2020届高考数学二轮复习 专题5 数列 第3讲 数列的综合问题课件 理

专题讲练 专题5数列 第3讲数列的综合问题 栏 目 导 航 2 2018年新课标 记sn为等差数列 an 的前n项和 已知a1 7 s3 15 1 求 an 的通项公式 2 求sn 并求sn的最小值 2 分组转化法把数列的每一项分成两项或几项 使其转化为几个等差 等比数列 再求解 3 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和 正负相消剩下首尾若干项 4 倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加 即等差数列求和公式的推导过程的推广 5 错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和 即等比数列求和公式的推导过程的推广 6 并项求和法一个数列的前n项和中 可两两结合求解 则称之为并项求和 形如an 1 nf n 类型 可采用两项合并求解 例如 sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5050 例1 2018年天津 设 an 是等差数列 其前n项和为sn n n bn 是等比数列 公比大于0 其前n项和为tn n n 已知b1 1 b3 b2 2 b4 a3 a5 b5 a4 2a6 1 求sn和tn 2 若sn t1 t2 tn an 4bn 求正整数n的值 等差数列与等比数列的综合问题 分析 1 由已知列式可求得 bn 的公比q 则数列 bn 的通项公式与前n项和可求 再由已知列关于 an 首项与公差d的方程组 求得首项与公差 代入等差数列的通项公式与前n项和公式可得sn 2 由 1 求出t1 t2 tn 代入sn t1 t2 tn an 4bn 化为关于n的一元二次方程求解正整数n的值 等差数列 等比数列综合问题的解题策略 1 分析已知条件和求解目标 为最终解决问题设置中间问题 例如求和需要先求出通项 求通项需要先求出首项和公差 公比 等 2 注意细节 在等差数列与等比数列综合问题中 如果等比数列的公比不能确定 则要看其是否有等于1的可能 在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等 这些细节对解题的影响也是巨大的 例2 2019年上海模拟 用分期付款的方式购买家用电器需11500元 购买当天先付1500元 以后每月交付500元 并加付利息 月利率为0 5 若从交付1500元后的第1个月开始算分期付款的第1个月 问 1 分期付款的第10个月应交付多少钱 2 全部贷款付清后 买家用电器实际花了多少钱 分析 如果后一个量与前一个量的差是一个固定的数时 该模型是等差模型 这个固定的数就是公差 数列的实际应用 解析 1 设每月付款依次构成数列 an 则a1 500 10000 0 005 550 a2 500 10000 500 0 005 550 2 5 a3 500 10000 500 2 0 005 550 2 5 2 a10 550 2 5 9 527 5 故第10个月应交付527 5元 解数列应用题的建模思路 从实际出发 通过抽象概括建立数学模型 通过对模型的解析 再返回实际中去 其思路框图为 数列与其他知识的交汇 解析 1 由x 0 y 0 3n nx y 得0 x 3 则dn内的整点在直线x 1和x 2上 记y nx 3n为l l与x 1 x 2的交点的纵坐标分别为y1 y2 则y1 2n y2 n an 3n 1 数列与函数的综合一般体现在两个方面 1 以数列的特征量n an sn等为坐标的点在函数图象上 可以得到数列的递推关系 2 数列的项或前n项和可以看作关于n的函数 然后利用函数的性质求解数列问题 2 数列与不等式相结合问题的处理方法 解决数列与不等式的综合问题时 如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法 如比较法 综合法 分析法 放缩法等 如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法 如列表法 因式分解法 穿根法等 总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了 2 已知等比数列 an 满足an 1 a