2019年中考数学专题复习 抛物线有关压轴题

抛物线有关压轴题复习一、基本模型构建常见模型思考在边长为1的正方形网格中有a, b, c三点，画出以a,b,c为其三个顶点的平行四边形abcd。在射线bd上可以找出一点组成三角形，可得abc、bec、cbd为等腰三角形。二、拔高精讲精练探究点一：因动点产生的平行四边形的问题例1: 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过a（-4，0），b（0，-4），c（2，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点m为第三象限内抛物线上一动点，点m的横坐标为m，amb的面积为s求s关于m的函数关系式，并求出s的最大值（3）若点p是抛物线上的动点，点q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点p、q、b、o为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点q的坐标。解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a0），将a（-4，0），b（0，-4），c（2，0）三点代入函数解析式得：解得，所以此函数解析式为：y=x2+x4；（2）m点的横坐标为m，且点m在这条抛物线上，m点的坐标为：（m，m2+m4），s=saom+sobm-saob=4（-m2-m+4）+4（-m）-44=-m2-2m+8-2m-8=-m2-4m=-（m+2）2+4，-4m0，当m=-2时，s有最大值为：s=-4+8=4答：m=-2时s有最大值s=4（3）设p（x，x2+x-4）当ob为边时，根据平行四边形的性质知pqob，且pq=ob，q的横坐标等于p的横坐标，又直线的解析式为y=-x，则q（x，-x）由pq=ob，得|-x-（x2+x-4）|=4，解得x=0，-4，-22x=0不合题意，舍去如图，当bo为对角线时，知a与p应该重合，op=4四边形pbqo为平行四边形则bq=op=4，q横坐标为4，代入y=-x得出q为（4，-4）由此可得q（-4，4）或（-2+2，2-2）或（-2-2 ，2+2 ）或（4，-4）【变式训练】如图，经过点c（0，-4）的抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴相交于a（-2，0），b两点（1）a 0，b2-4ac 0（填“”或“”）；（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接ac，e是抛物线上一动点，过点e作ac的平行线交x轴于点f是否存在这样的点e，使得以a，c，e，f为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点e的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）a0，b2-4ac0；（2）直线x=2是对称轴，a（-2，0），b（6，0），点c（0，-4），将a，b，c的坐标分别代入y=ax2+bx+c，解得：a=，b=-，c=-4，抛物线的函数表达式为y=x2-x-4；（3）存在，理由为：（i）假设存在点e使得以a，c，e，f为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点c作cex轴，交抛物线于点e，过点e作efac，交x轴于点f，如图1所示，则四边形acef即为满足条件的平行四边形，抛物线y=x2-x-4关于直线x=2对称，由抛物线的对称性可知，e点的横坐标为4，又oc=4，e的纵坐标为-4，存在点e（4，-4）；（ii）假设在抛物线上还存在点e，使得以a，c，f，e为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点e作efac交x轴于点f，则四边形acfe即为满足条件的平行四边形，ac=ef，acef，如图2，过点e作egx轴于点g，acef，cao=efg，又coa=egf=90，ac=ef，caoefg，eg=co=4，点e的纵坐标是4，4=x2-x-4，解得：x1=2+2，x2=2-2，点e的坐标为（2+2，4），同理可得点e的坐标为（2-2，4）。【小结】因动点产生的平行四边形问题，在中考题中比较常见，考生一般都能解答，但是解题时需要考虑各种可能性，以免因答案不全面.主要有以下几种类型：（1）已知三个定点，再找一个顶点构成平行四边形；（2）已知两个顶点，再找两个顶点构成平行四边形。确定两定点的线段为一边，则两动点连接的线段和已知边平行且相等；两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形的边或对角线。探究点二：因动点产生的等腰三角形的问题例2: 如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点a（1，0）和点b与y轴交于点c（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点d（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点p，使pbc为等腰三角形？若存在请求出点p的坐标）；（3）有一个点m从点a出发，以每秒1个单位的速度在ab上向点b运动，另一个点n从 点d与点m同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点m到达点b时，点m、n同时停止运动，问点m、n运动到何处时，mnb面积最大，试求出最大面积解：（1）把a（1，0）和c（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=-4，c=3，二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；（2）令y=0，则x2-4x+3=0，解得：x=1或x=3，b（3，0），bc=3点p在y轴上，当pbc为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，当cp=cb时，pc=3，op=oc+pc=3+3或op=pc-oc=3-3p1（0，3+3），p2（0，3-3）；当pb=pc时，op=ob=3， p3（0，-3）；当bp=bc时，oc=ob=3，此时p与o重合，p4（0，0）；综上所述，点p的坐标为：（0，3+3）或（0，3-3）或（0，-3）或（0，0）；（3）如图2，设am=t，由ab=2，得bm=2-t，则dn=2t，smnb=（2-t）2t=-t2+2t=-（t-1）2+1，即当m（2，0）、n（2，2）或（2，-2）时mnb面积最大，最大面积是1。【变式训练】如图，已知二次函数y1=-x2+x+c的图象与x轴的一个交点为a（4，0），与y轴的交点为b，过a、b的直线为y2=kx+b（1）求二次函数y1的解析式及点b的坐标；（2）由图象写出满足y1y2的自变量x的取值范围；（3）在两坐标轴上是否存在点p，使得abp是以ab为底边的等腰三角形？若存在，求出p的坐标；若不存在，说明理由解：（1）将a点坐标代入y1，得-16+13+c=0解得c=3，二次函数y1的解析式为y=-x2+x+3，b点坐标为（0，3）；（2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是x0或x4，x0或x4时，y1y2；（3）直线ab的解析式为y=-x+3，ab的中点为（2，），ab的垂直平分线为y=x-，当x=