2020年中考数学考点总动员 第24讲 尺规作图（含解析）

第24讲尺规作图1尺规作图的作图工具圆规和没有刻度的直尺2基本尺规作图类型一：作一条线段等于已知线段步骤：作射线op；以o为圆心，a为半径作弧，交op于a，oa即为所求线段图示：类型三：作线段的垂直平分线步骤：分别以点a，b为圆心，以大于ab长为半径，在ab两侧作弧，两弧交于m，n点；连接mn，直线mn即为所求垂直平分线图示：类型四：作一个角等于已知角：步骤：以o为圆心，以任意长为半径作弧，交的两边于点p，q；作射线oa；以o为圆心，op长为半径作弧，交oa于点m；以点m为圆心，pq长为半径作弧，交前弧于点n；过点n作射线ob，aob即为所求角图示：类型五：过一点作已知直线的垂线步骤：点在直线上：以点o为圆心，任意长为半径作弧，交直线于a，b两点；分别以点a，b为圆心，以大于ab长为半径在直线两侧作弧，交点分别为m，n；连接mn，mn即为所求垂线点在直线外：在直线另一侧取点m；以pm为半径画弧，交直线于a，b两点；分别以a，b为圆心，以大于ab长为半径画弧，交m同侧于点n；连接pn，则直线pn即为所求的垂线图示：3常见几种基本尺规作图作三角形 已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形4作图的一般步骤 (1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明； (6)讨论步骤(5)(6)常不作要求，步骤(3)一般不要求，但作图中一定要保留作图痕迹. 考点1：简单尺规作图 【例题1】尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形 已知：如图，线段a. 求作：abc，使abac，bac，adbc于d，且ada.【解析】：作图如图，(1)作eaf；(2)作ag平分eaf，并在ag上截取ada；(3)过d作mnag，mn与ae，af分别交于b，c.则abc即为所求作的等腰三角形归纳：1熟悉五个基本的作图步骤及作图痕迹2平时多体会和理解一些复杂作图的依据及作图过程3会在常见的作图语言与对应的几何语言之间进行转化4提倡在平时画图时，采用尺规作图，强化自己的作图意识和规范性考点2： 复杂尺规作图【例题2】如图，在abc中，已知abc90.(1)请在bc上找一点p，作p与ac，ab都相切，与ac的切点为q；(尺规作图，保留作图痕迹)(2)连接bq，若ab3，(1)中所作圆的半径为，求sincbq.【分析】(1)要求作p与ab、ac相切，根据切线的性质，即点p到ab、ac的距离相等，且点p在边bc上，想到角平分线上的点到角两边的距离相等，即作bac的平分线交bc于p点，以点p为圆心，pb为半径作圆即可；(2)由切线长定理得abaq，又pbpq，则判定ap为bq的垂直平分线，利用等角的余角相等得到cbqbap，然后在rtabp中利用正弦函数求出sinbap，从而可得到sincbq的值解：(1)如图所示，p即为所求：(2)ab、aq为p的切线，abaq，pbpq，ap为bq的垂直平分线，bapabq90，cbqabq90，cbqbap，在rtabp中，ap，sinbap，sincbq考点3： 关于尺规作图的应用【例题3】（2019广西池河8分）如图，ab为o的直径，点c在o上（1）尺规作图：作bac的平分线，与o交于点d；连接od，交bc于点e（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；（2）探究oe与ac的位置及数量关系，并证明你的结论【分析】（1）利用基本作图作ad平分bac，然后连接od得到点e；（2）由ad平分bac得到badbac，由圆周角定理得到badbod，则bodbac，再证明oe为abc的中位线，从而得到oeac，oeac【解答】解：（1）如图所示；（2）oeac，oeac理由如下：ad平分bac，badbac，badbod，bodbac，oeac，oaob，oe为abc的中位线，oeac，oeac一、选择题：1. （2018年湖北省宜昌市3分）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（）【答案】b【解答】已知：直线ab和ab外一点c求作：ab的垂线，使它经过点c作法：（1）任意取一点k，使k和c在ab的两旁（2）以c为圆心，ck的长为半径作弧，交ab于点d和e（3）分别以d和e为圆心，大于de的长为半径作弧，两弧交于点f，（4）作直线cf直线cf就是所求的垂线故选：b2. （2018襄阳）如图，在abc中，分别以点a和点c为圆心，大于ac长为半径画弧，两弧相交于点m，n，作直线mn分别交bc，ac于点d，e若ae=3cm，abd的周长为13cm，则abc的周长为（）a16cmb19cmc22cmd25cm【答案】b【解答】解：de垂直平分线段ac，da=dc，ae=ec=6cm，ab+ad+bd=13cm，ab+bd+dc=13cm，abc的周长=ab+bd+bc+ac=13+6=19cm，故选：b3. （2019河北3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）abcd【答案】c【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到c选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心故选：c4. （2019贵阳3分）如图，在abc中，abac，以点c为圆心，cb长为半径画弧，交ab于点b和点d，再分别以点b，d为圆心，大于bd长为半径画弧，两弧相交于点m，作射线cm交ab于点e若ae2，be1，则ec的长度是（）a2b3cd【答案】d【解答】解：由作法得ceab，则aec90，acabbe+ae2+13，在rtace中，ce故选：d5. （2018河南）如图，已知aobc的顶点o（0，0），a（1，2），点b在x轴正半轴上按以下步骤作图：以点o为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