df保持水平，并且边de与点b在同一直线上，已知纸板的两条直角边de=0.4m，ef=0.2m，测得边df离地面的高度ac=1.5m，cd=8m，求树高【答案】树高为 5.5 米【详解】defdcb90，dd， defdcb dedc=efcb，de0.4m，ef0.2m，cd8m，0.48=0.2cb， cb4（m），abac+bc1.5+45.5（米）答：树高为 5.5 米.4（2019西安交通大学附属中学中考模拟）如图，河对岸有一路灯杆ab，在灯光下，小亮在点d处测得自己的影长df3m，沿bd方向从d后退4米到g处，测得自己的影长gh5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆ab的高度【答案】路灯杆ab高5.1m【详解】cdbf，abbf，cdab，cdfabf，cdabdfbf，同理可得egabghbh，dfbfghbh，3bd+359+bd，解得bd6，1.7ab33+6，解得ab5.1答：路灯杆ab高5.1m5（2018广西柳州八中中考模拟）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯d的高度如图，当李明走到点a处时，张龙测得李明直立身高am与其影子长ae正好相等，接着李明沿ac方向继续向前走，走到点b处时，李明直立时身高bn的影子恰好是线段ab，并测得ab1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高cd的长(结果精确到0.1 m)【答案】路灯的高cd的长约为6.1 m.【解析】设路灯的高cd为xm，cdec，bnec，cdbn，abnacd，bncd=abac，同理，eamecd，又eama，ecdcxm，1.75x=1.25x-1.75，解得x6.1256.1路灯的高cd约为6.1m6（2018陕西西北工业大学附属中学中考模拟）数学活动小组的小颖、小明和小华利用皮尺和自制的两个直角三角板测量学校旗杆mn的高度，如示意图，abc和abc是他们自制的直角三角板，且abcabc，小颖和小明分别站在旗杆的左右两侧，小颖将abc的直角边ac平行于地面，眼睛通过斜边ab观察，一边观察一边走动，使得a、b、m共线，此时，小华测量小颖距离旗杆的距离dn=19米，小明将abc的直角边bc平行于地面，眼睛通过斜边ba观察，一边观察一边走动，使得b、a、m共线，此时，小华测量小明距离旗杆的距离en=5米，经测量，小颖和小明的眼睛与地面的距离ad=1米，be=1.5米，（他们的眼睛与直角三角板顶点a，b的距离均忽略不计），且ad、mn、be均与地面垂直，请你根据测量的数据，计算旗杆mn的高度.【答案】11米【详解】解：过点c作cemn于e，过点c作cfmn于f，则efbead1.510.5（m），aedn19，bfen5，abcabc，maebmf，aembfm90，amfmbf，aemf=mebf ，19mf=mf+0.55 mf192 ，nf=be=1.5, mn=mf+nf, mn=mf+be=192+1.5=11 答：旗杆mn的高度约为11米考查题型八 利用相似三角形解决盲区问题1（2018陕西省西安高新逸翠园学校中考模拟）如图，两棵树的高度分别为ab=6m，cd=8m，两树的根部间的距离ac=4m，小强正在距树ab的20m的点p处从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6m，当小强前进多少米时，就恰好不能看到cd的树顶d?【答案】前进11.2米时就恰好能看到树cd的树顶d.【解析】设fg=x米那么fh=x+gh=x+ac=x+4（米）ab=6m，cd=8m，小强的眼睛与地面的距离为1.6m，bg=4.4m，dh=6.4mbapc，cdpc，abcd，fg：fh=bg：dh，即fgdh=fhbg，x6.4=（x+4）4.4，解得：x=8.8（米），208.8=11.2米因此前进11.2米时就恰好能看到树cd的树顶d考查题型九 利用相似三角形解决其它实际问题1（2018河北中考模拟）一块材料的形状是锐角三角形abc，边bc12 cm，高ad8 cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在bc上，其余两个顶点分别在ab，ac上，且矩形的长与宽的比为32，求这个矩形零件的边长【答案】个矩形零件的长为6 cm，宽为4 cm或长为7213cm，宽为4813cm.【解析】 四边形pqmn是矩形，bcpq，apqabc，pqbc=ahad，由于矩形长与宽的比为3：2，分两种情况：若pq为长，pn为宽，设pq=3k，pn=2k，则3k12=8-2k8，解得：k=2，pq=6cm，pn=4cm；pn为6，pq为宽，设pn=3k，pq=2k，则2k12=8-3k8，解得：k=2413，pn=7213cm，pq=4813cm；综上所述：矩形的长为6cm，宽为4cm；或长为7213cm，宽为4813cm2（2018陕西初三期末）一块材料的形状是锐角三角形abc,边bc=120mm,高4d=80mm, .把它加工成正方形零件如图1,使正方形的一边在bc上,其余两个顶点分别在ab,ac上.(1)求证：aefabc;(2)求这个正方形零件的边长;【答案】（1）见解析；（2）正方形零件的边长为48mm【详解】(1)证明：四边形egfh为正方形， bc/ ef,aef=b，afe=caefabc;(2)解：设正方形零件的边长为xmm，则kd=ef=xmm, ak= (80-x) mm，ef/ bc,aefabc,adbc,解得x=48.答：正方形零件的边长为48mm.