2020年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定课时分层训练 新人教A版必修2

231直线与平面垂直的判定课时分层训练1直线l与平面内的两条直线都垂直，则直线l与平面的位置关系是()a平行b垂直c在平面内 d无法确定解析：选d当平面内的两条直线相交时，直线l平面，即l与相交，当面内的两直线平行时，l或l或l与斜交2下列说法中正确的个数是()若直线l与平面内的一条直线垂直，则l；若直线l与平面内的两条相交直线垂直，则l；若直线l与平面内的任意一条直线垂直，则l.a3 b2c1 d0解析：选b对于不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的，是正确的3如图所示，如果mc菱形abcd所在平面，那么ma与bd的位置关系是()a平行 b垂直相交c垂直但不相交 d相交但不垂直解析：选c连接ac，因为abcd是菱形，所以bdac.又mc平面abcd，则bdmc.因为acmcc，所以bd平面amc.又ma平面amc，所以mabd.显然直线ma与直线bd不共面，因此直线ma与bd的位置关系是垂直但不相交4在abc中，abac5，bc6，pa平面abc，pa8，则p到bc的距离是()a. b2c3 d4解析：选d取bc中点为d，连接ad.abac5，bc6.adbc，ad4，pa平面abc，pabc.adbcd，bc平面pad，bcpd，pd的长即为p到bc的距离，pa8，ad4，pd4.5正方体abcda1b1c1d1中，bb1与平面acd1所成的角的余弦值为()a. b.c. d.解析：选d如图，设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为o1，o，则oo1bb1，o1o与平面acd1所成的角就是bb1与平面acd1所成的角，即o1od1，coso1od1.6在三棱锥vabc中，当三条侧棱va，vb，vc之间满足条件_时，有vcab.(注：填上你认为正确的一种条件即可)解析：只要vc平面vab，即有vcab；故只要vcva，vcvb即可答案：vcva，vcvb(答案不唯一，只要能保证vcab即可)7如图，bca90，pc平面abc，则在abc，pac的边所在的直线中：(1)与pc垂直的直线有_；(2)与ap垂直的直线有_解析：(1)pc平面abc，ab，ac，bc平面abc.pcab，pcac，pcbc.(2)bca90即bcac，又bcpc，acpcc，bc平面pac，bcap.答案：(1)ab，ac，bc(2)bc8.正方体abcda1b1c1d1中，面对角线a1b与对角面bb1d1d所成的角为_解析：连接a1c1，交b1d1于e，则a1c1b1d1，即a1eb1d1.又dd1a1c1，即dd1a1e，a1e平面bb1d1d.连接be，则a1be是a1b与对角面bb1d1d所成的角在rta1be中，a1ea1b，a1be30，即a1b与对角面bb1d1d所成的角为30.答案：309如图所示，在直角bmc中，bcm90，mbc60，bm5，ma3且maac，ab4，求mc与平面abc所成角的正弦值解：因为bm5，ma3，ab4，所以ab2am2bm2，所以maab.又因为maac，ab，ac平面abc，且abaca，所以ma平面abc，所以mca即为mc与平面abc所成的角又因为mbc60，所以mc，所以sinmca.10如图所示，在锥体pabcd中，abcd是菱形，且dab60，papd，e，f分别是bc，pc的中点证明：ad平面def.证明：取ad的中点g，连接pg，bg.papd，adpg.设菱形abcd边长为1.在abg中，gab60，ag，ab1，agb90，即adgb.又pggbg，ad平面pgb，从而adpb.e，f分别是bc，pc的中点，efpb，从而adef.又degb，adgb，adde，deefe，ad平面def.1在正方体abcda1b1c1d1中，与ad1垂直的平面是()a平面dd1c1c b平面a1db1c平面a1b1c1d1 d平面a1db答案：b2下面四个命题：过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个其中正确的是()a bc d解析：选b过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故不正确；易知均正确故选b.3设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()a若lm，m，则lb若l，lm，则mc若l，m，则lmd若l，m，则lm解析：选b根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项b正确4如图，四棱锥sabcd的底面为正方形，sd底面abcd，则下列结论中不正确的是()aacsbbab平面scdcsa与平面sbd所成的角等于sc与平面sbd所成的角dab与sc所成的角等于dc与sa所成的角解析：选d选项a正确，sd底面abcd，ac平面abcd，acsd，又由abcd为正方形，acbd，又bdsdd，ac平面sbdacsb；选项b正确，abcd，cd平面scd，abscd，ab平面scd；选项c正确，设acbdo，连接so，则sa与平面sbd所成的角就是aso，sc与平面sbd所成的角就是cso，易知这两个角相等；选项d错误，ab与sc所成的角等于scd，面dc与sa所成的角是sab，这两个角不相等5如图，在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，e是ad的中点，f是bb1的中点，则直线ef与平面abcd所成角的正切值为_解析：连接eb，由bb1平面abcd，知feb即直线ef与平面abcd所成的角在rtfbe中，bf1，be，则tan feb.答案：6如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是棱aa1和ab上的点，若b1mn是直角，则c1mn_.解析：b1c1平面abb1a1，mn平面abb1a1，b1c1mn.又mnb1m，b1mb1c1b1，mn平面c1b1m，mnc1m，即c1mn90.答案：907如图所示，将平面四边形abcd沿对角线ac折成空间四边形，当平面四边形abcd满足_时，空间四边形中的两条对角线互相垂直(填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况)解析：在平面四边形中，设ac与bd交于e，假设acbd，则acde，acbe.折叠后，ac与de，ac与be依然垂直，所以ac平面bde，所以acbd.若四边形abcd为菱形或正方形，因为它们的对角线互相垂直，同上可证acbd.答案：acbd(或四边形abcd为菱形、正方形等)8如图，在直三棱柱abca1b1c1中，bac90，abacaa1.(1)求证：ab1平面a1bc1；(2)若d为b1c1的中点，求ad与平面a1b1c1所成角的正弦值解：(1)证明：由题意知四边形aa1b1b是正方形，ab1ba1.由aa1平面a1b1c1得aa1a1c1.又a1c1a1b1，aa1a1b1a1，a1c1平面aa1b1b，又ab1平面aa1b1b，a1