边oa，ob于点d，e；分别以点d，e为圆心，大于de的长为半径作弧，两弧在aob内交于点f；作射线of，交边ac于点g，则点g的坐标为（）a（1，2）b（，2）c（3，2）d（2，2）【答案】a【解答】解：aobc的顶点o（0，0），a（1，2），ah=1，ho=2，rtaoh中，ao=，由题可得，of平分aob，aog=eog，又agoe，ago=eog，ago=aog，ag=ao=，hg=1，g（1，2），故选：a二、填空题：6. （2018南京）如图，在abc中，用直尺和圆规作ab、ac的垂直平分线，分别交ab、ac于点d、e，连接de若bc=10cm，则de= cm【答案】5【解答】解：用直尺和圆规作ab、ac的垂直平分线，d为ab的中点，e为ac的中点，de是abc的中位线，de=bc=5cm故答案为：57. （2019河南3分）如图，在四边形abcd中，adbc，d90，ad4，bc3分别以点a，c为圆心，大于ac长为半径作弧，两弧交于点e，作射线be交ad于点f，交ac于点o若点o是ac的中点，则cd的长为 .【答案】2【解答】解：如图，连接fc，则affcadbc，faobco在foa与boc中，foaboc（asa），afbc3，fcaf3，fdadaf431在fdc中，d90，cd2+df2fc2，cd2+1232，cd28. （2018淮安）如图，在rtabc中，c=90，ac=3，bc=5，分别以点a、b为圆心，大于ab的长为半径画弧，两弧交点分别为点p、q，过p、q两点作直线交bc于点d，则cd的长是【答案】【解答】解：连接adpq垂直平分线段ab，da=db，设da=db=x，在rtacd中，c=90，ad2=ac2+cd2，x2=32+（5x）2，解得x=，cd=bcdb=5=，故答案为三、解答题：9. 2.如图，在rtabc中，acb90. (1)利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法) 作ac的垂直平分线，交ab于点o，交ac于点d; 以o为圆心，oa为半径作圆，交od的延长线于点e. (2)在(1)所作的图形中，解答下列问题. 点b与o的位置关系是_；(直接写出答案) 若de2，ac8，求o的半径 解：(1)如图所示：(2)连接oc，如图，od垂直平分ac，oaoc，aaco，ab90，ocbaco90，bocb，ocob，oboa，点b在o上；odac，且点d是ac的中点，adac4，设o的半径为r，则oaoer，odoeder2，在rtaod中，oa2ad2od2，即r242(r2)2，解得r5.o的半径为510. （2018安徽分） 如图，o为锐角abc的外接圆，半径为5.（1）用尺规作图作出bac的平分线，并标出它与劣弧bc的交点e(保留作图痕迹，不写作法)；（2）若（1）中的点e到弦bc的距离为3，求弦ce的长.【答案】（1）画图见解析；（2）ce=【解析】【分析】（1）以点a为圆心，以任意长为半径画弧，分别与ab、ac有交点，再分别以这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过点a与这点作射线，与圆交于点e ，据此作图即可；（2）连接oe交bc于点f，连接oc、ce，由ae平分bac，可推导得出oebc，然后在rtofc中，由勾股定理可求得fc的长，在rtefc中，由勾股定理即可求得ce的长.【详解】（1）如图所示，射线ae就是所求作的角平分线；（2）连接oe交bc于点f，连接oc、ce，ae平分bac， oebc，ef=3，of=5-3=2，在rtofc中，由勾股定理可得fc=，在rtefc中，由勾股定理可得ce=.11. （2019江苏泰州8分）如图，abc中，c90，ac4，bc8（1）用直尺和圆规作ab的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交bc于点d，求bd的长【分析】（1）分别以a，b为圆心，大于ab为半径画弧，两弧交于点m，n，作直线mn即可（2）设adbdx，在rtacd中，利用勾股定理构建方程即可解决问题【解答】解：（1）如图直线mn即为所求（2）mn垂直平分线段ab，dadb，设dadbx，在rtacd中，ad2ac2+cd2，x242+（8x）2，解得x5，bd512. （2018广东6分）如图，bd是菱形abcd的对角线，cbd=75，（1）请用尺规作图法，作ab的垂直平分线ef，垂足为e，交ad于f；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接bf，求dbf的度数【分析】（1）分别以a、b为圆心，大于ab长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；（2）根据dbf=abdabf计算即可；【解答】解：（1）如图所示，直线ef即为所求；（2）四边形abcd是菱形，abd=dbc=abc=75，dcab，a=cabc=150，abc+c=180，c=a=30，ef垂直平分线线段ab，af=fb，a=fba=30，dbf=abdfbe=4513. （2019湖北孝感8分）如图，rtabc中，acb90，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：以点c为圆心，以cb为半径画弧，交ab于点g；分别以点g、b为圆心，以大于gb的长为半径画弧，两弧交点k，作射线ck；以点b为圆心，以适当的长为半径画弧，交bc于点m，交ab的延长线于点n；分别以点m、n为圆心，以大于mn的长为半径画弧，两弧交于点p，作直线bp交ac的延长线于点d，交射线ck于点e请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；（1）线段cd与ce的大小关系是cdce；（2）过点d作dfab交ab的延长线于点f，若ac12，bc5，求tandbf的值 【分析】（1）由作图知ceab，bd平分cbf，据此得123，结合ceb+32+cde