考查题型十 利用相似三角形解决动态几何问题1（2017天津中考模拟）在rtabc中，c90，ac20cm，bc15cm现有动点p从点a出发，沿ac向点c方向运动，动点q从点c出发，沿线段cb也向点b方向运动如果点p的速度是4cm/秒，点q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒（1）用含t的代数式表示rtcpq的面积s；（2）当t3秒时，p、q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少秒时，以点c、p、q为顶点的三角形与abc相似？【答案】1 s=（20t-4t2）cm2；210cm；3 t=3秒或t=4011秒时，以点c、p、q为顶点的三角形与abc相似【详解】（1）由题意得：ap=4t，cq=2t，则cp=204t，因此rtcpq的面积为s=12cpcq=12（20-4t）2t=20t-4t2（0t5）；（2）由题意得：ap=4t，cq=2t，则cp=204t，当t=3秒时，cp=204t=8cm，cq=2t=6cm在rtcpq中，由勾股定理得：pq=cp2+cq2=82+62=10cm；（3）由题意得：ap=4t，cq=2t，则cp=204t分两种情况讨论：当rtcpqrtcab时，cpca=cqcb，即20-4t20=2t15，解得：t=3秒；当rtcpqrtcba时，cpcb=cqca，即20-4t15=2t20，解得：t=4011秒因此t=3秒或t=4011秒时，以点c、p、q为顶点的三角形与abc相似知识点三 位似位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心注意：1.位似图形是相似图形的一种特殊形式。2.位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点，位似图形的对应边互相平行或者共线。位似中心的位置：形内、形外、形上。画位似图形的步骤：1.确定位似中心.2.确定原图形的关键点.3.确定位似比.4.根据对应点所在直线经过位似中心且到位似中心的距离之比等于位似比，作出关键点的对应点，再按照原图的顺序连接各点 ( 对应点都在位似中心同侧，或两侧 ) .在直角坐标系中的位似图形坐标关系：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形的位似图形，使它与原图形的相似比为k，若原图形上点的坐标为(x，y)，则位似图形上与它对应的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).平移、轴对称、旋转、位似的区别：1.平移：和原图形一模一样 （和原图形全等且能与原图形重合）2.轴对称：面积和原图形一样 也是全等，和平移的不同点就是轴对称之后的图形不能与原图形重合，虽然它们全等）3.旋转：面积和原图形一样，也是全等，和轴对称的不同点是轴对称只有一个和原图形轴对称的图形，而旋转可以旋转出无数个。4.位似：位似出的图形只和原图形的角相等 边就不一定相等了。【考查题型汇总】考查题型十一 识别位似图形和位似中心1（2018四川中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，abc与a1b1c1是以点p为位似中心的位似图形，且顶点都在格点上，则点p的坐标为（）a（4，3）b（3，4）c（3，3）d（4，4）【答案】a【详解】如图，点p的坐标为（-4，-3）故选a2（2018河北中考模拟）如图，正方形oefg和正方形abcd是位似图形，且点f与点c是一对对应点，点f的坐标是（1，1），点c的坐标是（4，2），则它们的位似中心的坐标是（ ）a（0，0）b（1，0）c（2，0）d（3，0）【答案】c【解析】点f与点c是一对对应点，可知两个位似图形在位似中心同旁，位似中心就是cf与x轴的交点，设直线cf解析式为y=kx+b，将c（4，2），f（1，1）代入，得，解得，即y=x+，令y=0得x=2，o坐标是（2，0）；故选c3（2015四川中考真题）如图，oab与ocd是以点o为位似中心的位似图形，相似比为1：2，ocd=90，co=cd若b（1，0），则点c的坐标为（ ）a（1，2）b（1，1）c（2，2）d（2，1）【答案】b【详解】oab=ocd=90，ao=ab，co=cd，等腰rtoab与等腰rtocd是位似图形，点b的坐标为(1，0)，bo=1，则ao=ab=22，a(12，12)，等腰rtoab与等腰rtocd是位似图形，o为位似中心，相似比为1:2，点c的坐标为：(1，1).故选b.4（2018河北中考模拟）如图，abc是abc以点o为位似中心经过位似变换得到的，若abc的面积与abc的面积比是4：9，则ob：ob为()a2：3b3：2c4：5d4：9【答案】a【解析】由位似变换的性质可知，abab，acac，abcabcabc与abc的面积的比4：9，abc与abc的相似比为2：3，ob：ob=2：3.故选：a5（2019甘肃中考模拟） 如图，线段ab两个端点的坐标分别为a（1，3）、b（3，0），以原点为位似中心，将线段ab放大得到线段cd，若点c的坐标为（6，0），则点d的坐标为（）a（3，6）b（2，4.5）c（2，6）d（1.5，4.5）【答案】c【详解】由题意得，oab与odc为位似图形，oabodc，由题意得，ob3，oc6，oab与odc的相似比为1：2，点d的坐标为（12，32），即（2，6），故选c6（2019陕西中考模拟）如图，在平面直角坐标中，正方形abcd与正方形befg是以原点o为位似中心的位似图形，且相似比为13，点a，b，e在x轴上，若正方形befg的边长为6，则c点坐标为（）a（3，2）b（3，1）c（2，2）d（4，2）【答案】a【详解】正